八年级数学下册专题1 7 .5 勾股定理全章七类必考压轴题

专题17.5勾股定理全章七类必考压轴题

【人教版】

必考点1「勾股定理与网格问题

1.（2022春・北京海淀•八年级人大附中校考期中）小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形

做类似的图形，经过尝试后，得到如图：长方形A8c。内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M,N,P,

。分别在长方形的边A8,BC,C。和AQ上，若AB=23,BC=32,则小正方形的边长为.

【答案】V53

【分析】如图，作出辅助线，每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角三角形

长边直角边长为从短边直角边长为a,找出等量关系，列二元一次方程组解出八b,再由勾股定理算出原

图中的小正方形边长.

【详解】解：如图，作辅助线，发现每个小正方形都分为四个全等的直角三角形和一个正方形，假设小直角

三角形长边直角边长为,短边直角边长为。，由题意，得

(3b+Q=23

(4b+2a=32'

解得：

小正方形的边长为：cr+b2=y/22+72=V53,

故答案为：V53.

【点睛】此题考查了用勾股定理构造图形解决问题，解题的关键是作出辅助线，找到等量关系求解.

2.(2022秋•浙江•八年级期末)在每个小正方形的边长为1的网格图形中.每个小正方形的顶点称为格点.

以顶点都是格点的正方形4BCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是

格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图.例如，在图1所示的格点弦图中，正方

形4BCD的边长为疑，此时正方形EFGH的面积为52.问：当格点弦图中的正方形4BCD的边长为而时，

正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括52).

【答案】36或50

【分析】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为“，b.利用分类讨论的思想，在格点上找出各点位置,

即找出边的位置，即可求出面积.

【详解】设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a,b.则正方形EFGH的边长为a+〃，

即S正方形EFGH=(a+b)2.

...在网格中找出。和b的线段，且线段的端点都在格点上即可.

分情况讨论：

①a=5,b=1,如图，

JE^EFGH=(a+6)2=62=36.

②a=VT3,b=A/T3,如图，

S=(。+旷2

^^EFGH=(2V13)=52.

③a=2V2,b=3近,如图，

^^SJE^BFGH=(a+b)2=(571)2=50.

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uJ」

题干中不包括52,

故S/方施FGH的值为36或50.

故答案为：36或50.

【点睛】本题考查勾股定理.利用分类讨论的思想是解答本题的关键.

3.（2022秋•山东东营•八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1,剪一剪，拼成一个正方形，那

么这个正方形的边长是—.

【答案】V5

【分析】由图可知每个小正方形的边长为1,面积为1,得出拼成的小正方形的面积为5,进一步开方得出拼

成的正方形的边长为通.

【详解】分割图形如下：

HdSnn

故这个正方形的边长是遍.

故答案为近.

【点睛】本题考查图形的剪拼和勾股定理，熟知勾股定理，能够构造出直角三角形是解题的关键.

4.（2022春・全国•八年级统考期末）图中的虚线网格是等边三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1

的等边三角形.

(1)边长为1的等边三角形的高=—;

(2)图①中的口ABCD的对角线AC的长=

(3)图②中的四边形EFGH的面积=.

【答案】yV138V3

【详解】分析：(1)利用等边三角形的性质和勾股定理求出高；

(2)要求AC的长，构造直角三角形，应用勾股定理求出.

(3)要求四边形EFGH的面积，先将其分割，然后求每部分的面积，再相加和即可.

详解：(1)边长为I的等边三角形的高=

Y42

(2)过点A作AKJ_BC于K(如图①)，

由图①知尸ABCD的面积等于24个小等边三角形的面积和，由(1)知每个小等边三角形的面积为

Ux丝ABCD=24X丝6疯又S。ABCD=BCAK,B-AK=6序4=越，又在RtAABK

22442

中,AB=3,BK=AM82-AK2=|,KC=|,

/.AC=C4K2+KC2=g.

