瞬时变化率导数(1)课件高二上学期数学选择性

第5章导数及其应用5.1导数的概念5.1.2瞬时变化率——导数(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．2.会求简单函数在某点处的导数及切线方程．3.理解导数与平均变化率的区别与联系．活动方案1.函数的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势？活动一了解导数的几何意义【解析】如果将某点附近的曲线放大，可以发现曲线在该点附近将逼近一条直线，因此，在该点附近我们可以用这条直线来代替曲线(即在很小范围内以直代曲)，所以我们可以用这条直线的斜率来刻画曲线在该点处的上升或下降的“变化趋势”．2.已知函数f(x)＝x3，点P(1,1)，Q(1＋Δx,1＋Δy)在曲线y＝f(x)上．(1)分别求在下列条件下直线PQ的斜率．①Δx＝2;②Δx＝1;③Δx＝0.5;④Δx＝0.1.【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，①当Δx＝2时，k＝22＋3×2＋3＝13.②当Δx＝1时，k＝12＋3×1＋3＝7.③当Δx＝0.5时，k＝0.52＋3×0.5＋3＝4.75.④当Δx＝0.1时，k＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.(2)割线的概念：【解析】设Q为曲线上不同于点P的一点，直线PQ称为曲线的割线．(3)试画出曲线及相应的割线PQ，哪条割线在点P附近更逼近曲线？【解析】图略；当Δx＝0.1时，割线在点P附近更逼近曲线．(4)在点P附近你能作出一条比上述割线更加逼近点P处曲线的直线l吗？【解析】能，图略．(5)用直线l的什么量来刻画曲线经过点P

时上升或下降的变化趋势？【解析】用直线l的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的变化趋势．(6)切线的概念：【解析】设Q为曲线上不同于点P的一点，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．思考1►►►直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点吗？过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条吗？【解析】不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．过曲线外一点作已知曲线的切线不一定只有一条，如过圆外一点与圆相切的直线有两条．(7)求当Δx无限趋近于0时，直线PQ的斜率．【解析】

当Δx无限趋近于0时，PQ的斜率无限趋近于常数3.思考2►►►结合上述问题，试给出曲线上某一点处的切线的斜率的定义．例1已知l为经过曲线y＝x2上点P和点Q的直线．(1)若点P(1,1)，Q(3,9)，求直线l的斜率；(2)当点Q沿曲线向点P靠近时，直线l的斜率变大还是变小？活动二理解切线斜率的定义(2)变小．例2已知f(x)＝x2，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线斜率．【解析】设点P(2,4)，Q(2＋Δx，(2＋Δx)2)，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，所以曲线y＝f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；活动三掌握曲线的切线方程的求法所以切线的斜率k＝－4，所以曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.求曲线的切线方程的一般步骤：(1)求出切点P的坐标；(2)求出过点P的切线斜率；(3)利用点斜式求出切线方程．例4已知曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，求切点的坐标，并求这条切线的方程．【解析】设切点为P(a，a2)，另一点Q(a＋Δx，(a＋Δx)2)，当Δx无限趋近于0时，kPQ无限趋近于2a，即曲线y＝f(x)在点P(a，a2)处的切线斜率为2a.又曲线y＝x2的一条切线的斜率是－4，所以2a＝－4，解得a＝－2，所以点P(－2，4)，则切线方程为y－4＝－4(x＋2)，即4x＋y＋4＝0.检测反馈245131.已知函数f(x)＝x2图象上的四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB，BC，CD的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论中正确的是(

)A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3

C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2【答案】A245132.曲线y＝3x2在点(1,3)处切线的斜率为(

)A.3 B.－3C.6 D.－6【答案】C2453A.(0,0) B.(1，－1)C.(－1,1) D.(1,1)12453【答案】BC124534.过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率为________；当