2024年中考数学专题训练 专题11 利用垂线段最短求最值三大类型含“胡不归”（知识解读）

专题11利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（知识解读）【专题说明】初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值。通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归”问题即点P在直线l上运动时的“PA＋k·PB(0<k<1)”型最值问题.问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？解题思路：过点P作PQ⊥BN于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PQ”的最小值(如图②)，∴当A、Q、P三点共线时，PA＋PQ的值最小(如图③)，此时AQ⊥BN.【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．【变式1-3】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．【变式2-4】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．【变式3-2】如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为．【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为．专题11利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（知识解读）【专题说明】初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值。通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线AB，AC相交于点A，点M是平面内一点，点P，点N分别是AC，AB上一动点，试确定点P，N的位置，使MP+PN的值最小．解题思路：一找：第一步：作点M关于AC的对称点M；第二步：过点M′作M′N⊥AB于点N，交AC于点P；二证：证明MP+PN的最小值为M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归”问题即点P在直线l上运动时的“PA＋k·PB(0<k<1)”型最值问题.问题：如图①，已知sin∠MBN＝k，点P为∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP，则当“PA＋k·PB”的值最小时，点P的位置如何确定？解题思路：过点P作PQ⊥BN于点Q，则k·PB＝PB·sin∠MBN＝PQ，∴可将求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PQ”的最小值(如图②)，∴当A、Q、P三点共线时，PA＋PQ的值最小(如图③)，此时AQ⊥BN.【典例分析】【典例1】模型分析问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小．解题思路：一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P；二证：证明AP是点A到直线l的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【解答】解：如图所示：∵AP⊥l于点P，∴AP是点A到直线l的最短距离．【变式1-1】如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP．（1）线段BP的最小值为；（2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为．【答案】（1）2（2）【解答】（1）当BP⊥AC时，BP取最小值，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AC•cos30°＝4，∴BP最小＝AB•sin30°＝2；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：∵四边形APBQ是平行四边形，∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP，∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值，∴OP＝AO•sin30°＝，∴PQ的最小值为．故答案为：．【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，经过点B且与边AC相切的动圆与AB，BC分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为．【答案】【解答】解：取PQ的中点O，过O点作OD⊥AC于D，过B点作BH⊥AC于H，连接OB，如图，在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BH•AC＝AB•CB，∴BH＝＝，∵∠PBQ＝90°，∴PQ为⊙O的直径，∵⊙O与AC相切，OD⊥AC，∴OD为⊙O的半径，∵OB+OD≥BH（当且仅当D点与重合时取等号），∴OB+OD的最小值为BH的长，即⊙O的直径的最小值为，∴线段PQ的最小值为．故答案为：．【变式1-3】如图，Rt△ABC斜边AC的长为4，⊙C的半径为1，Rt△ABC与⊙C重合的面积为，P为AB上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为．【答案】【解答】解：设∠C＝n°，∵Rt△ABC与⊙C重合的面积为，∴＝，解得n＝60，即∠C＝60°，∵Rt△ABC斜边AC的长为4，∠C＝60°，∴BC＝AC＝2，连接CQ，CP，如图，∵PQ为⊙C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ＝＝，∴当CP最小时，PQ最小，∵当CP⊥AB时，CP最短，此时CP＝CB＝2，∴PQ的最小值为＝．故答案为：．【典例2】如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是．【答案】4【解答】解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD是∠ACB的平分线，∴点N关于CD的对称N′在AC上，过点B作BH⊥AC于点H．∵AC＝6，S△ABC＝12，∴×6•BH＝12，解得BH＝4，∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4，∴BM+MN的最小值为4．故答案为：4．【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，对角线AC与BD交于点O，点E是AB的中点，点M，N分别在AC，BC上，则EM+MN的最小值为．【答案】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AC⊥BD，OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，∴CD＝＝＝5，在CD上取一点N′，使得CN＝CN′，连接MN′，过点A作AH⊥CD于点H．∵菱形ABCD的面积＝•AC•BD＝CD•AH，∴AH＝＝＝，∵CN＝CN′，∠MCN＝∠MCN′，CM＝CM，∴△MCN≌△MCN′（SAS），∴MN＝MN′，∴EM+MN＝EM+MN′≥AH＝，∴ME+MN的最小值为．故答案为：．【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为．【答案】【解答】解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°，设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42，∴x＝，∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4，∴CJ＝，∵AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵PD＝PB，∴∠PDB＝∠PBD，∴∠PBD＝∠PBC，∵EK⊥BC，EK⊥BP，∴EF＝EK，∵EG⊥CD，∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°，∴四边形EFCG是矩形，∴FG＝EC，∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝，∴EF+FH的最小值为．故答案为：．【变式2-4】如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【答案】4【解答】解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2，∴点C坐标为2，令0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5，∵AC2+BC2＝AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°，∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4），∵BC是AA'的垂直平分线，∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN，∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度，故答案为：4．【典例3】模型分析问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．解题思路：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形；①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k；②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长．请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程．【解答】解：如图，在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作∠NAP′，使sin∠NAP'＝k，过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，点P即为所求的位置，理由如下：∵BE⊥AN，∴∠AEP＝90°，∴sin∠NAP′＝＝k，∴PE＝kAP，∵BE⊥AN，∴点B到AN的最短线段为BE，∵BE＝PE+BP，即BE＝kAP+BP，∴此时，kAP+BP（0＜k＜1）的值最小．【变式3-1】如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为．【答案】3【解答】解：过点F作FH⊥BC于点H，连接EH，过点A作AM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6，AM＝AB•sin60°＝3，∠ACB＝60°，∴FH＝CF•sin60°＝CF，∴EF+FC＝EF+FH≥EH