(3)如图②所示，将四边形EFGH分割成五部分，以FG为对角线构造口FPGM,

,.七FPGM含有6个小等边三角形，

・••SaFGM=3S小等边坨形,

同理可得SADGH=4S小等造.角形理AEFC=9S小等边角形,SAEDH=8S小等边m形，又S网边形CMGD=8S小等边:.角形,

由(2)知小等边三角形的面积为手，

4

点睛：此题主要考查了等边三角形的性侦的应用和勾股定理，平行四边形的面积和三角形的面积，利用等

腰三角形的“三线合一”的性质和分割图形是解题关键.

5.（2022秋・福建三明•八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为遥，V10,

V13,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,

再在网格中画出格点△ABC（HP△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需求△ABC

的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：；

思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为述a,2&a,V17a（a>0）,

请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC,并求出它的面积.

探索创新：

（3）若AABC三边的长分别为+lb*,+4.2,2,4m2+於（m>o,n>0,且mRn）,试运用构

【答案】⑴/（2）画图见解析，3a2；⑶构图见解析，5mn

【分析】（I）利用割补法求解可得；

（2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为近a、2或a、V17a（a>0）的首尾相接的三条线段，再利用割补

法求解可得；

（3）在网格中构建边长为67九和6九的矩形，同理作出边长为，而+16n2、y/924-4n2,2ylm+几2的三角形,

最后同理可得这个三角形的面积.

【详解】解：（1）448C的面积为3x3—工xlx2—工xlx3-工x2x3=Z,

2222

故答案为：I；

(2)如图，AB=2y/2a,BC=回,AC=V17a,

2

由图可得：S/ABC=2ax4a-|xax2a—1x2ax2a-|xax4a=3a；

故答案为：3a2；

(3)构造44BC所示，AB=V(2m)2+(2n)2=2y/m2+n2,

AC=Jzn2+(4几)2=y/m216n2,

BC=y/(3rn)24-(2n)2=V9m24-4n2,

=3mx4n--IxmTx4n--x3mx2n--1x2mx2n=57nH.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练

掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答.

6.（2022秋・全国•八年级期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多

边形称为“格点多边形

（1）在图1中确定格点。，并画出一个以A、B、C、。为顶点的四边形，使其为轴对称图形（一种情况即

可）：

（2）直接写出图2中△FG"的面积是；

（3）在图3中画一个格点正方形，使其面积等于17.

【答案】（1）见解析；（2）9：（3）见解析.

【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；

（2）利用AFGH所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案;

（3）利用勾股定理作出g,结合正方形的性质得出答案.

【详解】解：（1）如图1所示，四边形ABCD即为所求；

图1

（2）如图2所示:

图2，

△FGH的面积=矩形ABHC的面积-△AFG的面积-△BGH的面积-△FCH的面积

111

=5x6一一x1x3--x3x5--x4x6=9.

222

（3）如图3所示：四边形ABCD即为所求；

图32

【点睛】此题主要考查了作图-轴对称变换和勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键.

7.（2022春•山东济宁•八年级统考期末）如图，在8x4的正方形网格中，按△ABC的形状要求，分别找出

格点C,且使8c=5,并且直接写出对应三角形的面积.

【答案】见解析；5=10：S=y；S=12

【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可

【详解】解：钝角三角形时，如图，

'."BC1.BD,BC=5,

...△ABC是钝角三角形，

根据平行线间的距离处处相等，得8c边上高为BD=4,

A5=lBCxBD=lx4X5=10；

直角三角形时，如图，

取格点尸使得8尸=4,FC=3,

根据勾股定理，得BC=>/32+42=5,

\'AE=BF=4,EB=FC=3,ZAEB=ZBFC=90°,

•*.△BFC,

:・/EAB=/FBC,

VZEAB+ZEBA=90°,

JZFBC+ZEBA=90°,

/.ZABC=90%

.♦.△ABC是直角三角形,

根据勾股定理，得A8=停寸=5,

1125

：.S=-BAxBC=-x5x5=丝；

222

锐角三角形时，如图，取格点M使得8M=3,CM=4,

根据勾股定理，得30/32+42=5,

根据直角三角形时的作图，知道NA8290。，

・・・乙ABCV/ABN,

JNA8CV90。

•；AB=BC,

・♦.△ABC是等腰三角形，

・♦・Zv4=ZC<90°,

・♦・△A8C是锐角三角形,

/.S=-x4x6=12；

2

【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的

距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键.

