中考数学专题复习《圆综合中平行四边形问题》测试卷(带答案)

第页中考数学专题复习《圆综合中平行四边形问题》测试卷(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图①，已知∠MAN＝60°，点B在AM上，AB＝6，P是AN上一动点（点P不与点A重合），以AB、AP为相邻两边作平行四边形APCB，再以BP为直径作⊙O.（1）当▱APCB的某一边所在直线与⊙O相切时，AP的长为.（2）当▱APCB的四条边所在直线与⊙O都相交时，设⊙O分别与AN、AM交于点E、G，与直线CP、BC交于点H、F.①如图②，在六边形BGEPHF中，易得BF//PE，BG//PH，∠GBF＝∠HPE＝120°，请再写出关于这个六边形的三个结论，并选择其中一个结论给出证明；（要求：写出的三个结论类型不相同）②设AP＝x，直接写出以B、G、E、P、H、F为顶点的六边形的面积（用含x的代数式表示）.2．如图，⊙O是ΔABC的外接圆，且AB=AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE.（1）求证：AE=AD；（2）若∠B=72°，求证：点E是AC的中点.3．如图1，▱ABCF的顶点A，B，C在⊙O上，AB=AC.（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）如图2，CF与⊙O交于点E，连接BE.若AB=BE，CE=EF，求cos∠BEC4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边BC上，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，D为⊙O上一点，点B是弧DE中点.（1）如图1，若AE＝BE，求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）如图2，若OB＝OC，BE＝2AE，求tan∠CAD的值.5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，CD＝5，cosC＝35（如图）．M是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，⊙M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F（1）设CE＝185，求证：四边形AMCD（2）联结EM，设∠FMB＝∠EMC，求CE的长；（3）以点D为圆心，DA为半径作圆，⊙D与⊙M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时⊙M的半径长．6．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且OD⊥BC，垂足为H，连接DC.（1）求证：∠BCD＝12（2）延长AB到点E，使EB＝AC，连接DE.若DE与⊙O相切，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由.7．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF.（1）求证：∠ACD=∠F；（2）若tan∠F=①求证：四边形ABCD是平行四边形；②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长.8．如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧BD的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝DA．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线相交于点F，直线FC交AB的延长线于G．（1）求证：FG与⊙O相切；（2）求证：四边形ADCF是平行四边形；（3）连接EF，求tan∠EFC的值．10．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB延长线于点C，E为弧AD的中点，连接DE、EB，EB与OD交于点Q．（1）求证：EB//CD；（2）已知图中阴影部分面积为6π．①求⊙O的半径r；②直接写出图中阴影部分的周长．11．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是弧BC的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若PC=10，tan∠APC=312．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝38参考答案1．