第5章导数及其应用（单元基础卷）

第5章导数及其应用（单元基础卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分，1．已知函数的导函数满足（1），则的值为1．【分析】根据基本初等函数的求导公式求导，根据（1）即可得出的值．【解答】解：，（1），解得．故答案为：1．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．2．设函数，则．【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．3．函数的导函数为．【分析】根据余弦函数的导函数直接可得结果．【解答】解：由题意可得：．故答案为：．【点评】本题考查导数的运算，属于基础题．4．设函数，则．【分析】可以求出导函数，然后将换上即可．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．函数的严格增区间是．【分析】对求导，令，即可求解函数的增区间．【解答】解：因为，所以，由，可得，所以函数的严格增区间是．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．6．从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度（单位：和时间（单位：，近似满足函数关系．问小球在到这段时间内的平均速度是．【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，，则小球在到这段时间内的平均速度．故答案为：．【点评】本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．7．已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为4或1【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①为切点，曲线，其导数，则，即过点的切线的斜率；②不是切点，设切点的坐标为，曲线，其导数，则，则有，解可得或2（舍，此时切线的斜率．综合可得：切线的斜率为4或1．故答案为：4或1．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题．8．函数的导函数．【分析】由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则即可求解．【解答】解：由题意得的导函数．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则，属于基础题．9．函数从到的平均变化率是2．【分析】直接利用平均变化率的计算公式求解即可．【解答】解：函数从到的平均变化率是．故答案为：2．【点评】本题考查了平均变化率的计算，解题的关键是掌握平均变化率的计算公式，属于基础题．10．设，若1是函数的一个驻点，则．【分析】根据已知条件，对求导，再结合驻点的定义，即可求解．【解答】解：，则，是函数的一个驻点，，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．11．余弦函数在处的导数是．【分析】根据已知条件，结合导数的运算，即可求解．【解答】解：，则，故余弦函数在处的导数是．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．12．函数在点处的切线方程为．【分析】求出函数的导数，继而可求得切线的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得答案．【解答】解：由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即．故答案为：．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。13．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：与直径（单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为A． B． C． D．【分析】直接根据瞬时变化率的定义求解即可．【解答】解：气球体积在，△内平均变化率为△△，所以当时，气球体积的瞬时变化率为△△．故选：．【点评】本题考查了瞬时变化率，属于基础题．14．已知定义在上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是A．（1）， B．（1）， C．（1）， D．（1），【分析】由题意，构造函数，对函数进行求导，利用所给信息判断其导数符号可得函数单调性，再进行求解即可．【解答】不妨设，函数定义域为，可得，因为对任意都有，所以在上恒成立，此时，则函数在上单调递增，所以，，整理得（1），．故选：．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．15．已知，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【分析】由题意，利用举例法即可判断选项，，；利用不等式性质和指数函数单调性即可判断选项．【解答】解：对于选项：不妨令，，，，此时，但，故选项错误；对于选项：因为，所以，不妨令，，此时，但，故选项错误；对于选项：由，所以，则，选项正确；对于选项：若，不妨令，，此时，而，故选项错误．故选：．【点评】本题考查不等式性质以及不等式的大小比较，考查了逻辑推理和运算能力．16．已知函数的图像如图所示，则的图像可能是A． B． C． D．【分析】由已知结合导数与单调性关系即可判断．【解答】解：因为在上单调递增，在上单调递减，故时，，时，．故选：．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题78分，1719题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。17．求函数的极值，并指出是极大值还是极小值．【分析】根据已知条件，利用导数研究函数的单调性，即可求解．【解答】解：，则，当或时，，在，上单调递增，当时，，在上单调递减，，（1）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．18．已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间，的最大值和最小值．【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后求解切线方程；（2）求出函数的导数，求出极值点，求出极值以及端点值，即可得到函数的最大值．【解答】解：（1），则，所以函数在点处的切线方程为；（2）由（1）得，由，得，或．令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在，上单调递减，因为，（2），，所以，，．【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．19．已知函数．（其中为常数）．（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值；（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由．【分析】（1）当时，求得，得到（2）且（2），进而求得切线方程；（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解；（3）当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数．【解答】（1）解：当时，可得，可得，所以（2）且（2），所以切线方程为，即，所以曲线在点，（2）处的切线方程为．（2）解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，，当时，与在区间的情况如下表：10极小值所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为；（3）解：当时，，令，解得，（舍去）所以函数在上有一个零点；当时，与在区间的情况如下表：100极大值极小值所以函数在单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，所以函数在上只有一个零点，综上可得，当时，在上有一个零点．【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．20．已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间，上有零点，求的值；（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解．【解答】解：（1）因为，所以，切线斜率为（1），又（1），切点为，所以切线方程为；（2），，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以的极小值为（1），，在区间上存在一个零点，此时；又（3），（4），在区间上存在一个零点，此时．综上，的值为0或3；（3）函数，，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，，，，又，，，解得，，构造函数，，所以，在上单调递减；所以当时，，所以．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题．21．设函数，．（1）曲线在点，（2）处的切线与轴平行，求实数的值；（2）讨论函数的单调性；（3）证明：若，则对任意，，，有．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，令斜率为0，解方程可得；（2）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性；（3）构造函数，求出导函数，根据的取值范围得到导函数一定大于0，则为