高数2复习重点难点例解

高数n复习资料

一.关于二元函数在一点的极限、连续性和是否存在偏导数的讨论

例1.求极限limx-y-ln(x2+y2),

(x,y)f(0,0)

22

解：limx2y2ln(x2+y2)=lim[(x2+y2)2ln(x2+y2)]%y

(x,y)->(0,0)(x,y)->(0.0)U2+y2)2

由limz21nz=0,通过变量代换z=/+),知：lim(x2+y2)2ln(x24-y2)=0,

ZTO(x,y)->(0,0)

r2v21丫22

又,2)2、2工力所以lim[(^2+y2)2ln(x2+y2)]———7^=0,

(x2+y)4*,y)T(o,o)(X2+y2y

即limx2y2ln(x24-y2)=0o

(x,y)->(0,0)

注：多元函数极限可通过变量代换化成一元函数极限，利用一元函数求极限方法求出其极限，一般

都非常简单。

例2.求极限lim(/+/1我F

XT+0O

y—>4-00

4

x+/(二+】)=。

解：因为lim(孙)4"。=0,lim(x4+y4)e-xy=lim(xy/e^'=lim(xype-'•0

X->+<®XT+8Xf+30(孙)4X->-KOxy

y->+ooy->+ooyT+ooyT+oo

/\-O'

例3.求极限lim

x+y)

y—>4-00xJ/

、町'

孙

解:因<—所以lim—=0,

22一2XT+<®

y->+oo\+V7

例4.求极限lim(x+y)ln(x2+y2)

(x,y)->(0,0)

解:lim(x+y)ln(x2+)/)令x=rcos6,y=rsin0limr(cos0+sin0)Inr2<4|rlnr|,

(x,y)T(0.0)r-»0

而limrlnr=0,于是lim(x+y)ln(x2+y2)=0

r-»0(x,y)->(0,0)

(x+)，)sin(0)2,v2,n

~)i，大十)产u

x+y

例5.y(x,y)=<，

0,x2+y2=0

证明了(x,y)在(0,0)点连续，且存在偏导数。

证明：lim(x+y)sinUy)=limsin(xy)(x+y)xy

(x„vW(0.0)/+y2(x.*)^(0.0)2

(xy)X+

(x+y)xy/I।(x+y)xy„„sin(xy),

而一片一L4|x+y|,所以hmV,7/=0,又lim------—=1因此

JTOO

x+y-o.o)x+y“),)(Xy)

lim(x+?sin,))=0=/(0Q3/(x,y)在(0,0)点连续。

(x,y)f(0,0)+y2

显然f(0,0)=lim“x?°)70°)=0,f(0,0)=lim=0,即/(x,y)在(0,0)点存在偏导数。

xx"。'—

XTOxyf0y

例6.分别研究下列二元函数的在(0,0)点的连续性和可偏导性。

1,xy=0

1)/(x,y)=<

O,xy0

解：.。)加皿―21lim以=0,/(O,O+Ay)-7(O,O)^iiml-l^o

■->0Ay->0

即/(x,y)在(0,0)处的偏导数存在，但

沿x轴(y=0),有lim/(x,y)=l；沿直线y=x,有limf(x,y)=limf(x,x)=0

A->0x->0X->0

y=0尸x

即/(x,y)在(0,0)处的不存在极限，从而间断o

町’,x2+)aw0

2)/(内)=<3+"

0,x~+y2=0

f+y2

孙

/［tr朵r•«3氏1/为V0u，v<r+V=、

2y[x2+y2

(x2+y2Y2

由夹逼定理知1嗝°,―2—r=0=/(0,0),即〃x,y)在(0,0)连续。

仁…。),+力5

/：(O,O)=limJ3'O)T(。'。)=o,/；(O,O)=lim且)7(°⑼=0,即f(x,y)在(0,0)处的偏导数存在,

AXTOAr)AyfO△)：

‘孙220

3)f(x,y)=\x2+y2'"，

0,x2+y2=0

解：y；(o,o)=lim0(。'。)=0,/；(o,o)=lim/(峥)二/(°。)=0,即/(x,y)在(0,0)存在处偏导数,

Ar—Av>Av—A、，

孙k

但㈣"%》)=崛1沿y=kxlim一,'厂随k而异,

=^=7x2+k-xT+F

y->0，一>0+r

f(x,y)在(0,0)处极限不存在。所以f(x,y)在(0,0)处不连续。

(x2+y2)sin1,x2+y2^0

4)/(x,y)={\x'+y,

0,x2+y2=0

解：lim/(x,y)=lim(x2+y2)sin,—4'u=x2+y2limMsin-^==O=f(0,0)

