新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第7章任意角的三角函数(二)

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7.2.1任意角的三角函数(二)

为基础认知•自主学习⑷

概念认知

1•三角函数线的概念

图示

角a的终边与单位圆交于P,过P作PM垂直于x轴，有

正弦线

向线段MB即为正弦线

余弦线有向线段四即为余弦线

过A(1,0)作x轴的垂线,交角a的终边或其终边的反向

正切线

延长线于T,有向线段AL即为正切线

2.三角函数的定义域

三角函数定义域

sinxR

cosXR

x±k兀+J,k£Z

tanx1XL

自我小测

1.函数f（x）=tan3乂-苧的定义域为（）

3711

A.x|xWw+/k7i,k^Z

!371

B.jx|x声m+k7i,k@Z

C.jx|x^^+2k7i,k@Z

D.卜|x声等+权九，k@Z

选A.易知2x苗+k?i,kez,

3711

即

xRoq+5Zk?i,k£Z,

故f(x)的定义域为1x|x年+权71,kwz]

2.如图，在单位圆中角a的正弦线、正切线完全正确的是（）

A.正弦线为PM,正切线为AT

B.正弦线为MP,正切线为AT

C.正弦线为MP,正切线为AT

D.正弦线为PM,正切线为AT

选C.a为第三象限角，故正弦线为MP,正切线为AT,C正确.

3.角方和角与有相同的（）

A.正弦线B.余弦线

C.正切线D.不能确定

选c.角5和角号的终边互为反向延长线，所以正切线相同.

TT

4.如果OM,MP分别是角a=j的余弦线和正弦线，那么下列结论

正确的是（）

A.MP<0M<0B.MP<0<0M

C.MP>OM>0D.OM>MP>0

选D角的余弦线、正弦线相等，结合图象可知角a=f的余弦

线和正弦线满足OM>MP>0.

5.角聿的终边与单位圆的交点的坐标是

cos髀理,sinI=1,所以角方的终边与单位圆的交点的坐标

日

AEU辿♦

受案•-

口木•（272）

6.画出a=2rad的正弦线、余弦线和正切线.

如图所示，

MP=sin2,0M=cos2,AT=tan2.

份学情诊断•课时测评©

基础全面练

一、选择题

1.下列命题中为真命题的是（）

A.三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角

B.角a的终边在x轴上时，角a的正弦线、正切线分别变成一个点

C.终边在第二象限的角是钝角

D.终边相同的角必然相等

选B.当三角形的角为90。时，不是象限角，所以A不正确，B正确；

_7T

终边在第二象限的角的范围是5+2k7i<a<7i+2k7i,kQZ,所以C不

正确；终边相同的角不一定相等，它们相差2Tl的整数倍，所以D不

正确.

2.sin1,cos1,tan1的大小关系为（）

A.sinl>cosl>tan1

B.sinl>tanl>cos1

C.tanl>sinl>cos1

D.tanl>cosl>sin1

选C.根据三角函数线：如图所示:

设NDOC=1弧度,

所以根据三角函数线得到：CD>AB>0A,

即tan1>sin1>cos1.

3.函数y=-2+tan［呼+与的定义域是（

A.12k7i-■|九,2k?i+T，k£Z

B.〔21™-,2kn+V,k£Z

C.Ik7i-^7i,k7i+2I,kwZ

D.Ik?i-,k;i+R,k£Z

71171兀3兀

选A.由-万+k;i<x+T<T+k;i,k£Z，解得-可7i+2k?i<x<T

+2kn,k£Z.

4.使sinx<cosx成立的x的一^^变化区间是（）

371匹nn

A.T'4_B.2,2_

n3TI

c.4，TD.［。兀

选A.根据三角函数线易判断图中阴影部分即为所求.

5.在（0,2瓦）内，使得kinx|>|cosx|成立的x的取值范围是（）

nn

A.4/2,

选C.|sinx|>|cosx|可转化为x的正弦线的长度大于余弦线的长度，观

察图形可知：

3兀

在（0,2瓦）内，使得sinx|>|cosx|成立的x的取值范围是

6.（多选）下面选项中正确的是（）

A4与系的正弦线相等

B4与专的正切线相等

C4与苧的余弦线相等

D.-今与与的各三角函数线相同

选ABD.在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线、余弦线（图略）可

知，ABD正确.

7.（多选）依据三角函数线，下列判断正确的是（）

A.717nB.cos[-71

A,SHId=sin6:cos4

­兀3nc-3瓦471

C.tang>tan~8D.sin5>sinT

选BD.各选项分别如图①-④，容易判断正确的是BD.

二、填空题

8•若O<0<2K,且不等式cos0<sin0和tan0<sin0成立，则角0的取

值范围是.

(JI5711

由三角函数线知，在［0,2瓦)内使cos0<sin。的角9£由，wj，使tan

0<sin0的角0£艮HU修，2T,故0的取值范围是\.

答案：售,1

7冗

9.若cos0>siny,利用三角函数线得角0的取值范围是_______.

