2017-2018学年人教A版高中数学选修4-5全册教学案

2017-2018学年高中数学人教A版

选修4-5全册教学案

目录

第一讲一1.不等式的基本性质

第一讲一2.基本不等式

第一讲一3.三个正数的算术一几何平均不等式

第一讲二1.绝对值三角不等式

第一讲二2.绝对值不等式的解法

第一讲本讲知识归纳与达标验收

第二讲一比较法

第二讲二综合法与分析法

第二讲三反证法与放缩法

第二讲本讲知识归纳与达标验收

第三讲一二维形式的柯西不等式

第三讲二一般形式的柯西不等式

第三讲三排序不等式

第三讲本讲知识归纳与达标验收

第四讲一数学归纳法

第四讲二用数学归纳法证明不等式

第四讲本讲知识归纳与达标验收

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1.不等式的基本性质

对应学生用书P1

1.实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大

小.在数轴上,右边的数总比左边的数大.

(2)如果“一6>0,贝IJ必白；如果a=0,贝ijgj；如果a一人<0,则a〈b.

(3)比较两个实数a与6的大小，归结为判断它们的差的符号;比较两个代数式的

大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

2.不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

(1)如果那么匕Va；如果那么a>6.即a>bob<a.

(2)如果a>6,b>c,那么4c.即a>b,b>c^a>c.

(3)如果a>b,那么6i+c>fe+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果—,那么。"*"(”CN,〃22).

(6)如果”>人>0,那么北>甑(“6N,〃22).

3.对上述不等式的理解

使用不等式的性质时.，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条

件，盲目套用，例如：

(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有

三种：①c>0时得同向不等式;②c=0时得等式:③”0时得异向不等式.

(2)a>b,c>d=a+c>b+4,即两个同向不等式可以相加，但不可以相减;而a>b>0,

c>d>0^ac>bd,即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除.

(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且〃GN,"22,否则结论不

成立.而当n取正奇数时可放宽条件，a>b^d'>b'Xn=2k.-\-\,%GN),a>b'y[ci>'y[b(n=2k

+1,Z;GN+).

(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“台”与“O”，即推出

关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这要求必须熟记与区别不同性质

的条件.如。>匕，岫>0n54，而反之不成立.

1

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对应学生用书P1

ixa实数大小的比较

114

日列1］已知x,y均为正数，设〃”=#；，试比较，”和〃的大小.

工为“¥I变形.转化为因式与0比较|十„坦山,’

［思路点拨］两式作差I乘积形式►I判断正负，付出大小

I•蝴__1-I_1..4_x+y__4_(x+y)2-4xy_(x-y)?

［肿Jm〃一苫十yx+y-xyx+y-孙(x+y)一孙(％+)»'

♦.3,y均为正数，

/.A>0,y>0,x),>0,x+y>0,(x—y)2^0.

.•.，"一")0,即机>”.(当x=y时，等号成立).

［方法.规律.小结］-------------------------

比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差一变形一判断差的符号一结

论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等.

/////^,依靠钝〃〃/

\.已知a,bGR,比较d+b"与的大小.

解：因为(“'+//*)—(a%+a/)

=a3(a—Z?)+/?,(/?—a)

=(〃一方)(/一/r)

=(a-b)2(cr+ab+bi)

=(a-b)2(〃+匀2+%2］20

(当且仅当4=方时，取“=”号)

所以“4+//》/〃+必3.

2.在数轴的正半轴上，A点对应的实数为恚1，B点对应的实数为1,试判别A点在

9十。

2点的左边，还是在8点的右边？

解.因为&_］=一(心)2<0

肿.U刀9+/19+«4

2

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所以饴W1

当且仅当4=4时取“=”,

所以当“力士时，A点在B点左边，当4=小时，A点与B点重合.

EZS不等式的证明

［例2］已知a>b>Q,c<d<0,e<0.

求证:'a^'b^

［思路点拨］可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明.

、'土_ee«(〃-4-a+c)

［证明］7'a~~cb—d(a—c)(b—d)

c(b-a+c—d)

(a-c)(b—d)

Va>b>0,c<d<0,

»\b—a<0,c—d<0.

