2023-2024学年高二数学2019选择性试题1.1直线的斜率与倾斜角（四大题型）

1.1直线的斜率与倾斜角课程标准学习目标在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念、推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养．1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．2、理解并掌握直线的斜率．3、理解并掌握直线的斜率的求法．4、理解并掌握斜率公式的简单应用．知识点01直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②轴正向；③小于的角．2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．【即学即练1】（2023·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.知识点02直线的斜率1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．知识点诠释：（1）当直线与x轴平行或重合时，，；（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2、直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．【即学即练2】（2023·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线的倾斜角分别为，显然，且，所以，又在上单调递增，故，所以.故选：C知识点03斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：（1）由、点的坐标求的值；（2）已知及中的三个量可求第四个量；（3）证明三点共线．【即学即练3】（2023·高二课时练习）已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，求实数x和y的值．【解析】因为，，三点在斜率的直线上，所以，即，解得，题型一：直线的倾斜角与斜率定义例1．（2023·高二课时练习）已知点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：，又因为所以，故选：B.例2．（2023·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为，则.故选：B.例3．（2023·浙江·高二校联考期中）若直线l的斜率为，则该直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由定义：斜率，其中为直线l的倾斜角，，又；故选：C.变式1．（2023·安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是，故选：D【技巧总结】（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角．（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度．（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．题型二：斜率与倾斜角的变化关系例4．（2023·高二课时练习）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可知，，当时，则为钝角，且；当时，此时，.综上所述，直线的倾斜角的取值范围为.故选：D.例5．（2023·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知,若a=0

,则倾斜角为,若,则,①当时，(当且仅当时，取“”)，②当时，(当且仅当时，取“”)，，故，综上，，故选：C.例6．（2023·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，因为，所以，当时，即，则；当时，即，则，所以直线的倾斜角为或.故选：C.变式2．（2023·山东临沂·高二统考期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直线的斜率，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：A变式3．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）已知直线l的斜率为，则直线l的倾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，为锐角，所以．故选：C变式4．（2023·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A【技巧总结】由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数例7．（2023·上海崇明·高二统考期末）已知直线l经过点,，则它的斜率______.【答案】【解析】由,可得，故答案为：例8．（2023·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．【答案】/【解析】因为过两点的直线的斜率为：，因为，是直线的倾斜角，且所以直线的倾斜角为：．故答案为：.例9．（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．【答案】，【解析】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率，解得．所以的取值范围是，．故答案为：，．变式5．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．【答案】【解析】由题意知，所以，即，化简得，解得或当时，重合，不符合题意舍去，当时，，符合题意，所以，故答案为：变式6．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．【答案】－3【解析】因为斜率k＝tan135°＝－1，所以，得y＝－3．故答案为：.变式7．（2023·河北沧州·高二统考期中）已知两点，若直线的斜率为，则______.【答案】【解析】因为两点，且直线的斜率为，所以且，解得，故答案为：变式8．（2023·高二课时练习）已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．【答案】或【解析】设或，∴或，∴或，∴或，∴点B的坐标为或．故答案为：或．变式9．（2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知，，三点共线，则＝_____．【答案】6【解析】由于、、三点共线，则，即，解得.故答案为：6.变式10．（2023·高二校考单元测试）设点，若直线的斜率等于直线的斜率的3倍，则实数m的值为___________.【答案】4【解析】依题意知直线的斜率存在，则，由得，所以.故答案为：4变式11．（2023·高二课时练习）已知三点共线，则的值为________.【答案】【解析】因为三点共线，所以，所以，解得.故答案为：.变式12．（2023·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.【答案】【解析】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，显然直线的斜率存在，故，即，解得，故答案为：4【技巧总结】由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等．斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型四：直线与线段相交关系求斜率范围例10．（2023·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如图所示，，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.例11．（2023·安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由斜率公式可得，得，由图像可知，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，当介于之间时，直线斜率的取值范围为，所以直线的斜率的取值范围为，故选：D．例12．（2023·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直线过定点，且，由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，解得，故选：B．变式13．（2023·全国·高二校联考阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点C的直线与线段AB相交，，，又该直线与轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围为.故选：B.变式14．（2023·江苏常州·高二常州市第三中学校考期末）已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】即，又因为，所以直线恒过定点，画图得直线要想与线段有交点，就需要绕着点，从直线开始逆时针旋转到直线，则，所以直线斜率故选：A变式15．（2023·江苏泰州·高二统考期中）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，设直线l的倾斜角为，，则，，∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴，即，∴．故选：A．【技巧总结】直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑．一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．一、单选题1．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，倾斜角的范围是．故选：C．2．（2023·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以直线，即为.设直线的倾斜角为，则该直线的斜率，因为，所以.故选：A.3．（2023·安徽·高二校联考开学考试）已知点，在直线：上，则直线的斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因为点，在直线：上，所以将，带入：，得，解得，所以直线，即的斜率为，故选：A4．（2023·上海浦东新·高二校考期末）在“立体几何”知识中:(1)两直线所成角的取值范围是;(2)直线与平面所成角的取值范围是;(3)二面角的平面角取值范围是.在“解析几何”知识中;(4)直线的倾斜角取值范围是;(5)两直线的夹角取值范围是;在“向量”知识中:(6)两向量的夹角的取值范围是以概念叙述正确的是（

）A．(2)(1)(4)(5) B．(2)(3)(4)(6)C．(3)(4)(5) D．(2)(3)(4)【答案】B【解析】两直线所成角的取值范围是，(1)错误；直线与平面所成角的取值范围是，(2)正确；二面角的平面角取值范围是，(3)正确；直线的倾斜角取值范围是，(4)正确；两直线的夹角取值范围是，(5)错误；两向量的夹角的取值范围是，(6)正确，故选:B.5．（2023·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为，，则，.故选：D.6．（2023·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选：A.7．（2023·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，即，因为，所以或，故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．8．（2023·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（

）A．0° B．1° C．2° D．3°【答案】C【解析】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.故选：C二、多选题9．（2023·江苏徐州·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．有的直线斜率不存在B．若直线的倾斜角为，且，则它的斜率C．若直线的斜率为1，则它的倾斜角为D．截距可以为负值【答案】ABD【解析】A.当倾斜角为时，直线斜率不存在，故正确；B.若直线的倾斜角为，且，由斜率和倾斜角的关系知：，故正确；C.若直线的斜率为1，则它的倾斜角为，故错误；D.截距为直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，为实数，所以可以为负值，故正确；故选：ABD10．（2023·广西柳州·高二校考期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角取值范围是B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【解析】A：直线倾斜角范围为，正确；B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误；C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.故选：AC11．（2023·广西桂林·高二校考期中）设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】AC【解析】易知直线过定点，，，直线的斜率为，由图知或，所以或时有交点，因此当时，直线与线段无交点，故选：AC．12．（2023·湖北武汉·高二校考阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由斜率的定义可知，.故选：ABC.三、填空题13．（2023·新疆塔城·高二统考开学考试）若过两点的直线的倾斜角是，则=________________.【答案】【解析】因为过两点的直线的倾斜角是，则直线的斜率，解得.故答案为：14．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______【答案】【解析】如图，，，，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，，所以有.故答案为：.15．（2023·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）已知两点A（1，﹣2），B（2，