7兀r-rjm兀八~兀一一

cos0>smj7t=smj,所R以2女九-不<0<2k7t+,kQZ.

(兀兀、

答案:l2k7T-g,2k7T+d(kez)

三、解答题

10.在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边.

23

(l)sina二不；(2)cosa=-5.

2

⑴作直线y=3交单位圆于P,Q两点，则OP与OQ为角a的终边,

如图甲.

3

(2)作直线x=-m交单位圆于M,N两点，则OM与ON为角a的终

边，如图乙.

综合突破练

一、选择题

1.点P（sin3-cos3,sin3+cos3）所在的象限为（）

A.第一象限B.第一象限

C.第三象限D.第四象限

选D.因为|71<3<71,作出单位圆如图所示.

设MP,0M分另U为a,b.sin3=a>0,cos3=b<0,所以sin3-cos3>0.

因为|MP|<|OM|,

即,所以sin3+cos3=a+b<0.

故点P(sin3-cos3,sin3+cos3)在第四象限.

2.依据三角函数线，作出如下判断：①sinI=

,7兀三n

石；②=cos7；③tanx>tan超；④sin至>sin

sincos4ooJ

y，其中判断正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

选C利用单位圆中的三角函数线，可知sin髀-sinyQOS「:

=cos?,tan?<tan普，sin卷>sin粤.故②④正确.

4ooJJ

3.函数y=4sinx+yj-cosx的定义域是（）

A.（2k;i,2k;i+7i）,kQZ

71

B.2k兀+2,2k;i+兀,kwZ

r,7i,i

C.k7i+/,k7i+兀,k£Z

D.[2k?i,2k?i+71],k£Z

选B.由sinx>0,-cosx>0，得x为第二象限角或y轴正半轴上的角

jr

或X轴负半轴上的角,所以2k7i+2<x<2k7i+71,kez.

4.侈选）已知a（0<a<2冗）的正弦绩口余弦线长度相等，且符号相同,

那么a的值为（）

71371-5717加

A-4B.了c.yD•1

选AC.由题意可知a的终边为一、三象限的平分线，且0<a<2几，

故得a=：或苧.

二、填空题

5.若0口0,2瓦），则使tan0<1成立的角0的取值范围是________.

由0戌<2冗且tan9<1,利用三角函数线可得9的取值范围是（

伍瓦]口加一、

吨,彳5]UE,2可.

答案：0,唱产U仔,2兀）

6.已知角a的终边与单位圆的交点为P[|,yj(y<0)，则y=

tana=

因为点P[|,y](y<0)在单位圆上,

944

贝［|石+y2=1,所以y=-5，所以tana=一§.

分案•--

口木♦53

3兀7C、,,_..

7.若<a<-2，则sina,cosa,tana的大小关系是

如图，在单位圆中，作出-苧<a<内的一个角及其正弦线、余

弦线、正切线.由图知，有向线段MP<0M<AT,即sina<cosa<

tana.

答案：sina<cosa<tana

8.若0<a<27t,且sina(坐,cosa>；利用三角函数线，得到a的

取值范围是

利用三角函数线得a的终边落在如图所示NAOB区域内，所以a的

取值范围是10局口殍，2^.

答案：（。局u售,

三、解答题

9.在[0,2兀呐求函数f（x）=[1-2cosx+

Insinx-孝|的定义域.

由题意，得自变量x应满足不等式组

「「1

1-2cosx>0,cosx<^,

则不等式组的解的集合如图（阴影部分）所示,

即定义域为（,苧1.

兀-

10.若-1<0<0，且P=3COS0,Q=(cos0)3,R=(cos6)3,比较P,Q,

R的关系.

71

因为<0<0,由余弦线知cosee(0,1),所以P=3COS0>1,

Q=（cos0）3e（0,1）；R=（cos0）；e（0,1）,（cos0）3<（cos0）；,可得：

Q<R<P.

，.素养培优练《

（60分钟95分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分）

1.已知cosa=m,且tana="m一则角a的终边在（）

A.第一或第二象限

B.第三或第四象限

C.第一或第四象限

D.第二或第三象限

选A.因为cosa=m,0<|m|<l,所以角a的终边不会落在坐标轴上.又

因为N1-m?>0,所以cosa与tana同号，所以角a的终边在第一

或第二象限.

2.利用正弦线比较sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是（）

A.sin1>sin1.2>sin1.5

B.sin1>sin1.5>sin1.2

C.sin1.5>sin1.2>sin1

D.sin1.2>sin1>sin1.5

选C.如图，画出已知三个角的正弦线，观察可知sin1.5>sin1.2>sin

3.若角a的余弦线是单位长度的有向线段，那么角a终边在（）

A.y轴上

B.x轴上

C.直线y=x上

D.直线y=-x上

选B.由已知得，角a的终边与单位圆的交点坐标为（-1,0）或（1,0）,

在x轴上.