*.b—a+c—d<Q.

又・・・c»0,c<0,：.a-c>0.

同理b—d>0,

(a—c)(b—rf)>0.

♦.&0,七e(b­二a-\矿-c—才d)>°.即:

c<d<03一c>—d>0］

法二:

a>b>0J

111

a—c>h—d>0=^

a-cb-d，

e<0

［方法■规律.小结］----------------------------'

进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能

直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆

推，寻找使其成立的充分条件.

〃^题•做亲钝'〃〃/

3.判断下列命题的真假，并简述理由.

(1)若a>b,c>d,则ac>bd；

3

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(2)若c>d>0,则42；

(3)若a>b,c<d,则a-c>b—d；

(4)若a>bf则a">b",y［a>y［b(nN且〃22).

解：(1)取Q=3,b=2,c=—2,d=-3,即3>2,—2>—3.此时〃c=Z?d=—6.因此(1)

为假命题.

(2)因同向不等式不能相除，取<7=6,匕=4,c=3,d=2,此时既=§=2.因此(2)为假命

题.

(3)•・藤<",:•一c>一d,因此(3)为真命题.

(4)当公功>0时，才能成立，取〃=-2,b=-3,当〃为偶数时不成立，因此(4)为假命

题.

4.已知〃，b,x,y都是正数,且„x>y,

求证：-^—>—^7.

x十。y-vb

证明：因为a,b,x,y都是正数，

且鼻心)，，所以苏，

所以乌<2

xy

故"+1心+1,

xy

sx+ay+b,xy

即----<s---.所以一^

xyx+ay+h

3利用不等式的性质求范围

［例3］⑴己知：一畀0〈在芍，求a一夕的范围.

(2)已知：-1Wa+bW1,1WCL26W3,求。+38的范围.

［思路点拨］求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质.

［解］⑴:一畀收若，

:.一畀口V方—.W-'V看且a<p.

/.一兀Wa一夕<兀且a—p〈O.

—7cWa一夕<0.即Q一4的范围为［―兀，0).

4

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(2)7殳〃+36=丸1(〃+8)+42(〃-2b)

=(A)+22)a+(2］—2Qb.

5?

解得九=予22=-j.

55522

/.一WWQ3+Z?)WJ—2W—w(〃-2/7)W—1

.•.一节■，+3bWl.即“+3方的范围为—y,1.

［方法.规律.小结］-------------------------

求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算

法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围

求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和.

〃〃4题俶杂钝〃勿

X

5.若8VxV10,2VyV4,则；;的取值范围是________.

y

解析：・・・2VyV4,

又8VxV10,

・・・2V：V5.

答案：(2,5)

6.已知1知a+夕W4,-2WQ——1,求2Q一尸的取值范围.

解：设2a一4=m(a+/?)+〃(1—6)，

.m+〃=2,今j=T，

I/H—/?=-1.3

ln=2-

又1WQ+S<4,-2WQ-4W-1

j9T(a+6)W2,|

1-3W,(a—J

=>—,W2a一夕巨，.

5—-

一-

・・・。一夕的取值范围为牙2

2-

5

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对应学生用书P3

1.已知数轴上两点A,8对应的实数分别为x,y,若x<y<0,则国与|)，|对应的点P,Q

的位置关系是()

A.P在。的左边B.P在Q的右边

C.P,。两点重合D.不能确定

解析：'：x<y<0,二国>帆>0.故尸在。的右边.

答案：B

2.下列命题中不正确的是()

A.若如>甑,则a>b

B.若c>d,则c

C.若a>b>0,c>d>0,则打g

D.若a>b>0,ac>bd,则c>d

解析：当c>0,d>0时，才有a>b>0fac>bd^c>cl.

答案：D

3.已知则下列不等式正确的是()

A.ac>bcB.a(T>b(^

C.b(a—b)>c(a—b)D.\ac\>\bc\

解析：a>b>cb>0=>(</—b)b>{a-b)c.

