《概率论与数理统计》第三版课后习题答案

习题一:

1.1写出下列随机试验的样本空间：

(1)某篮球运动员投篮时，连续5次都命中，观察其投篮次数；

解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故。I={5,6,7,…};

⑵掷一颗匀称的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；

解:%={2,3,4,…1L12}；

⑶观察某医院一天内前来就诊的人数；

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以。3={0，1，2,…}；

⑷从编号为1，2,3,4,5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

d=};

⑸检查两件产品是否合格；

解：用0表示合格,1表示不合格，则口5={(0,0),(0,1),(1，0)，(1,1)}：

(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);

解：用X表示最低气温，y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：

⑺在单位圆内任取两点，观察这两点的距离；

解：Q；={r|0-<x-<?］；

(8)在长为/的线段上任取一点，该点将线段分成两段，观察两线段的长度.

解：A={(x,4xA0,y〉0,x+y=/}；

1.2

⑴A与B都发生，但C不发生；ABC:

⑵A发生，且B与C至少有一个发生;

(3)A,B,C中至少有一个发生；AuBuC；

(4)A,B,C中恰有一个发生;ABCuABCDABC；

(5)A,B,C中至少有两个发生；ABUAC^JBC；

(6)A,B,C中至多有一个发生;左耳。川^口目3；

⑺A;B;C中至多有两个发生;ABC

⑻A,B,C中恰有两个发生后CuAB。；

注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3设样本空间O={x|0<x<2},事件4={X0.5WXW1},3={X0.8YXWL6}

具体写出下列各事件：

(1)AB;(2)A-B;(3)A-B；(4)A^JB

(1)AB=(xjO.8^；x<l}；

(2)A—B={A|0.5<x<0.8)；

(3)A-B-^x|0<x<0,5u0.8x<2};

(4)AuB=同0WxW0.55.6YxW2}

1.6按从小到大次序排列P(A),P(AD8),P(A5),P(A)+P(8),并说明理由.

解：由于ABqA,Aa(Au8),故P(A3)4P(A)〈P(Au8),而由加法公式，有:

产(AD8)«P(A)+P(8)

1.7

解：⑴昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

P(Wu£)=P(W)+P(£)-P(WE)=0.175

⑵由于事件W可以分解为互斥事件WE,豆，昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件

概率为：P(诙)=P(W)—P(WE)=0.1

⑶昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛的概率为：P(W£)=1-P(WuE)=0.825.

1.8

解：⑴由于ABqAABqB,故P(AB)WP(A),尸(A3)«P(8),显然当时P(AB)

取到最大值。最大值是06

(2)由于P(AB)=P(A)+P(6)—P(AD6)。显然当P(ADB)=1时P(AB)取到最小

值，最小值是0.4.

解：因为P(AB)=0,故P(ABC)=O.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(AufiuC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)一尸(AC)+P(ABC)=0.7

1.10

解

(1)通过作图，可以知道，P(AB)=P(A^B)-P(B)=0.3

(2)P(AB)=1-P(AB)=1-(尸(A)-尸(A-3))=0.6

(3)由于P(48)=P(才目)=1-P(Au8)=1-(P(A)+P(8)-P(A8))

=1-P(A)—P(B)+P(A8)

P(3)=l—P(A)=0.7

1.11

解：用A,表示事件“杯中球的最大个数为，个"z=1,2,3«三只球放入四只杯中，放法有

4x4x4=64种，每种放法等可能。

3

对事件4：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4X3X2种，故P(A)二三

8

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件A,：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3

1319

个球，选法有4种)，故尸(A')=—。P(4)=l-------=—

1681616

1.12

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为

“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

18

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5的概率各是,一。

129

⑴1.13

解：从10个数中任取三个数，共有盘)=120种取法，亦即基本事件总数为120。

⑴若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个，取法有

,1

《=6利1,故所求概率为

20

(2)若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个，取法

有C；,=10种，故所求概率为上1。

12

1.14

解：分别用4,42,4表示事件：

(1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球，一只黄球.则

…、2814.C：61.16

P(A)=T=——=—,P(4)=T=—=——，P(A3)=1-P(A)—P(4)=—。

1C%6633-66111-33

1.15

P((4UR)CB)