【答案】（1）3或12（2）解：①答案不唯一，例如：结论1：在六边形中，EG//FH；结论2：在六边形中，S四边形GEPB结论3：在六边形中，∠BFH＝∠PEG；证明结论1：∵四边形APCB是平行四边形∴BG//PH又∵∠MAN＝60°∴∠ABC=180°−∠MAN＝180°−60°=120°又∵四边形GBFH是⊙O的内接四边形∴∠FHG=180°−∠ABC=180°−∠MAN=180°−120°=60°同理∠EGH=60°∴∠FHG=∠EGH=60°∴EG//FH；（2）②情况一：当0＜x＜3时，连接BE.∵∠AGP=∠PGB=90°，∠A＝60°∴∠APG=90°−∠A=90°−60°=30°∵AP＝x∴AG=12∵∠BEP=90°，∠A＝60°∴∠ABE=90°−∠A=90°−60°=30°∵AB＝6∴AE=∴PE=AE−AP=3−x∵四边形APCB是平行四边形∴AB//PC，AP=BC，∠A＝∠C，∵∠A＝60°∴∠HPE＝∠A=60°∵∠PHB＝∠CHB=90°，∠AGP=∠PGB=90°∴∠AGP＝∠CHB=90°∴△AGP≌△CHB，BH//PG∴BH=PG，∠CBH=∠AOG∴四边形GPHB是平行四边形又∵∠PHB=90°∴四边形GPHB是矩形，∴BG=PH，GB//PH，∠HBG=∠GPA=90°∴∠FBG=∠EPB，BH与GP所对弧相等∴∠BFG=∠PEH∴△BFG≌△PEH，S六边形FGPEHB∵∠AGP=∠PGB=90°，∠A＝60°∴∠APG=90°−∠A=90°−60°=30°∵AP＝x∴AG=12∴BG=AB−AG=6−∵∠BEP=90°，AB＝6∴AE=12∵∠PGA=90°，∠A＝60°∴∠GPE=90°−∠A=90°−60°=30°∵AB＝6∴AE=∴PE=AE−AP=x−3S六边形FGPEHB情况三：如图当x＞12时，可得：EP=BF=x−3，BE=3又∵∠BGP=90°则AG=12AP=1∴S=3综上所述：当0＜x＜3时，S六边形FGPEHB＝－334x＋9当3＜x＜12时，S六边形BGEPHF＝93当x＞12时，S六边形FGBEHP＝34x2－32．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵⊙O是ΔABC的外接圆，边CD与⊙O交于点E，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠B=∠AED，∴∠D=∠AED，∴AE=AD（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，∵AB=AC，∴CD=AC，∵∠B=∠D=72°，∴∠CAD=∠D=72°，∴∠ECA=36°，∵AE=AD，∴∠D=∠AED=72°∴∠DAE=36°，∴∠CAE=36°，∴∠CAE=∠ECA，∴AE=EC即点E是AC的中点3．【答案】（1）证明：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD垂直平分BC，∵点A，B，C在⊙O上，∴AD过圆心，∵四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠DAF=90°，∴AD⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF为⊙O的切线（2）解：设AC与BE交于点H，过点H作HG⊥AB于点G，如图所示：∵AB=BE，AB=AC，∴AB=∴AE=∴∠ABE=∠BAC，∴AH=BH，∴AG=1∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥FC，AB=CF，∴△ABH∽△CHE，∵CE=EF=1∴CEAB∴AH=2∵∠CAB=∠BEC，∴cos∠BAC=4．【答案】（1）证明：连接CE，则CE=BE，∴∠ECB=∠B，∵点B是弧DE中点∴BD=∴∠BCD=∠ECB，∴∠BCD=∠B，∴AB//CD，又∵CD=CE=AE，∴AE//∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：连接DE，设AE=2，BE=4，则AC∴AC=23∴BC=26设DE交BC于点H，AD交BC于点F，由（1）知DE⊥BC，DH=EH，又EHAC∴BH=4∴CH=2∵EH=DH，∴DHAC∴CF=3∴tan5．【答案】（1）证明：如图1中，连接EM，过点M作MG⊥CD于G，则EG＝CG＝95在Rt△CGM中，CM=CG∴AD＝CM，∵AD∥CM，∴四边形AMCD是平行四边形．（2）解：如图2中，过点E作EH⊥BC于H，过点M作MT⊥EC于T．∵ME＝MC，MT⊥EC，∴CT＝ET，∴cosC=CT设EC＝6k，则CT＝ET＝3k，MC＝ME＝5k，在Rt△CEH中，EH＝45CE＝245k，CH=35∴MH＝CM﹣CH＝75∴tan∠EMH＝247∵∠FMB＝∠EMC，∴tan∠FMB=AB∴BM＝76∴CM＝BC﹣BM＝296∴CE＝6k＝295（3）解：如图3﹣1中，当公共弦经过点A时，过点D作DP⊥BC于P，则四边形ABPD是矩形．