答案：C

4-已知'cd。，+8),若帚<丘<3,则()

A.c<a<bB.b<c<.a

C.a〈b〈cD.c<b<a

rnhcaba+b+ca+b+c

解析：由市〈市〈市，可得市一1〈4+1<司+1，即FT〈吃L

又4,b,cE(0,+°°),所以a+/?>Z?+c>c+a由a+b>/?+c可得a>c;由b

c+a'

+c>c+。可得b>a,于是有c<a<b.

答案：A

5.已知0<a<l,则小!，/的大小关系是

1(a+l)(a-l)

解析：：片一%一<0

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・—

•Qa.

又。一。2=〃（1一〃）>0,

22

a>a..\a<a<~a.

答案:»<a<\

6.给出四个条件：

①②③〃>0>。，④a>b>0.

能得出5〈卷成立的有-

解析：由w，得5T<0,~^<o,故①②④可推得另成立.

答案：①②④

2

7.设X=〃出+5,y=2ab—a—4af若x>y,则实数〃，b应满足的条件为

解析：：心》

/.x—y=cilr+5-2ab+/+4。

=（«/?-l）2+（6r+2）2>0.

・・・（山一1#0或。+2*0.

即ab^l或aW—2.

答案：出?W1或2

、序下

8.若〃>0,Z?>0,求证：—+~^^a+b.

证明：岬+今-"-。=3-磁-9

（Q—。）讪+/7）

ah，

（。一力?》。恒成立，且已知人>0,

/.^+/?>0,ab>0.

.(a-8)2(。+匕),22

却....£+,〃+A

9.若/(x)=a?+瓜，且10(-1)W2,2O/(1)W4,求人一2)的取值范围.

解：'：J[-\)=a~b,J[\)=a+b,

人.2)=4〃_26=侦_1)+助1),

A+B=4,4=3,

则今,

B-A=-28=1.

•・次-2)=3贝-1)+启).

・・・2q1)这4,1力-1)这2,

7

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二3W加-1)W6,

.•.5Wy(l)+浜-l)W10,

；.5W式-2)W10.

10.已知〃>0,aWl.

(1)比较下列各组大小.

①/+1与a+a；②a'+l与屋+a；

③a'+l与cJ+a).

(2)探讨在如"EN-条件下，〃"'+"+1与的大小关系，并加以证明.

解：(1)：a>0,a^\,

二①/+1~(a+a)=a2+1~2a

=(a-l)2>0.

a2+l>a+a.

②/+1~(a2+a)

=“2(〃-1)一3—1)

=(o+1)3—1)2>0,

.*./+l>a2+<2,

③『+1—(1+/)

=a3(a2—1)—(a2—1)

=(“2-1)(/一[).

当«>1时，a3>l,a2>l,

(a2—l)(a3-l)>0.

当0<a<l时，0<473<l,0<a2<l,

(a2-l)(a3—1)>0.

即a5+l>a3+a2.

(2)根据(1)可探讨，

得/'+"+1(证明如下)

/，+"+1一(/+消

=am(an-0+(1-«")

=(an,-l)(an-l).

当a>\时，am>\,a">\,

(a'"—1)('—1)>0.

当0<a<l时，

，(am—l)(a"—1)>0.

综上(d"-

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即am+n+i>am+an.

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2.基本不等式

对应学生用书P4

I.基本不等式的理解

重要不等式。2+序》2a。和基本不等式等，丽，成立的条件是不同的.前者成立的

条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件;而后者成立的条

件是〃与人都为正实数，并且“与匕都为正实数是不等式成立的充分不必要条件,如a=0,

b^o仍然能使成立.

两个不等式中等号成立的充要条件都是a=b.

2.由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式

⑴*中；

⑵收孚

〜a-\~b

(3)。庆(亍)92；

a-\-b2一『+/

(4)(—)2<-y-

(5)(a+b)224aA

对应学生用书P5

EQ3利用基本不等式证明不等式

［例1］已知a,/?,c,GR+,且a+b+c=l.

求证：5+H99.

［思路点拨］解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明.

［证明］法一：•・&b,c£R+,且。+b+c=l,

11,1a+b+c,a+b+c,a+b+c

-T------------+-----7----+-----------

/.a+b+c=abc

^.b.cac.a.b

+一+—+t/+工t+一+一

=3aabbcc

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=3+e+彳)+,+§+(5+§)23+2+2+2=9.当且仅当a=b=c时，等号成立.