Uj)T(o.o)‘''>J/+/J:“TO7M

即〃x,y)在(0,0)连续。

f；(O,O)=lim/⑶'。)-/®‘。)=lim—sin，=0,/；(0,0)=lim旭助-/®，。)=nmAysin—=0,

AXTO\yAX->0AYAy->0△),,A>-»0Ay

即/(x,y)在(0,0)处的偏导数存在。

,x2+y2w0

5)/(x,y)=<x2+y2

0,x2+y2=0

由不等式|系卜舞小即知/％急=°=/Q°)'即"3在(°，。)连续。

解:

f；(O,O)=limQ)-'®'。)=o,/；(o,o)=lim汽。效』f0°)=0,即f(x,y)在(0,0)处的偏导数存在,

'Ar—*0Av,Av—*0A

A、\J「'/I4，(X,y)H(O,O)

6)/亿〉)=产+4)，4

[0,(x,y)=(0,0)

4

解：lim”x,y)=lim-^^=3—随m而变，极限不存在，即/(x,y)在(0,0)不连续，但

(x,y)->J0.0)x->0y+4,ITl~+4

my2-x

/；(O,O)=lim3，°)二£(°。)=o,/；(O,O)=lim/(。由-/®,。)=o,即/(x,y)在(0,0)处的偏导数存在,

A—0AxAy->0Ay

二.第二类(对坐标)曲面积分

直接计算方法：“一投、二代、三定号”三步法；间接计算法：用高斯公式将曲面积分转化为三重积分。

例1.计算：\\-j^==dzdx,其中S是曲面)，=/+[2与y=l,y=2所围立体表面的外侧.

解：曲面S=S+S2+S3,其中5={(x,y),+z2=其投影为Q：/+72

222

邑={(x,>>)|x+z2W2,y=2},其投影为D2:x+Z<2

22

S3={(x,y)|y=x+z,l<y<2},其投影为。3:1W/+342

|j=dzdx-Jj,=dzdx=[dO—rdO-2Qe近兀

s?7x~+y々Yr+z~r

dzdx=-dzdx=_d®—rdr=-2(e^-e)7t,因此

r

/zdx=JHJ+JH&M71

S|S2S3

例2.计算：JJzdxdy.其中Z是椭球面/方+号=1外法线是正向.

解:椭球面£在xoy坐标面上的投影是椭圆域D：5+为41.在椭圆域D上，椭球面上分为上与下两部分曲面

22I22

1-三』，Z,：z=-cjl-与-4

Jab\ab~

2外法线与z轴正向的夹角是锐角，4外法线与z轴正向的夹角是钝角，丁.是

||zdxdy=jjzdxdy+jjzdxdy=cjj

ZZ|S2D

令x=4pcos6,y=/?psin92abcp=:兀abc

例3计算：\\udydz+xydzdx+yzdxdy,.其中2是柱面/+丁=1在第一象限中0<z<l部分的前侧.

£

解：对于=（向前），向yoz面上.投影为。、：WyW1,。WzW1.

^zxdydz=y2dydz=，dzjyjl-y2dy=—.

工％8

对于JJxydzdx,E;y=一/(向右)，向xoz面上投影为£)必：。工1(L。<ZK1.

z

^xydzdx-|Jx>]l-x2dzdx=fxyjl-x2dx工zdz=—.

工以3

对于JJyzdxdy,因为2向xoy面上投影区域面积为0,所以^yzdxdy=0,

££

于是'jjzxdydz+xydzdx+yzdxdy=/+；.

例4计算：\\xdydz+ydzdx+zdxdy,.其中2是旋转抛物面z=x2+y?在第一卦限中o«z<1部分的上侧.

£

2

解法一：首先，对于Jjxdydz,E:x=Jz-y?（向后,与x轴的正向相反），向yoz面上投影为Dyz:o<y<I,y<z<1.

z

_____,,______,3,r\5

221

\\xdydz--\\^z-ydydz^-[dy£^z-y-dz=--(z-yd)，=_f0_y2Pdy

£%2y2D

A2g4231万7t

令y=sin,——bcostat-——x—x—x—=---.

3J)34228

其次，由x,y位置对称性，JJ），dzdx=-工

s8

最后,对于JJzdxdy,X:z='十/(向上)，向xoy面上投影为D^,:o<0<—,0<r<1.