解:P((AD巨)怛)=

P(B)P(B)

由于P(耳8)=0,故尸((Au豆)忸)=还」⑷"丽=0.5

P(B)P(B)

1.16

(1)P(AuB);(2)P(AuB);

解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1-=1-0.4X0.5=0.8;

(2)P(AuB)=P(A)+P(B)_P(AB)=1-P(B)P(A\B)=l-0.4x0.5=0.6;

注意：因为P(4B)=0.5,所以P(司B)=l—P(HB)=0.5O

1.17

解：用A,表示事件“第，次取到的是正品"(7=1,2,3),则4表示事件“第，次取到的是

次品"(』,2,3)。P(A)=*；,P(A4)=P(A)P(4|A)=%K4

4U什什JL7JO

⑴事件“在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品”的概率为：

-.5

lo

(2)事件“第三次才取到次品”的概率为：

P(A4»尸(A)P(4同p(M&)=畀挤］=急

(3)事件“第三次取到次品”的概率为：-

4

此题要注意区分事件(1)、(2)的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，

设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用A,表示事件“第，次取到的是正品”

(i=l,2),

则事件”在第一次取到正品的条件下，第二次取到次品”的概率为：P（A,|A）=1：而事件

“第二次才取到次品”的概率为：P（A&）=P（A）P（可A）区别是显然的。

1.18„

解：用4（i=0,1,2）表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数广'。用8表示事件“从

第二箱中取到的是次品”。则

24P(Q_C；1

P（4）

a等p⑷a91

i23

M4）=-,P（B|A）=五，P（B|4）=F，

根据全概率公式，有：

3

p（3）=p（4）尸（4%）+P（4）P（B|A）+P（4）尸（到4）=工

2o

1.19

解：设d（i=1,2,3）表示事件“所用小麦种子为z.等种子”，

8表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。

则p（4）=0.92,P（4）=0.05,P（4）=0.03,尸（6⑷=0.5,。（却&）=0.15,

p（@&）=0.1,根据全概率公式，有：

P（B）=P（A）P（q4）+尸（&）尸（@4）+尸（4）尸（耳A）=04705

1.20

解：用8表示色盲，A表示男性，则彳表示女性，由己知条件，显然有:

P（A）=0.51,P（A）=0.49,P（B\A）=0.05,P（B\A）=0.025,因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为:

।=P(AB)=P(AB)=P(4)P(却A)=_102

1—P(B)~P(AB)+P(AB)—P(A)P(B|A)+P(A)P(B|X)-T?1

1.21

解：用8表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则彳表示非癌症患者，显然有:

P(A)=0.005,P(A)=0.995,P(B|A)=0.95,P(Bp)=0.01,

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(A1B)=P^L=P(A8)_:。⑷配)_=21

1P(B)P(AB)+P(AB)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|X)294

1.22

（1）求该批产品的合格率；

（2）从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，若此件产品为合格品，问此件产品由

甲、

乙、丙三厂生产的概率各是多少？

解：设，4=｛产品为甲厂生产）,金=｛产品为乙厂生产）,鸟=｛产品为丙厂生产）,

A=｛产品为合格品）,则

（1）根据全概率公式，P（A）=P（Bt）+P（B2）P（/1|B2）+P（B3）P（A|fi,）=0.94,该批

产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，P（蜀A）=--------：——P（1）P（d4）------------=—

1P（即P（d.）+P（.）P（HB2）+P（鸟）尸（4鸟）94

7794

同理可以求得。（&|4）=三，尸（闯A）=^,因此，从该10箱中任取一箱，再从这箱中任取

192724

一件，若此件产品为合格品，此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：—O

949447

1.23

解：记A=｛目标被击中｝,则P(A)=1-P(Z)=1-(1-(19)(1-0.8)(1-0.7)=0.994

1.24

解：记A4=｛四次独立试验，事件A至少发生一次｝,3=｛四次独立试验，事件A一次也不

发生｝。而尸(44)=0.5904,因此P(4)=l-尸(44)=「^)=P(Z)4=0.4096。所以

P(Z)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2

三次独立试验中，事件A发生一次的概率为：C；P(A)(1—2(4))2=3x0.2x0.64=0.384。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:

(10)加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

式当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减法公当BuA时,P(A-B)=P(A)-P(B)

式

当A=Q时，P(B)=1-P(B)

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称四丝为事件A发生条件下，事

(12)条件概P(A)

率件B发生的条件概率，记为P(B/A)="竺L

尸⑷

尸血/A)「尸⑷「⑷瓦),i=l,2,…n。

(16)贝叶斯

fp(Bj)P(A/Bj)

公式

J=1

此公式即为贝叶斯公式。

第二章随机变量

2.1

X23456789101112

P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/36

2.2解：根据fp(X=A)=l,得£"*=1,即此！•①。

k=0k=01—e

故a-e-\

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)

⑴两人投中的次数相同

叫

P{X=Y}=X=O,Y=O}+P{X=1/Y=1}+P{X=2,Y=2}=

+(7'OJ'O.B1x^'o.4'0.61+(；jo-72o.3(,x(3''o.42o.6(,=0.3124

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=O}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

C'O.7'0.31x(7''0.4°0.62+C"0.720.3°X(7"0.4°0.62+C'0.720.3°xC：0406=0.5628

1232

2.4M：(1)P{1=^X^3}=P{X=1}+P{X=2}+p{X=3}=p+—+—=y

121

(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=l}+P{X=2}=—+—

曲，、,”1111-/•:1

2.5解：(1)P{X=2,4,6,…}=/+外+贷+诃=傥------j—=-

1---

4

(2)P{X23}=1—P{X<3}=1—P{X=1}-P{X=2}=1------=-

244

2.6解：设m表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0,1,2

P{X=0}=P{4AAA}=P(A)P(&IA)P(AIA&)P(AI4AA)=

1817161512

__X___x__x___—__

2019181719

P{X=D=P{A4*}+P{*4%}+尸悟|耳4工}+P{*44}

218171618217161818216181716232

=——X——X——X-------1--------X—X——X--------1--------X—X—X--------1-------X—X—X——=——

2019181720191817201918172019181795

12323

P{X=2}=1—P{X=0}—P{X=1}=1---------

199595

2.6解：⑴设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(XN3)=P(X=3)+P(X=4)=(7^0.430.6'+(7,0.440.6°=0.1792

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C；0430.62+(j'0.440.6'+(7^0.450.6°=0.31744

2.7(1)X〜P(入)=P(O.5X3)=P(1.5)

i5°

P{X=O}=—e_15=e_1-5

0!

(2)X〜P(入)=P(0.5X4)=P(2)

1

P{XN2}=l—P{X=0}—P{X=l}=l—R20e-2—〒9e-2=]_3e-2

2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,则乂~3(18Q0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P(X〈m)N0.99,也即

P(X>w+l)<0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为2=180x0.01=1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+l=7时上式成立，得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

1500

(.15(X)10001000

P(1000<X<1500)=­r-dJx=-----

J1000X

10003

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y,则Y~«所求的概率为

P(Y=2)=《(1)2x(|)3=.=0.329

2.10(1)假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为:

P{0.8<X<1}=J；12X(1—X)2^=(6X2-Sx3+3/)|[=0.0272

(2)假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9<X<1}=J；12M1-x)2dx=(6x2-8%3+3x4)['§=0.0037

2.11解:要使方程+2&+2K+3=0有实根则使△=(2KJ-4(2K+3)20

解得K的取值范围为[-8,-1]0[4,+8),又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

[-1-(-2)+4-3]1

P=-------------------------=—

4-(-2)3

2.12解：X~P(A)=P(—)

200

⑴P{X4100}=f-!-e200公=e2002

J。200I。

(.001」-L.v.00上

(2)P{X>300}=f—e200dx=e200=e2

J300200hoo

,3001——---x.300----

(3)P{100<X<300}=I-5-e2^dx=e200=e2-e2

Jloo200hoo

」_1

^{%<100,100<%<300}=^{%<100}^{100<%<300}=(1-/2)(/2_/2)

2.13解：设每人每次打电话的时间为X,X~£(0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为

P(X>10)=0.5e-°&dx=：=e-5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y,则丫~8(282/5)。