即鸿+》•

法二：•.•〃，b,c£R+,且。+Z?+c=l,

.•3+Ht=(“+b+c)4+H小

=1+”£+升1+小旦+”1

aabbcc

=3+仁+3+(，5+(5+9》3+2+2+2=9.当且仅当“=b=c时，等号成立.

［方法.规律.小结］-------------------------'

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使

之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.

题做条钝7〃〃

1.已知a,b,c,d都是正数，求证：（ab+cz/）（qc+仅/）24abcd.

证明：因为a,b,c,d都是正数，

“cib+cd^/———,ac+bd、,-

所以27abed>0,,Nyjacbd>。,

(ab+cd)(ac+bd)

所^^4—cibccly

即(ah+cd)(ac+hd)24abed.

当且仅当ob=cd,add,即o=d,Z?=c时，等号成立.

2,22

2.已知a,b,c>0,求证：b+c.

证明：b,c,为，p彳■均大于0,

(y+*)+(—+c)+(,+。)

22(。+匕+c).

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2»22

bca

2122

当且仅当方=b,-=c,'=

即a=b=c时取等号.

利用基本不等式求最值

［例2］⑴求当x>0时，加)=三百的值域:

⑵设0<x<|,求函数y=4x(3—2%)的最大值;

19，「一

(3)已知戈>0,y>0,且嚏+1=1,求x+y的最小值.

［思路点拨］根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值.

2x2

[解](l)Vx>0,=丫2+]=.

■x+x

Vx+^2,

吗

・・・0勺U)W1,当且仅当x=1时取”=

即於)值域为(0』].

(2)*.*0<x<^,<*.3—2x>0.

・・・y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]

r2x+(3-2x)l_9

T2J~T

3

当且仅当2x=3—2x,即时，等号成立.

9

y=4x(3—2x)的最大值为

19

⑶j>0,T+T=1,

xy

.•・1+)，=@+号(/+)，)=；+f+10^6+10=16.

当且仅当e=生，又1+2=1,

xy9xy，

即x=4,y=12时，上式取等号.

故当x=4,y=12时，

有。+y)min—16.

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［方法.规律.小结］----------------------------'

在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：

（1）首先看式子能否出现和（或积）的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取（一1）变

为同正；

（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通

过函数单调性或导数解决.

勿题做泰例”〃/

3.已知尤＞0,则2%+三的最小值和取得最小值时的x值分别是（）

A.8,2B.8,4

C.16,2D.16,4

解析：当且仅当2x=±即x=2时，取“=”号，故选A.

X\1XX

答案：A

4.设x,y£R+,且满足x+4y=40,贝IJg+lgy的最大值是（）

A.40B.10

C.4D.2

解析：Vx,y£R+,

・・・而＜与匕=10.工用＜100.

・・・lgx+lgy=lg（孙）4g100=2.

答案：D

5.（浙江高考）若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是（）

24「28

AA.yB.y

C.5D.6

13

解析：\*x+3y=5xy,/.~+~=5,

），＞0,...（3X+4），）G+£）=¥+与+9+422、倍毕+13=25,，5（3x+

4y）225,

・・・3x+4y25,当且仅当x=2y时取等号.

/.3x+4y的最小值是5.

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答案：c

利用基本不等式解决实际问题

［例3］某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2014年巴西世界杯期间

进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费f万元之间

满足3—x与f+1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已

知2014年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投

入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费

的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完.

(1)将2014年的利润)，(万元)表示为促销费r(万元)的函数.

(2)该企业2014年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

［思路点拨］(1)两个基本关系式是解答关键，即利润=销售收入一生产成本一促销费；

生产成本=固定费用+生产费用；

(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式.

［解］(1)由题意可设

将，=0,x=l代入，得k=2.

当年生产x万件时，

•.•年生产成本=年生产费用+固定费用,

二年生产成本为32r+3=32(3一系力+3.