必考点2N勾股定理与折叠问题

1.（2022秋•浙江宁波•八年级校考期中）如图，在ZL4BC中，力B=4C,点。在线段4c上，现将44BC沿着BD

翻折后得到44BD,A'B交4c于点E,4D〃BC且4'D=BC,若BD=2网,则4ABC的面积为.

A

【答案】4V15

【分析】根据翻折的性质得到SA4BD=SAH80=SAA，ED+SAEBD，由且4。=8C,依据平行线的性质

及ASA,可得44。后名48(;已通过等量代换得到SABCD=SMBO,从而得到C。=4。设为4a,依据等量代

换得至UCD=4a=BC,依据三角形外角的性质、翻折的性质、三角形内角和定理得到8E=BC=4a,连接B与

EC的中点F,依据三线合一求出两个有公共直角边的直角三角形，依据勾股定理列出关于a的方程，解出可求

得△4BC的底和高，再运用三角形面积公式即可.

【详解】解：设AL>=4a,

'：AB=AC,

Z-C=Z-ABC,

•.•将△ABC沿着BD翻折后得到△A'BD,

二•SA4BD=SA4，BD=SAA，ED+SAEBD，=AD=4a,乙DBE=/.DBA,

"：A'D//BC,

：./LA'DE=^C,乙A'=LCBE,

又"。=BC=4a,

.♦.△ADE丝△BCE(ASA),

•'•DE=EC--DC>SAA，DE=SRBCE，

又♦S&BCD—SABCE+S&EBD，^H.ABD=^^A'ED+^AEBD

,•S&BCD=S^ABD'

CD-AD=4a,

：

.DE=EC=-2DC=2a,

CD=4a=BC,

:.乙CBD=乙CDB,

又•：(CBD=(CBE+乙DBE,乙CD8=44+4084，乙DBE=LDBA,

・"CBE=Z_i4,

XVz^EC=180°-ZC-Z.EBC,AABC=180°-zC-乙A,乙C=UBC

/.Z-BEC=Z.ABC—Z-C9

：.BE=BC=4a,

如下图，连接B与EC的中点F,则FC=FE=^EC=a,DF=DE+FE=3a,

A

：.BF1AC,

2222

：.BD-DF=BF=BC-FC2,即（26）2-（3a）2=BF2=（4a）2_a2（。＞0）,

解得a=1,

：.BF=yJ15,AC^AD+DC=8a=8,

故答案为：4715.

【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的等边对等角的性质、三线合一的性质、三角形等角对等边的

性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理，解题的关键是发现Q是AC

的中点，三角形BC。、三角形8CE是等腰三角形，依据勾股定理列出关于a的方程.

2.（2022秋・浙江•八年级期末）AABC中，AB=4V2,AC=6,乙4=45。，折叠AABC,使点C落在4B边

上的点。处,折痕EF交AC于点E,当点。由B向4连续移动过程中，点E经过的路径长记为m,则BC=,

m=_______

【答案】2遮20-12V2

【分析】过8作BM_L4C，垂足为根据等腰直角三角形的性质求出8M，再利用勾股定理求出BC的长

度，分三段分别求出点E的运动路径长度，再相加即可.