因为“=282较大，p较小，所以V近似服从参数为4=282x6-71.9的泊松分布。

所求的概率为

P(y>2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)

=l-e-l9-1.9e_19=l-2.9e-19=0.56625

2.14解：⑴P(X4105)=①(^^)=①(-0.42)=1-中(0.42)

12

=1-0.6628=0.3372

(2)P(100<X<120)=①(12,；,_①(l00110)

=①(0.83)-①(-0.83)=2①(0.83)—1=2x0.7967-1=0.5934

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X>«}=1-P{X<</}<0.01

P{X<a}=①("77。)>099

a“184厘米

2.19X的可能取值为1,2,3。

。261

因为P(X=l)=T=?=0-6；P(X=3)=，=

C；10C5io

尸(x=2)=1—0.6—0.1=0.3

所以x的分布律为

X123

p0.60.30.1

X的分布函数为

0x<l

0.6l<x<2

F(x)=­

0.92Ax<3

1x>3

2.20(1)

n

P{y=O}=P{X=]}=0.2

「{丫=12}=P{乂=0}+P{X=7}=0.3+0.4=0.7

p{y=4/}=p{x=卞=0.1

Y02

714万2

0.20.70.1

%

(2)

P{y=_1}=尸{X=0}+P{X=zr}=0.3+04=0.7

TT3^r

P{y=l}=P{X=£+P{X=f=02+0.1=0.3

0.70.3

/

2.21(1)

当一14x<l时，E(x)=P{X=T}=0.3

当14x<2时,尸(x)=P{X=—l}+P{X=l}=0.3+P{X=l}=0.8

P{X=l}=0.8-0.3=0.5

当x22时，"尤)=P[X=-1}+P{X=1}+P{X=2}=O.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1—0.8=0.2

X-112

P0.30.50.2

(2)

P{y=l}=P{X=-l}+P{X=l}=03+0.5=0.8

P{y=2}=P{X=2}=0.2

Y12

0.80.2

孙

2.22X~N(0,1)fx(x)=-j=e2

兀

(1)设FY(W，4(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

，4-1)+11X2

%(y)=P{Y<y}=P{2X-1<y}=P{X<寸}=

受1

对弓(y)求关于y的导数，得人(y)=$e「亍(芋")'8

-j=eyG(-oo,oo)

(2)设Fy(y),6(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

x

当y40时,FY(y)=P[Y<y}=P{e<y}=P{0}=0

当y〉0时，有

81—

X

FY(y)=P{Y<^}=P[e-<^}=P{-XWIny}=P{X>-lny}=匚~^=e^dx

对耳(y)求关于y的导数，得

1i_(Wy>0

e2(-iny)r=-==-e2

fY(y)='而<2冗y

oy<0

(3)设Fy(y),人(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

2

当y40时，FY{y}=P{Y<y}=P{X<y}=P{<Z)}=Q

当yX)时，F(y)=P{Y<y}=P{X2<y}=P[-^<X<2

y6H金edx

对K(y)求关于y的导数，得

Lb厂丫_L邛(厂丫，-孚y>°

加y)=厉，(6)一诟e3一传e

y<I

0

10<X<7T

2.23VXU(0,7T)fx(X)=<7i

0其它

(1)

当21n;r<y<8时

2

FY{y}=P{Y<y}=P{2}nX<y}=P[\nX<y}=P{0}=Q

当一8<y<

y

22v

FY(y)=P{Y<y}=P{21nX<y}=P{lnX<y}=P{X<e}=P{X<1^-dx

Jo7c

1Z]Z-0021FT

对耳(y)求关于y的导数，得到人(y)=♦G(e2)'=五"

021FT<y<oo

(2)

当yNl或yWT时,FY(y)=P{7<y}=P{cosX<y}=P{0)=0

当—l<y<l时，4(y)=P{y4y}=P{cosX4y}=P{X2arccosy}=「-dx

Jarccosy冗

对耳(y)求关于y的导数，得到

1、，1-1<y<1

----(azrccosy)=——//

=t71

fY(y)兀戊-丫?