当销售x万件时,

年销售收入为150%［32(3—去•)+3］+%

由题意，生产x万件化妆品正好销完,

由年利涧=年销售收入一年生产成本一促销费,

得年利润产得泮”

-?+98r+357+1,32

⑵尸—2(r+l)-=50―~+7+\

32

<50-2X淅=50—2716=42,

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当且仅当亍=而，即1=7时，等号成立，ymax=42,

二当促销费定在7万元时，年利泗最大.

［方法.规律.小结］--------------------------

利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定

是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y=/U）（x一般为题

目中最后所要求的量）；最后，利用不等式的有关知识解题.求解过程中要注意实际问题对

变量x的范围制约.

题毓条例"〃/

6.一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货（设每

次进货x件），每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均烹件货

储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应

是多少？

解：设一年的运费和库存费共y元，

由题意知：y=过"X50+5X20=25：10+10G2.25X1（）6=j

5

,,,,25X10„L

当且仅当一--=101-即X=500时，），min=10000,

即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省.

7.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用「…一一」1T

旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙

上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为

45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）.

（1）将y表示为x的函数；

（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

解：（1）如题图所示，设矩形的另一边长为am.

5Hy=45x+180（工一2）+180X2〃=225x+360a—360.

由已知xa=360,得。

所以y=225x+—360（x0）.

（2）Vx>0,

・•・225x+誓225225X360：=10800.

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・・・尸225%+7一360与10440,

当且仅当225x=等时，等号成立.

即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

对应学生用书P7

1.下列不等式中，正确的个数是（）

①若a,贝！

②若xER,则X2+2+^^》2

③若xWR,则f+l+*j*，2

④若a,6为正实数，则近乎，迎

A.0B.1

C.2D.3

解析：显然①不正确；③正确；对②虽然x2+2=±J无解，但f+2+±y2成立,

XI乙XI/

故②正确：

④不正确，如。=1,b=4.

答案：C

2.已知a>0fb>0fa,b的等差中项是:，且a="+：,尸=〃+，则a-\-P的最小值是（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：・・・a+b=2X；=l,。>0,/?>0,

.•・a+夕=。+[+。+]

=1+4,1+/L、=5,

ab仅+外）

当且仅当〃=8=夕寸取"=''号.

答案：C

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3.“。=1”是“对任意正数x,2x+fel”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析：当a=l时，2%+£=2^+122吸（当且仅当x=半时取等号），所以。=1今2%+，

》1（£>0）,反过来，对任意正数x,如当a=2时，2x+f》I恒成立，所以Zr+£21=>/a

答案：A

4.某公司租地建仓库，每月土地占用费力与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货

物的运费”与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用乃

和”分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（）

A.5千米处B.4千米处

C.3千米处D.2千米处

解析：由已知：力=斗，

”=0.8x（x为仓库到车站的距离）.

20

费用之不口}?=yi+J!2=0.8X+~

/20

》2A/0.8x--=8.

当且仅当0.8x=§,

即x=5时等号成立.

答案：A

5.若xKO,则yU）=2-3f一号的最大值是,取得最值时尤的值是.

解析：段）=2-3（f+3）（2-3X4=-10,

当且仅当£=［即时取等号.

答案：一10±^2

6.当时，函数j的最小值为.

解析：因为所以X—3>0,

所以），=元

17

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当且仅当L户1匾4，即尸^5时，取.

9

答案：5

3+x+x2

7.y=-I30）的最小值是.

&力“*3+x+x23..、厂

解析：Vx>0,y——■.+]-=.+]+x+1——122\3——1.

当且仅当x+l=/时取等号.

答案：2小一1

8.已知”>0,b>0,a+b=1,求证：

证明：（l）；a+〃=l,a>0,b>0,

.1,1,1IJj+b

-a+b+^b-a+b+^b~

=2"+铛

=2（统）+4

>4号+4=8（当且仅当时，等号成立）,

•£+奈8.

v7kaj\bjababf

由（1谒+）+如8.

.・.（2（1+辨9.

I4

9.设x>0,y>0且x+y=4,要使不等式恒成立，求实数机的取值范围.

xy

解：由x>0,y>0且x+y=4.