∴AD＝BP＝3，在Rt△CDP中，cosC=PC∵CD＝5，∴PC＝3，AB＝PD＝4，∴BC＝3+3＝6，设CM＝AM＝x，在Rt△ABM中，则有x2＝42+（6﹣x）2，解得x＝133∴⊙M的半径为133如图3﹣2中，当公共弦经过点D时，连接MD，MP，过点M作MN⊥AD于N．设CM＝ME＝MP＝x，则DN＝x﹣3，∵DM2＝MN2+DN2＝MP2﹣DP2，∴42+（x﹣3）2＝x2﹣32，∴x＝173综上所述，满足条件的⊙M的半径为133或176．【答案】（1）证明：连接AD，BD，∵OD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD=12∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=12（2）解：四边形BCDE为平行四边形.理由：∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，又∵OD⊥BC，∴DE∥BC，∵BD=∴BD=CD，∵∠EBD=∠ACD，BE=AC，∴△BED≌△CAD，∴∠BDE=∠ADC，∵DE为⊙O的切线，∴∠BDE=∠BAD，∴BE∥CD，又∵DE∥BC，∴四边形BCDE为平行四边形.7．【答案】（1）证明：∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∵半径OD⊥直径AB，∴AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，∵∠EAB=∠F，∴∠ACD=∠F；（2）解：①证明：∵∠ACD=∠CAB=∠F，∴tan∠GCD=tan∠GAO=tan∠F=1设⊙O的半径为r，在Rt△AOG中，tan∠GAO=∴OG=1∴DG=r−1在Rt△DGC中，tan∠DCG=∴CD=3DG=2r，∴DC=AB，而DC//AB，∴四边形ABCD是平行四边形：②作直径DH，连接HE，如图，∵tan∠GAO=OG∴OG=1，AG=∵四边形ABCD是平行四边形，OD⊥CD，∴CD=6，DG=2，CG=2∵DH为直径，∴∠HED=90°，∴∠H+∠HDE=90°，∵DH⊥DC，∴∠CDE+∠HDE=90°∴∠H=∠CDE，∵∠H=∠DAE，∴∠CDE=∠DAC，而∠DCE=∠ACD，∴△CDE∼△CAD，∴CDCA∴DE=68．【答案】（1）证明：∵C是劣弧BD的中点，∴∠DAC=∠CDB，∵∠ACD=∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴ACDC∴DC2=CE•AC证明：∵AE=2，EC=1，∴AC=3，∴DC2=CE•AC=1×3=3，∴DC=3，连接OC、OD，如图所示：∵C是劣弧BD的中点，∴OC平分∠DOB，BC=DC=3，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=AC2+B∴OB=OC=OD=DC=BC=3，∴△OCD、△OBC是正三角形，∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°，∵OA=OD，∴△AOD是正三角形；解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH，∵∠COH=60°，∴∠H=30°，∵∠BAC=90°﹣60°=30°，∴∠H=∠BAC，∴AC=CH=3，∵AH=33，AH上的高为BC•sin60°=3∴△ACH的面积=12×33×329．【答案】（1）证明：如图，连接OC，AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD是等边三角形，∴∠D=∠DCA=∠DAC=60°，∴∠OCD=1∵FG//AD，∴∠DCG=∠D=60°，∴∠OCG=∠OCD+∠DCG=90°，即OC⊥FG，又∵OC是⊙O的半径，∴FG与⊙O相切；（2）证明：∵AF是⊙O的切线，∴AB⊥AF，∵弦CD⊥AB于点E，∴CD//AF，又∵FG//AD，∴四边形ADCF是平行四边形；（3）解：如图，过点E作EH⊥FG于点H，设CE=2a，则DE=2a，CD=4a，在Rt△CEH中，EH=CE⋅sinCH=CE⋅cos由（2）已证：四边形ADCF是平行四边形，又∵DC=AD，∴平行四边形ADCF是菱形，∴CF=CD=4a，∴FH=CH+CF=5a，∴tan10．【答案】（1）如图，连接OE，∵CD为⊙O的切线，OD为⊙O的半径，∴OD⊥CD，∠ODC=90°，∵AB为⊙O的直径，∠BOD=60°，E为弧AD的中点，∴∠EOD=60°，OE=OD，∴△EOD为等边三角形，∴OE=OD=OB，∴∠EOD=∠BOD=60°，∴OD⊥EB，∴∠OQB=90°=∠ODC，∴EB//CD；（2）①∵∠EDO=∠BOD=60°，∠EQD=∠BQO，DE=OB，∴△BOQ≅△EDQ，∴S△BOQ∴阴影部分的面积为扇形BOD的面积，即60360解得：r=6；②Rt△BOQ中，BQ=OB·