【详解】解：过8作8例，AC,垂足为M,如图1,

：.BM=AM=^4,

'：AC=6,

ACM=6-4=2,

：.BC="M2+BM2=2V5；

①：由折叠可知：EF垂直平分CD,

当。与8重合时，此时4E最小，

如图2,作BGLA8,垂足为G,连接E/8,

图2

设4E1=%,

•••乙4=45°,

•••AG=E1G=^==^-x,E1C=6—x,

•••E/垂直平分CB,

：.E]B=EXC=6—x,

・••在Rt2k%GB中，EB=E。+GB2,

即(6-%)2=(5%)_(4或_曰%),

解得：X=1(负值舍去)，

：.AEr=1；

②•••ED=EC,

.•.当AE最大时，EC最短，

.♦.EO最短，

.•.当EO_LA8时，E。为垂线段，取最小值,

，如图3,作后2。2,48,垂足为4，

设A%=y,则=D2E2=专=

/.E2C=6-y,

，场尸垂直平分C2，

/.E2D2=E2C,

・42二

•­—y=6-y,

：.y=12-6vL

：.AE2=12-6V2,

.”从最近到最远走了12-6底一1=11-6V2；

③当。从。2点继续向人移动，增加，

.♦.AE减小，

...当。与A重合时，如图4,

图4

此时E3O3=E3c=gac=gx6=3,

AE3=3,

.•.£从场到邑运动了12-6/-3=9-6或，

点E从Ei运动到E2,再运动到E3,

路径长为11-6V2+9-6V2=20-12VL

故答案为：2花；20-12V2.

【点睛】本题考查了折叠问题，垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，根据点。运动的情

况分别得出点E相应的运动情况，逐步求解.

3.（2022秋•河南周口•八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，乙4cB=90。，AC=2,BC=4,点E

为AB的中点，D为BC边上的一动点，把AACD沿AD折叠，点C落在点F处，当4AEF为直角三角形

时，CD的长为.

【答案】2或|

【分析】本题以三角形为基础，考查内容包含中点的用法，可立刻推边等；动点图形翻折问题，可得到角等

以及边等，解答本题需以题目要求直角三角形为前提，采取分类讨论方法，通过构造辅助线、假设未知数

并结合勾股定理求解.

【详解】（1）当NAFE=90。时

作EM_LBC垂足为M.,作ANJ_ME于N,如下图所示：

ZC=ZEMB=90°

・・・EM〃AC

vAE=EB

MB=MC=-BC=2

2

•••EM=-AC=1

2

ZC=ZCMN=ZN=90°

・・・四边形ACMN是矩形

VAC=CM=2

・・・四边形ACMN是正方形

在RTAABC中,AC=2,BC=4

.•.AB=2V5,AE=V5

在RTAAFE中，VAE=V5,AF=AC=2

AFE=1

设CD=FD=x,在RT^EDM中，：DE=l+x,EM=1,DM=2-x

：.DE2=DM2+EM2

(1+x)2=(2-x)2+l2

2

X=3

2

•-CD=3

(2)当NAFE=90。时，如下图所示

ZAFD=90°

/.F,E,D三点共线

在RTAAFE中，VAE=V5,AF=AC=2

.♦.EF=1

XVDE=1

，EF=ED

XVEA=EB,ZAEF=ZBED

所以△AFE=ABDE(SAS)

...NBDE=NAFE=90°

故四边形AFCD是矩形

又：AF=AC

所以四边形AFCD是正方形

，CD=AC=2

【点睛】本题主要考查动点翻折问题，需要着重注意分类讨论，思考要全面，求解过程尝试利用割补法将图

形补成常见模型以便求解.

4.（2022春•辽宁沈阳•八年级统考期末）在△力BC中，4BAC=9（T,NC=30O,AB=3,点。为AC的中点,

点E在BC边上，将ACDE沿着。E翻折，使点C落在点尸处，当FEI4c时，FE=.

【分析】分点F在AC上方和4c下方，分别画图图形，求出8c=6,AC=3V3,根据30。直角三角形的性质,

即可得出答案.

【详解】解：①如图:

•在ABC中：/.BAC=90。,"=30°,AB=3,

：.BC=2AB=6/B=60°,

.'.AC=V62-32=3V3.

♦.•点力为4c的中点，

/.CD=-AC

22

\9FE1.AC,

，乙EMD=乙FMD=90°.

."EMD=乙4=90°,

：.EM||AB,

£.MEC=Z.B=60°.

由折叠可知：DF=CD=芋,/F=ZC=30°,Z1=Z.2=：4MEC=30°,

•.•在RtZ\MD尸中：ZF=30°,

.'.MD=-FD=—,

24

.“画痔吟

•.•在RtAMED中：41=30。，

.•.EC=23哈

：,FE=EM+MF=^=l.