产x+y

付丁一1，

18

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14+

X上

--

X+■y-4

1

+十4X7+4

X

当且仅当卜华时等号成立.

xy

y=2x(Vx>0,y>0,.•.)，=—2x舍去).

此时，结合x+y=4,

々…48

角不付y=y

140

・9+y最小值为不

.,.mW/

.♦.〃？的取值范围为(一8,

10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形

AiBGA的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区ABCQi的面积为4000平

方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

A圈

(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABC。所占面积S关于x的函数S(x)的解

3c

析式;

(2)要使公园所占面积最小，休闲区AB|GD1的长和宽应如何设计？

解：(1)设休闲区的宽为〃米，则其长为依米，由a2*=4000,得a=2°廖了

则S(x)=(«+8)(«A-+20)=a2x+(8x+20)a+160

=4000+(8x+20>")y^+160

yjx

=8O/W(25+宝)+4160(x>l).

(2)5^80710X2^/2^-^4-4160=1600+4160=5760.当且仅当2/=卡即x=2.5

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时取等号，此时。=40,以=100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A151G。1应设计为长

100米，宽40米.

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3.三个正数的算术一儿何平均不等式

对应学生用书P8

1.定理3

如果dh,cGR+,那么病,当且仅当。=7=c时,等号成立，用文字语

言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.

(1)不等式竺空玉瓦成立的条件是：a,b,c•均为正数,而等号成立的条件是：当

且仅当a=b=c.

n~\~h~\~c->0与0

(2)定理3可变形为：①a6cW()\@a3+bs+c33abc.

(3)三个及三个以上正数的算术一几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应

用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”.

2.定理3的推广

对于“个正数a”“2,…，%,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即里士空二±&

2物］。2…当且仅当>=〃2=〜=小时，等号成立.

对应学生用书P8

OOES用平均不等式证明不等式

［例1］已知〃，b,c£R+,求证:

23.

［思路点拨］欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式a+6+c23/及(a,h,cGR

+),故将所证不等式的左边进行恰当的变形.

b+c-a।c+a-b,a+b-c

［证明］-a--b~+-c-

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=匕+/R+匕+//-3

当且仅当a=b=c时取等号.

［方法.规律.小结］-------------------------'

证明不等式的方法与技巧

（1）观察式子的结构特点，分析题目中的条件.若具备“一正，二定，三相等”的条件,

可直接应用该定理.

若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明.

（2）三个正数的算术一几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因

此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明.

〃■勿瑟组•亲钝'〃〃/

1.设a,b,c>0>求证：方+/

证明：因为a,b,c>0,由算术一几何平均不等式可得

5+表+/3退*

即点+春+炼总（当且仅当"=匕=。时’等号成立）•

11I3

所以牙/

而京，+abc》2\^意晨=2小（当且仅当a?2c2=3时，等号成立）,

所以，?+*+}+4历.2小（当且仅当4=%=C=细时，等号成立）.

2.已知4］,。2，…，斯都是正数,且…诙=1，求证：

（2+。］）（2+。2），，，（2+。〃）23".

证明：因为处是正数，根据三个正数的平均不等式，有2+卬=1+1+0》3%.

同理2+q23y［aj（j=2,,i,,••«）.

将上述各不等式的两边分别相乘即得

（2+勾）（2+。2）…（2+&）

2（3惠）（3我）…（3祐）

22

2017・2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案

3_______

=3月…〃小

•.”例…。产1，.•・(2+。［)(2+。2)…(2+。,?)23〃.

当且仅当671=6/2=•,,=^,=1时，等号成立.

as用平均不等式求最值

［例2］⑴求函数产。一1尸(3—2x)(la<1)的最大值.

4

(2)求函数y=x+，_［、2(x>l)的最小值.

［思路点拨］对于积的形式求最大值，应构造和为定值.

(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值.

3

解：(I)VI<x<2，.㈠-2x>0,%—1>0.

y=(x—1)2(3—21)

1+%—1+3—2XA

=(X-1)(x-1)(3-2x)W(---------------------------J'3

=93,

当且仅当%—1=/-1=3—2x,

口4乙3、上1

即N时，ym