0其它

(3)当yNl或yW(^K(y)=P{yQy}=P{sinX4y}=P{0}=O

当0<y<l口寸，

4(y)=P{YWy}=P{sinX<y}=P{0<X<arcsiny}+P{万一arcsiny<X</r]

(•arcsiny1pr1

=I—cix+I—dx

J。4J^-arcsiny冗

对耳(y)求关于y的导数，得到

1120<y<l

—arcsiny--(〃一arcsiny)=——{—.

/y(y)={771万J]一/

o其它

第三章随机向量

3

3.1P{1<X<2,3<Y<5}=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)—F(2,3)=——

128

3.2

9

(3)

P{(X,y)e0=J；办,J；[(6一x—y)dx=北[(6一y)x一#『办

=—[(—j2-6y+5—)J)'=—(—y3-3y2+5—y)|'=—x—=—

9Jo2'2'96'2-lo9327

3.5解：（1）

F(x,y)=[：]；2八2"+%〃小=2e&dM=(—e-飞)(—*2飞)=(1—e-')(l

p(y4x)=jj;2e-3+”dxdy=^2e-2'dx[\-'dy=^2e2x(-ey\l)dx

=£2e小(1-)dx=J；(2e-2x-2e-3x)dx=(—e/'©+ge-3'=1

1

3.6解：P(x2+y2<«2)

Wl+f+V)FE=『Jo呵J"O7r(l+r2)2

二『犯舟亍〃(")=-92收击|：=1—1_a2

\+<rX+a1

3.7参见课本后面P227的答案

3.8%(x)=£f(x,y)dy=£|xy2办=x拳：=鼻

力(y)=Q(x，y)dx=[：|x)5=##|：=3y2

0<x<2

x3/0<y<1

5

/x(%)=p,/r(y)=<

0其它

。其它

3.9解：X的边缘概率密度函数fx(x)为:

①当x>l或x<0时，/(x,y)=o,

4(y)=J：4.8)，(2-》心=4.8乂2》-92][=48汨；_2)，+:/]

•'L、LL

fx(x)=0y>1或y<0

0<y<l

A(x)=J；4.8y(2—x)dy=2.4/(2—矶；=2Ax\2-x)

②当0VxM1时(x)=Jo4.8y(2—x)dy-2.4y2(2—x)|()=2.4%2(2—x)

Y的边缘概率密度函数万(y)为:

①当y>l或y<0时，/(x,y)=O,启y)=0

②当OWyWl时，力(y)=J：4.8y(2—尤)公=4.8乂2x-gx2][=4.8Mlg-2y+gy2]

=2.4y(3_4y+y?)

3.10(1)参见课本后面P227的答案

6dy0<x<l_j6x(l-x)0<x<1

⑵/(x)=Jx~

X其它一其它

0

,t-

6dx0<y<l=J6(77-y)0<y<l

fy(y)=ry其它一［。其它

3.11参见课本后面P228的答案

3.12参见课本后面P228的答案

3.13(1)

20<x<l20<x<1

d---X

fx®=J。3耕3

0其它0其它

0<y<21y0<y<2

-----1------

36

其它0其它

对于04yW2时，4(y)>0,

6x2+3]八]

0<x<l----------"0<x<l

2+〉

所以人⑴所管；

i"《

-+z

36

0其它、。其它

对于OWxKl时，fx(x)>0

3x+y

f+生0<y<20<y<2

6x+2

所以狐3T:A3

—<

2X2+—

3

其它其它

00

一

111i3x-+yi3x-+y7

“zz6X-+2

2

3.14

025X的边缘分布

10.150.250.350.75

30.050.180.020.25

Y的边缘分布0.20.430.371

由表格可知P{X=l;Y=2}=0.25WP{X=l}P{Y=2}=0.3225

故P{X=X,；y=y,}NP{x=x,^Y=y}

所以X与Y不独立

3.15

123X的边缘分布

11£1]_

69183

2ab1

—+a+b

33

Y的边缘分布J_111

a+—b+—

2918

由独立的条件p{X=x；y=y}=P{X=x,}P{y=y,}则

P{X=2；y=2}=P{X=2}P{Y=2}

P{X=2；y=3}=P{X=2}P{y=3}

AP{X=，}=1

可以列出方程

(；+〃++a)=a

(1+份(?+。+，)="

lo3

-+-+a+h^].