②如图所示，

•・•将△CDE沿着DE翻折，FELAC,

：.EF||AB,

:,乙FEB=CB=60°,

：.Z.FEC=120°

,折叠，

.••kFED=MED=120°,

・.•ZC=30°

J.Z-EDC=乙EDF=30°,

:,乙DNC=LFNE=9。。,

・♦・nDANJ=1-DCkC=1-AA/C-=3v—3,

244

：.NE=-DE,DE2=NE2+DN2

2

门口nr26z2V33y[33

・•・EF=DE=——rlDN=——x——=-

3342

故答案为：g或

【点睛】此题考查了勾股定理，30。直角三角形的性质，折叠的性质，实数的运算，掌握以上知识点是解题

的关键.

5.（2022秋・广东深圳•八年级深圳市宝安中学（集团）统考期末）如图，将长方形纸片力BCD沿MN折叠,

使点A落在边上点A处，点。的对应点为。，连接AD'交边CD于点E,连接C。，若48=9,AD=6,

%点为BC的中点，则线段E。的长为

【答案】弼2.25

4

【分析】连接M4',勾股定理求得。N,进而证明△AD'N三设EC=a,4'E=b,根据NC=6,以及

Rt△4EC三边关系建立方程组，解方程组求解即可.

【详解】解：如图，连接N4,

••・折叠

DN=D'N,AD=A'D',/.A'D'N=ZD

•••四边形4BCD是长方形，AB=9,AD=6,

•••DC=AB=9,BC=AD=6,4D=ABCD=90°

设。N=x

则NC=DC-DN=9-x

•••4是BC的中点，BC=AD=6

CA'=-BC=3

2

在Rt"CN中，A'N2=CN2+A'C2

在Rt△力'D'N中，A'N2=ND'2+AD'2

：.CN2+A'C2=ND'2+AD'2

即(9一X)2+32=7+62

解得x=3

ND=ND'=A'C=3,NC=A'D'=6

y.'：AND'A'=Z.A'CD=90°

:.△A'D'N三△NC4

•••乙NAD'=AA'NC

：.A'E=NE

vA'D'=CN

CE=ED'

设EC=a,A'E=b

在Rt"EC中

A'E2-EC2=A'C2

即接一。2=32①

又CE+EN=CN=6

EC+A'E=EC+EN=a+b=6®

由①可得(6+a)(h-a)=9③

将②代入③得b-a=|©

②-④得2a=|

解得a=；

4

即EC=：

,9

.・・EDr=CE=-

4

故答案为：；

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，因式分解，三角形全等的性质与判定，解二元一次方程组，掌握

折叠的性质是解题的关键.

6.（2022秋・辽宁沈阳•八年级统考期末）在△ABC中，AB=25,AC=1075,4P垂直直线BC于点P.

（1）当8。=25时，求4P的长；

（2）当AP=20时,

①求8C的长；

②将△力CP沿直线4C翻折后得到△ACQ,连接BQ,请直接写出ZiBCQ的周长为.

【答案】⑴20

⑵①25或5；②5"1+35或候+15

【分析】（1）根据双勾股列方程即可求出CP，进而求得ZP的长；

（2）分情况讨论当A4BC是锐角三角形时，当A4BC是钝角三角形时，分别求出BC的长和△BCQ的周长.

【详解】（1）如图：

'：AP1BC

：.AP2=AB2-BP2,AP2=AC2-CP2,

设CP=x,^\BP=BC-PC=25-x

；.(10>/5)2-x2=252-(25-x)2,

解得：x=10

：.AP=J252-(25-10)2=20

（2）①当△ABC是锐角三角形时,

B

当4P=20时,

BP=\lAB2-AP2=V252-202=15；

CP=\/AC2-AP2=J(10V5)2-202=10；

：.BC=BP+PC=25

当△ABC是钝角三角形时，如图:

'：AB=25>AC=10V5,AP=20

PC=yjAC2-AP2=10,BP=>JAB2-AP2=15

：.BC=BP-PC=5

综上所述：8c=25或5

②当△ABC是锐角三角形时，由①知，AB=BC=25,BP=15,PC=10,如图，AC与BP交于MM过Q点

作QH1BC,

由折叠可知：QC=PC=10,PQ1AC,PQ=2MP

：.S^ACP=\CP-AP=\AC-MP,

x10x20=ix10V5-MP,

22

：.MP=4后

：.PQ=2Mp=8A/5,

设HC=x,则HP=PC+HC=10+x,

"：HQ2=QC2-HC2=PQ2-HP2

A102-x2=(8V5)2-(10+X)2,

解得：x=6,

HQ=V102-62=8

：.BQ=yjHB2+HQ2=7(25+6)2+82=5A/41

二ABCQ的周长为：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=5V41+35

当AABC是钝角三角形时，如图，

同理可得：CQ=PC=10,PQ=2MP=8V5,BC=5,CQ=PC=10

设HC=x,则HP=PC+HC=10+x,

'：HQ2=QC2-HC2=PQ2-HP2

：.102-x2=(8V5)2-(10+x)2,

解得：x=6,

：.HB=CH-CB=6-5=1,HQ=V102-62=8

BQ=yjHB2+HQ2=Vl2+82=V65

；.△BCQ的周长为：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=V65+15

综上所述：ABCQ的周长为5困+35或病+15.

【点睛】本题考查等枳法求高，双勾股定理的求直角三角形边长，解题的关键是在做题时注意分类讨论.

必考点3Z以弦图为背景的计算

1.(2022春.浙江.八年级期末)勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以

勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定

理.在RtAZBC中，/.BAC=90°,/4C=a,AB=b(_a<b).如图所示作矩形HFPQ,延长CB交HF于点G.若

正方形BCCE的面积等于矩形BEFG面积的3倍，峭勺值为()

D.4

2

【答案】D

【分析】设BC=c,利用勾股定理得到又加=c2,再说明ABMGsMBA,得到GB=根据S正方形&3=

3s矩形BEFG，结合。2+炉=©2可得a2+b2=3ab,整理得：?)2一票+1=0,解一元二次方程即可求解.

【详解】解：设8C=c,

在Rt△ABC中，Z.BAC=90。,"=a,AB=b(a<6)

由勾股定理可得：AC2+AB2=BC2,\l\lc2=a2+b2,

♦.•四边形BCDE是正方形，

,S正方形BCDE=BCz=c2,

•.•四边形ABML是正方形，四边形BEFG是矩形，

：.AB=BM,NMGB=NABM=BAC=9O°,

VZBMG+NMBG=ZMBG+NABC=ZABC+ZACB,

，NBMG=ZABC,NMBG=NACB,

:.丛BMGs丛CBA,

.GBBMABRGBb

••—=——，,RnJ———

ACBCBCac

：.GB=

c

,四边形BEFG是矩形，四边形3CDE是正方形,

:.BC=BE=c,

：'S^FEBG=GBBE=?xc=ab,

'：slEmcDE=BE?=c2=a2+h2

又S正方形BCPE=3s矩形BEFG

/.a24-h2=3ah

...两边同除以炉可得：铲+1=芍

整理得：0）2+1=0，

解得：？=畔

D2

・.ZVb

...一a=-3—--^5

b2

故选D.

【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质，正方形和矩形的面积公式等知识点，熟练掌握相

关性质及定理是解题的关键.

2.（2022秋.广东深圳.八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中

就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面

积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，/BAC=90。，AB=3,BC=5,点D,E,F,G,H,

I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）

A.121B.110C.100D.90

【答案】B

【分析】延长48交长尸于点。，延长AC交GM于点P,可得四边形40LP是正方形，然后求出正方形的边长，再

求出矩形KLM/的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.

【详解】解：如图，延长4B交KF于点。，延长4c交GM于点P,则四边形04LP是矩形.

