浙江省杭州市西湖中学高一数学文联考试题含解析

浙江省杭州市西湖中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两个球，那么下列事件中是互斥事件的是（

）A.至少有一个白球，都是白球

B.

至少有一个白球，至多有一个红球C.没有白球，恰有一个红球

D.至少有一个白球，都是红球参考答案：.D略2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|≤)，y=f(x-)为奇函数，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（）单调，则ω的最大值为（）A．13 B．11 C．9 D．7参考答案：B【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．【分析】由为奇函数求得φ﹣=kπ，k∈Z

①；再根据x=为y=f（x）图象的对称轴，可得+φ=nπ+，n∈Z②．由①②可得ω为奇数．再根据f（x）在单调，可得ω≤12，由此求得ω的最大值．【解答】解：∵函数，=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx+φ﹣）为奇函数，∴φ﹣=kπ，k∈Z

①．再根据x=为y=f（x）图象的对称轴，可得+φ=nπ+，n∈Z②．由①②可得ω=2（n﹣k）+1，即ω为奇数．∵f（x）在单调，∴≥﹣③，由③可得ω≤12，故ω的最大值为11，故选：B．3.利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2-x+a=0无实根的概率为（）A．

B.

C.

D.参考答案：C4.已知集合，，则

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知式子可化为，同除以cos2θ可得，代值计算即可．【解答】解：∵由题意tanθ=2，∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选：D．6.函数的值域是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.化简sin15°cos15°的值是（

）A

B

-

C

D

参考答案：C8.设a=log32，b=ln2，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较；换底公式的应用．【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系．【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c==，而，所以c＜a，综上c＜a＜b，故选C．9.已知函数，那么的值为（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：C略10.设是不共线的两个非零向量，已知，，，若三点共线，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数a，从集合{1，3}中随机抽取一个数b，则时间“a≥b”发生的概率是_________．参考答案：12.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且,。若（），则的值为

O

参考答案：613.已知，，则等于

.参考答案：14.设函数，且，则＝

.参考答案：2略15.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，.、分别为、的中点，则二面角的正切值为

．参考答案：

16.如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置（单位圆与轴正半轴的交点）开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于_________.参考答案：【分析】由三角函数的定义可以求出，判断点的位置，由已知点的横坐标为，利用同角的三角函数关系，可以求出点的纵坐标，可以得到，，再利用二角差的余弦公式求出的值.【详解】由三角函数的定义可知：点的坐标为，因为，所以，所以点在第二象限，已知点的横坐标为，即，所以，因此有.【点睛】本题考查了三角函数定义、同角的三角函数关系、以及二角差的余弦公式，考查了数学运算能力.17.,设△ABC的内角A满足，且，则BC边上的高AD长的最大值是________.参考答案：【分析】通过已知条件可求出A角，bc乘积，于是可求得面积，利用余弦定理与基本不等式可得到a的最小值，于是再利用面积公式可求得答案.【详解】根据题意，,故，求得，,故，根据余弦定理得，即，即而三角形面积为，所以边上的高长的最大值是，故答案为.【点睛】本题主要考查解三角形，基本不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线，点.(1)求过点A且平行于的直线的方程；(2)求过点A且垂直于的直线的方程.参考答案：解：（1）由已知直线的斜率为，，故的斜率为，的方程为：，即；（5分）（2）由已知直线的斜率为，，故的斜率为2，的方程为：，即.（10分）

略19.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求的值；（2）若，求角C的大小.

参考答案：解：（1）由正弦定理得： ………………（2分）即即

…………（4分）即∴

即

…………（6分）（2）由（1）知

∴

…………（8分） …………（11分）∴

…………（12分）

20.如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．参考答案：【考点】LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB?面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin21.如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.(1）证明：面PBD⊥面PAC；(2）求锐二面角A—PC—B的余弦值.参考答案：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC

因为PA平面ABCD，

所有PABD.

又因为PAAC=A，所以BD面PAC.而BD面PBD，所以面PBD面PAC.(2）如图，设ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ.

在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ//PA.

因为PA平面ABCD，

所以OQ平面ABCD，

以OA、OB、OQ所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系O

则

因为BO面PAC，

所以平面PAC的一个法向量为

设平面PBC的一个法向量为

而

由得

令则

所以为平面PBC的一个法向量.

＜＞22.（本小题满分12分）已知函数在取得极值。

（Ⅰ）确定的值并求函数的单调区间;（Ⅱ）若关于的方程至多有两个零点，求实数的取值范围。参考答案：解（Ⅰ）因为，所以因为函数在时有极值

，

所以，即

得