第03讲 图形的相似（教师版）

第二十七章相似27.1图形的相似目标导航目标导航课程标准课标解读1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。3.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。1.掌握比例的基本性质，能利用比例的基本性质对比例进行化简；理解黄金分割的概念。2.了解和掌握相似图形的概念，掌握相似图形的性质。3.理解和掌握成比例线段的概念。知识精讲知识精讲知识点01相似图形1.形状相同的图形叫作相似图形。【微点拨】（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。（2）全等图形是一种特殊的相似图形。2.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。它们对应边的比叫作相似比。【微点拨】（1）相似多边形是特殊的相似图形。（2）相似多边形的对应角相等，对应边成比例。【即学即练1】下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．两个矩形一定相似C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【分析】根据确定圆的条件，相似图形的定义，圆心角、弧、弦的关系逐项判断即可．【详解】解：经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意；两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，故B选项说法错误，不符合题意；等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意．故选C．知识点02比例线段1.比例线段：对于4条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd(即ad=bc)，说明求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。2.比例的基本性质：如果ab=cd,那么ad=bc.它的逆命题也成立，即：如果3.黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，叫作把这条线段黄金分割。【微点拨】把一条线段黄金分割的点，叫作这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的5-12得到点C，则点C就是【即学即练2】若且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．【详解】解：∵，∴，又∵，∴，故选D．能力拓展能力拓展考法01比例的性质【典例1】已知四条线段、、、满足，则下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据比例和分式的基本性质，进行解答即可．【详解】解：∵根据内项积等于外项积可得，∴A正确；B错误；根据分式的基本性质若，则，故C错误；由得，故D错误；故选：A．考法02相似多边形的性质【典例2】下列命题中，真命题的个数有（

）①如果不等式的解集为，那么②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形④各边对应成比例的两个多边形相似A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据解不等式、二次函数的图象与性质、中点四边形的性质，相似多边形的判断分析即可．【详解】解：对于①，当时，原不等式即，不等式无解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．综上，，该命题为真命题，符合题意；对于②，当时，二次函数，随的增大而减小，该命题为真命题，符合题意；对于③，对角线相等的四边形的中点四边形为菱形，该命题为真命题，符合题意；对于④，因为多边形不具有稳定性，所以各边对应成比例的两个多边形的形状也可能不同，即不相似，该命题为假命题，不符合题意．综上，真命题有①②③，共个．故选：C．分层提分分层提分题组A基础过关练1．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【答案】C【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可．【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，故选C．2．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【答案】B【分析】根据成比例线段的定义得到，据此求解即可【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，∴，∴，故选B．3．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则b的值为（

）A． B．4 C．32 D．【答案】C【分析】根据比例中项的，然后代入求解即可．【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，∴，∵，∴，∴，故选：C．4．两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．【详解】解：两相似多边形的面积比是，∴两相似多边形的相似比为：，∴两相似多边形的周长比为：，∵较小多边形的周长为，∴较大多边形的周长为：；故选A．5．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度．【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，则，∴．故选：C6．若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为___________．【答案】【分析】设，然后根据黄金分割比可直接进行求解．【详解】解：设，则有，∵C是线段的黄金分割点，，∴，即，解得：；∴；故答案为：．7．如果，那么________．【答案】【分析】根据得到，把它代入后面的式子求出比值．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案是：．8．已知：求代数式的值___________．【答案】【分析】设，则再代入中，求值即可．【详解】根据题意可设，则∴．故答案为：．9．（1）已知线段，，求线段，的比例中项线段的长度．（2）已知，求的值．【答案】（1）6；（2）．【分析】（1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案；（2）设，，代入计算，于是得到结论．【详解】解：（1）∵，，，（负值舍去）．∴线段a，b的比例中项c是6．（2）设，，∴．10．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．【答案】(1)120°；(2)42【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．【详解】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．题组B能力提升练1．如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，则，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．【详解】设，则，∵，∴，整理，得：，解得：，经检验，是原分式方程的解．∵，∴，∴，∴．故选B．2．在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可．【详解】解：设两地间的实际距离为，根据题意得，解得．所以两地间的实际距离为，故选：C．3．下列图形中不一定是相似图形的是（

）A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形C．两个菱形 D．两个正方形【答案】C【分析】根据相似多边形的定义判断即可．【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，所以两个等边三角形一定相似，故A不符合题意；因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故B不符合题意；因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故C符合题意；因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故D不符合题意；故选C．4．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．故选：B．5．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_____．【答案】【分析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可．【详解】解：依题意，，即，解得（负值舍去），故答案为：．6．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为___________．【答案】4cm或16cm或cm【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴，或，或，∴，或，或，∵，，，∴，或，或，解得：，或，或．故答案为：4cm或16cm或cm．7．若且，则的值为___________．【答案】【分析】根据等比性质即可求得．【详解】解：且，，，故答案为：．8．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．【答案】【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．【详解】根据题意，得．将代入，得，开平方得（舍去）．故答案为：．9．①若，则＝___；②已知，则的值为___．【答案】2

2【分析】①先将等式去分母，再进行同类项合并即可得到答案；②将y和分别转换为含的代数式，再代入式子即可得到答案．【详解】解：①∵，∴，∴，∴；②∵，∴，，∴．10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1．(1)求的长；(2)若令，，记，，，，求的值．【答案】(1)(2)5050【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；（2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解．【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴整理有，∴解得：，（负值不符合题意，舍去）即的长为：；（2）∵，，∴，∴，，同理可得：，∴，即答案为：5050．题组C培优拔尖练1．已知代数式，，，下列结论：①若，则；②若，且z为方程的一个实根，则；③若x，y，z为正整数，且，则；④若，则；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果．【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，设x=a；y=2a；z=3a；∴A=；B=；C=；∴，故①正确；②若x=y=1，则A=，B=，C=，∴，∵z为方程的一个实数根，∴z≠0，∴，∴，∴，故②正确；若xyz为正整数，则，，，∵x>y>z，∴，∴，即，∴A>B>C，故③正确；若A=B=C，即，当x+y+z≠0时，；当x+y+z=0时，,综上A=或1，故④错误；∴正确的有3个，故选：C．2．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．【详解】四边形ABCD是矩形，，，即，四边形ABFE是矩形，是的平分线，且，，四边形ABFE是正方形，，又四边形ABCD是黄金矩形，且，，设，则，，，，则，，即，选项A正确；，，即，选项B正确；，，即，选项C错误；，则选项D正确；故选：C．3．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝×2＝﹣1．故选：B．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.由头顶至脖子下端的长度为26cm，可得，解得.由已知可得，解得.综上，此人身高m满足.所以其身高可能为175cm.故选：B5．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______．【答案】【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：，可得，从而可得结论．【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，，，，，同理可得：，，，，，．故答案为：6．若，且，则的值为_________．【答案】19【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案.【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，所以x=3，y=5，z=6，所以x+2y+z=3+10+6=19，故答案为19.7．已知三条线段的长分别为1cm，2cm，cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．【答案】2cm或cm或cm【详解】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a=，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论.8．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为__________．【答案】．【分析】先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．【详解】解：、、、、、分别是和