•••乙CBF=90°,

•••&ABC+Z.OBF=90°,

又•••直角44BC中，AABC+LACB=90°,

:.Z-OBF=乙ACB,

在40BF和N4CB中，

（Z.BAC=Z.BOF

{Z.ACB=乙OBF，

（BC=BF

・•・40B尸会2L4CBOL4S）,

・•・AC=OB,

同理：AACB=APGCf

・・・PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形40LP是正方形，

边长40=AB+AC=3+4=7,

所以，/CL=3+7=10,LAf=4+7=11,

因此，矩形KLM/的面积为10x11=110,

故选B.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键.

3.（2022秋•全国•八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要

纽带.数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理.以直角三角形A8C的三条边为边长向外作正方形AC，/,

正方形A8E。，正方形BCGF,连接B/,CD,过点C作C/_LDE于点J,交.AB于点、K.设正方形4C”/的

面积为Si，正方形8CGF的面积为52,矩形AK〃)的面积为S3,矩形KJEB的面积为S4,下列结论中:①8/，CD；

②S/：SzAC£>=2：1；③S/-&=S3-52；@SIS4=S3S2,正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用正方形的性质证明△A8&ZMOC,得出NA/8=NACO,即可得出NCN/=NMW,即可判断①,

利用/丝△4DC,即可求出AA8/的面积，即可判断②，由勾股定理和S汁S4=SnABE。，即可判断③，

由③S/-S=S稣2，两边平方，根据勾股定理可得AC?一BC2二^^一^依，然后计算2+2_

(522+S32)=0,即可判断④.

【详解】解：•.•四边形ACm和四边形ABEO为正方形，

：.AI=AC,AD=AB,NCA/=/BAD=90。，

,:ZBAf^ZBAC+ZCAI,/DAC=NBAC+NBAD,

：.ZBAI^ZDAC,

：.AAB/^AADC(SAS),

NA/B=NACD,

■:NCN/=NG4/=90°,

J.B1VCD,

故①正确；

SAACD=SAA/B=|X4/XAC.S正方彩ACH1=SI=AIXAC，

：.Si：SAACD=2：I,

故②正确；

2:22

：S/=4C2,S2=BC,S3+S4=S正方形ADEB=AB?,AC+BC=AB,

•**S[+S2=S3+S4,

/.S[-S4=S3-S2,

故③正确；

•：SiS=S3$.

222

.-.S1+S4-25^4=S2+S32-2S2s3，

22

'：S,=AC,S2=BC,S3=AK・KJ=AK,AB,S4=BK・KJ=BK,AB,

2242222422

*SI+S4=AC+ABBK,S2+S3=BC+AKAB,

\'AB2=AC2+BC2,AC2=AK2+CK2,BC2=BK2+CK2,

AC2-AK2=BC2-BK2,

UVAC2-BC2=AK2-BK2,

2222422422

Si+S4-(S2+S3)=AC+ABBK-(BC+AKAB')

=AC4-BC4+AB2(BK2-4K2)

222

=04c2+BC)(AC-BC)-AB201c2_gC2)

=AB2{AC2-BC2)-AB2(AC2-BC2)

=0»

/.S”4=S2・S3,

故④正确,

故选D.

【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全

平方公式的变形.

4.（2022秋・江苏•八年级期中）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其

中A,B,C,D四个小正方形的面积之和等于8,则最大正方形的边长为_.

【答案】2

【分析】分别设A,B,C,D四个小正方形的边长为a,b,c,d,根据题图可得出相应等式.

【详解】分别设A,B,C,D四个小正方形的边长为a,b,c,d,根据题意得:

（a2+b2+c2+d2=8（l）

tVa2+c2=Vb2+d2@

题目中需要求■量的值，则由①式得+02=4,则最大正方形的边长为krm=2

【点睛】本题关键是学会设未知数解题，同时利用数形结合的思想解题.

5.（2022秋.江苏扬州.八年级统考期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕

达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了

定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；

②如图1,大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2

的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积.

（2）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形

中面积关系满足工+S2=S3的有个；

（3）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为S］、S2,直角三角形面积为S3,请判断Si、52、S3的关系.