4."tanx<0,且sinx-cosx<0”是“角x的终边在第四象限”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选C.若tanx<0，则角x的终边在第二、四象限，因为sinx-cosx<0,

所以角x的终边在第四象限，反之也成立.

5.（2021吉安高一检测）如图所示，已知矩形ABCD中AB=1,AD

=2,若以A为圆心，AD为半径作圆交BC于点F,记弧DF的长为

a,贝Ucosa=（）

A.坐B.gC.小兀D.芈

___AB1一

选B.因为AF=AD=2,AB=1,所以cosNBAF=而二/,所以

ZBAF=^，所以NDAF/-ZBAF=^，所以侪=聿x2=^,

即a/，所以

n1

cosa=cos=2'

6.（练情景）我国古代数学家僧一行应用“九服唇（gui）影算法”在《大衍

历》中建立了唇影长I与太阳天顶距9（0°<0<80°）的对应数表，这是

世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，唇影长

度I等于表高h与太阳天顶距0正切值的乘积，即/=htan。.已知天

顶距9=1。时，唇影长上0.14.现测得午中暑影长度h0.42,则天顶距

。为（）

（参考数据：tan10-0.0175,tan2°~0.0349,tan3*0.0524,tan

22.8%0.4204)

A.2°B.3°C.11°D.22.8°

选B.由题意,可得唇影长/=htan9,且顶距9=1。时，唇影长Z-0.14.

1o141042

所以h二而而二E=8,当暑影长度/血42厕12119不

=0.0525,所以根据参考数据9=3°.

7.（多选）（2021.日照高一检测）下列函数值中符号为负的是（）

A.sin（-1000°）B.cos

C.tan2D.sin5

选BCD.因为-1000°=-3x3600+80°,

所以-1000。是第一象限角，

所以sin（-1000。）>0；

因为晋=2冗+华，所以晋是第三象限角，

LLl'l10兀八

所以cos亍<0；

因为当<2<n,所以2rad是第二象限角，

所以tan2<0；

3jr

因为芋<5<2瓦,所以5rad是第四象限角,

所以sin5<0.

8.（多选）下列说法正确的是（）

A.当角a的终边在x轴上时角a的正切线是一个点

B.当角a的终边在y轴上时角a的正切线不存在

C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化

D.余弦线和正切线的始点都是原点

选ABC.根据三角函数线的概念,A,B,C是正确的，只有D不正确,

因为余弦线的始点在原点而正切线的始点在单位圆与x轴正半轴的

交点上.

9.（多选）黑1+器］可以取的值为（）

COSA|ldllX|

A.0B.1C.2D.-2

选ACD.已知函数的定义域为

|xeR|x卷,kez|，角x的终边不能落在坐标轴上，

当X是第一象限角时，cosX>0,tanX>0,

cosxtanx-

y=----+;---=1+1=2；

Jcosxtanx

当X是第二象限角时，cosX<0,tanX<0,

-cosx-tanx

y=+~~=-1-1=-2；

Jcosxtanx

-cosxtanx

当X是第三象限角时，cosx<0,tanx>0,y=+——=-1

COSXIdllX

cosx-tanx

+1=0；当x是第四象限角时cosX>0,tanx<0,y=——+

1COSXIdllX

=1-1=0.

二、填空题（每小题5分，共10分）

10.下列结论：

①a一定时，单位圆中的正弦线一定；

②单位圆中，有相同正弦线的角相等；

③a和a+九有相同的正切线；

④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.

其中正确结论的序号是_______.

由三角函数线定义，显然①④正确，若正弦线相等，则两角可相差271

的整数倍，I和芋都不存在正切线，故②③不正确.

答案：①④

11.（2021.丽水高一检测）在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重

合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-小,-1）,贝hana

=；cosa-sina=.

l-1A/3

因为角a终边过点P（-4,-1）,|（^]=2所以1211（1=~q,

,"1.小

sma=,cosa=--,

、1-5

所以cosa-sina=-.

受案.近Z

口•32

三、解答题(每小题10分，共40分)

12.分别作出3;冗和-74九的正弦线、余弦线和正切线.

(1)在直角坐标系中作单位圆，如图甲，

以X轴非负半轴为始边作3;九角，角的终边与单位圆交于点P，作

PM±x轴，垂足为M,由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂

33

线，与。P的反向延长线交于T点，则sina九二MP,cosa九二OM,

3

tana九二AT,

即17i的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.

4

⑵同理可作出-771的正弦线、余弦线和正切线，如图乙.

tanL]=A1T1,即-'7i的正弦线为MiPi,余弦线为OMi,正切

线为A|T).

13.已知函数f(x)的定义域是(-1,0),求函数f(sinx)的定义域.

f(x)的定义域为(T,0),若f(sinx)有意义，则-l<sinx<0,所以

-7i<x<2k7i,且xR2k7i-2(kQZ).所以函数f(sinx)的定义域是

12k7i-7i,2kn-U，兀-5,2k^(k£Z).

3

已知角的终边在直线上，求的值.

14.ay=-3xlOsina+-UUo-