33

a>0,b>0

21

解得一/)

99

X0<x<2

3/0<y<l

3.16解(1)在3.8中人(x)=<24(y)=<

0其它

0其它

3

当04x42，OWyWl时，人*加工=-xj

当x〉2或x<()时，当y>l或y<0时，/x(x)%(y)=O=/(x，y)

所以，X与Y之间相互独立。

2.4X2(2-X)0<X<1

(2)在3.9中,fx(x)=<

0其它

2.4y(3-4y+y2)0<y<l

人(y)=<

0其它

当OKx<l,OWyWl时,

22

fx(x)fY(y)=2.4x(2-x)2.4X3-4y+/)=5.76x(2-x)X3-4y+/)

工/（乂丁），所以X与Y之间不相互独立。

3.17W：

Xx

f。）=匚/。，力办=『Xe-^-^dy=xe

]

/P=£>■月力=J；xe'益J-(1^

'帚=f(x,y)

故X与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章数字特征

4.1解：E(X)=£xiPj=l

E（y）=Zy，p，=0-9

i

•.•甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又•.•两台机床的总的产量相同

...乙机床生产的零件的质量较好。

4.2解：X的所有可能取值为：3,4,5

P{X=3}==0.1

a

r~

P{X=4}=W=0.3

c；

r2

尸{X=5}=V=0.6

C5

E(X)=£XR=3X0.1+4X03+5X0.6=4.5

i

4.3参见课本230页参考答案

4.4解：

P{X=n}=p(\-p)n-',〃=1,2,3......

七⑻2"也吃.一”二百看4

4.6参考课本230页参考答案

4.7解：设途中遇到红灯次数为X,则乂~8(3,04)

£(X)="〃=4x0.3=1.2

4.8解

+□0

E(X)=Jf(x)xdx

—00

150023000[

=fX"x+f-----------7(x-300QxJ.

i1500-烹150(y

=500+1000

=1500

4.9参见课本后面230页参考答案

4.10参见课本后面231页参考答案

0

4.11解:设均值为〃，方差为0■，则X~N(〃，0?)根据题意有：

产(X〉96)=l—P(X<96)

=1一尸(曰<生马

(J<7

=1一①⑺

=2.3%

①⑺=0.997,解得t=2即cr=12

所以成绩在60到84的概率为

P(60<X<84)=<^21)

12(J12

=<D(1独(-1

=20(1)1

=2x0.84412

=0.68：

4.12E(X2)=Ox0.4+12x0.3+22xO.2+32xO.l=2

E(5X2+4)=4x0.4+(5xl2+4)x0.3+(5x22+4)x0.2+(5x32+4)x0.1=14

£(y)=E(2X)=「Ixe-Xdx=2「“(—"*)=2[-xe~s\C+Ve-xdx\

4.13解：J°J°°J°

=2(-叫：=2

E(y)=E(e-2X)=^e-2xe-xdx=J%-3'dr=1工=|

4成3

4.14M：V

"T-

1

a<x<I

设球的直径为X,则：二

其它

0

4.15参看课本后面231页答案

4.16解:

fx（幻=「/（X，y）d尸£12y7y=4x

f（y）=「/（x,丁）分=f12ydx=12y-12y

*/yJ—ooJy•/JJ

E（x）=>Cf⑶•时=J；4x〃=5

E（y）=["、⑴,必1=f12yli2ydy=|

E（XK）=jj/（x,y）xydxdy=^12xydxdy=^12xydydx=—

0<y<x<l0<y<x<l°

E（xb=「/a）.V公=£4x%=|

[）（y>y=£12y-\2ydy=|

222216

E（X+y）=£（x）+E（y）=^

4.17解

：X与Y相互独立,

E(XY)=E(X)E(y)=£xlxdx^ye5r办=(|x3|'yd(-e5-y)

=|x(—ye、-'[+[e5->dy)=；x[5+(-e5-v)|j=|x(5+l)=4

3)，53,3

4.18,4.19,4.20参看课本后面231,232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，X,(Z=l,2,10)表示第，颗骰子出现的点数,

10

则*=2乂；，且X，X2，x”,是

/=|

独立同分布的，XE(X,)=lx-+2xl++6x1=—

6666

ioi