【答案】（1）①见解析；②29

(2)3

(3区+S2=S3

【分析】(1)①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1

中：a2+b2=c2=17,(b—a)2=5,即可得2ab=12,图2中大正方形的面积为：(a+h)2,据此即可

作答；

(2)根据题意得：a2+b2=c2,再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；

(3)结合题意，首先分别以。为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形

的面积，根据图形特点表示出(S1+S2),结合勾股定理，即可得到答案.

【详解】(1)①证明：

在图I中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即C2=|ab•4+(b—a)2,化简得小+fa2=c2.

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即(a+bp=c24-|ah-4,化简得小+fo2=c2.

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

E《(Q+b)(a+b)=^ab-2+|c2,化简得a24-fe2=c2.

②在图1中：a2+Z?2=c2=17,(b—a)2=5,

图2中大正方形的面积为：(a+b)2,

V(b—a)2=5,a2—2ab4-b2=5,

A17-2ab=5,2ab=12,

/.(a+b)2=小+2ab+h2=17+12=29,

・•・图2中大正方形的面积为29.

(2)根据题意得:a2+&2=c2,

如图4：

S2

Si

S3

图4

2S=2

即有：SI=Q2,S2=bf3c

4-=S;

SrS23

如图5：

=y7r22-TIC2,

2\2/8=-na,8S2=-n8b,S3=

,2222y2

\-8na-^-87ib=-8n('<a+b7)=8-nc,

5i+=S3；

S2

如图6：

下面推导正三角形的面积公式：

正axyz的边长为小过顶点x作xviYZ,v为垂足，如图,

X

在正AXVZ中，有乙丫=60。，XZ=XY=YZ=u,

'：XV1YZ,

：.YV=VZ=-YZ=-u,Z.XVY=90°,

22

：.在RtAXYU中，有XU=>JXY2-YV2=Ju2-gu)2=yu,

二正AXYZ的面积为：S=^xYZxXV=—u2,

24

•1.-V3aV32rV3,2r2

••eSi=-vxax—=——a,52=—b，S=百——cz

1224z4334

•.•在+立/=3(a2+b2)=在c2

Si+s2=s3；

，三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个

故答案为：3；

(3)关系：Si+S2=S3,理由如下：

以“为直径的半圆面积为：；X兀偿="。2,

2\2/o

2

以匕为直径的半圆面积为：jx/rg)=2,

以C为直径的半圆面积为：；X兀仔丫=/c2,

2\2/8

三角形的面积为：S3=|ab,

222

；.Si+S2=^na+^nb+S3-\nc,

222

即:Si+S2=-7r(a+b—c)+S3,

结合(1)的结论：a2+h2=c2

Si+S2=S3.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理

的性质，从而完成求解.

必考点4N勾股定理的证明方法

1.（2022秋.江苏南京•八年级南京市第二十九中学校考期中）在RtAABC中，NACB=90。，BC=a,AC

=b,AB=c.将RSABC绕点。依次旋转90。、180。和270。，构成的图形如图所示.该图是我国古代数学

家赵爽制作的“勾股圆方图“，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002

年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据.

（1）请利用这个图形证明勾股定理；

（2）请利用这个图形说明次+/澳必，并说明等号成立的条件；

（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x,宽为y的长方形，其周长为8,求当x,y取何值时，该

长方形的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）详见解析；（2）当且仅当“=人时，等号成立；（3）当且仅当x=y=2时，长方形的面积最

大，最大面积是4.

【分析】1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个

直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.

（2）利用非负数的性质证明即可.

（3）利用（2）中的结论求得当x,y取何值时，该矩形面积最大以及其最大面积.

【详解】解：（1）因为边长为c的正方形面积为

它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a-b）的小正方形组成的，

它的面积为4x｝力+（。_b）2=a2+b2,

所以c^—^+b2.

（2）'：（a-b）2>0,

a2+h2-2ab>0,.,.a2+h2>2ab,

当且仅当时，等号成立.

（3）依题意得2（x+y）=8,，x+y=4,长方形的面积为町，

由（2）的结论知与匕^十丁二^+丫尸-2