£2

^zdxdy=jj(x2+y2)dxdy=d0^rydr=—

工%8

于是,{{xdydz+ydzdx+zdxdy=-+—=

J8888

解法二（更换坐标变量，适用于E平面，旋转抛物面等）：由题设2=/+/，根据公式姓=4也=2迫

-z*F1

dydz=-zdxdy=-2xdxdy,dzdx=-zydxdy=-2ydxdy，于是

^xdydz+ydzdx+zdxdy=jj(-2x2-2y2+x24-y2)dxdy=-jj(x2+y2)clxcly=-JjU2+)dxdy

ZZ

例5计算：JJ（z-3Mxdy,•其中S是旋转抛物面2z=f+），2介于2WzW3之间部分的下侧.

解：S:2z=x2+y2（向下），向xoy面上投影为£）町,：。肛《痛.（由4«2z=/+y2K6得到）

22[72

JJ（z-3）dxdy=_（'+，——3MMy=j（3-—）rdr=71

z%22

例6计算：^xdydz+ydzdx+zdxdy,.其中2是球面/+/+j=R?在第一卦限部分的上侧.

解法一：由对称性知：Jjxdydz+ydzdx+zdxdy=3Jjzdxdy,

2：Z=J/?2_（x2+y2）（向上），向xoy面上投影域为：O〈ew],0〈r<R.（由x2+y2«R2,x2o,yN0得至IJ）

所以，原积分=3\\zdxdy==3?/^R2-r2rdr=-W

i2

解法二（高斯公式）：补上左：x=0（后侧），Z2:y=0（左侧），2：3：Z=O（下侧），则2与它们围成的区域的体积

为球的体积的工，则原积分ffff—+—+—Lv=ff[（l+l+lVv=3xlx-^-/?3=-/?3

8孰8dz）也八尸832

三.运用逐项求导法计算级数的和

产一丫2〃-135

例1求级数一=》+上+上+…的和

占2〃-135

8丫2〃-1

解：它的收敛区间为（T,l）,对于任意的VX€（-1,1）,设/（x）=£?—，

2»-1

_co_(..2/1—1

则/‘(x)=z2-2”-2_U1_1

A——T已知/(0)=0,于是，Vxe(-l,l),有

n=lI2〃一.\-q\-x~

/(x)=1/M

5

例2求级数£（-iyix3r

=X---------1-------------的和

/J=12〃一135

产一丫2〃-13„5

解：设=-=%-—+-——在收敛域［-1,1］内逐项求导，

M2/1-135

161

得f\x)=1-x2+x4-----——2，注意/(0)=0，即得/(X)=［-~别f=arctanx

8丫2”-135

于是，当时W/(x)-V(-1)"-1------x----1-------arctanx

Zi2n-l35

例求级数之二-v.24

31+=上+…的和

£（2〃）!2!4!

设/(x)=£x2"

解:在收敛域(-8,+8)内逐项求导,

n=0(2〃)!2!4!

V3V5V2V3

fr(x)=x+—+—+•••,于是/(x)-/'(尤)=1-X+—-—H(1)

23

f(^)+fXx)=^~^~—=e'，(2)

dx2nx2r4PxaP~x

交(1)+(2)得,f(x)=V----=Id----!>—+•••=--------=chx(X€(-00,+oo))

白(2〃)！2!4!2

例4求级数之上一的和

解：它的收敛区间为[-1,1],对于任意的设/(外=之一一

M〃(〃+D

00〃+1

首先讨论xe(-l,l),用x乘等式两端各项，有0Xx)=Z」一

念〃5+1)

>1+\'8Y”“8(n\00

[V(X)]'=£x4一1

H(x)/=Zj=ZX-

〃(〃+1),〃=inn1-X

于是，Vxe(-l,l),有工犷⑺]”力==>[/(，)]]；=-ln(l—x)nH(x)[=—ln(l—x)

=>j"—jln(l—=>=(1-x)ln(1-x)+x=>(x)=(1-x)ln(1-x)+x

1—X

从而，当xwO时,/(x)=——ln(l-x)+l

X

81

当X=1时,直接得/⑴2而丁

古建殂rz八6(T)“111八1、/A/A

当x=—l时,宜接得/(-1)=V------=----+--------+…=-(1—)+(----)—(-----)+•••

£〃(〃+1)12233422334

23n

111xxx

—2(—14------1-----)+1=1—21n2(根据ln(l+x)=x-----1------+(-1)/?---1"…得ln2)

23423n

当x=0时，直接得/(0)=0

l-x

——ln(l-x)+l,当异[-1,1),x丰0,

8YnX

于是，~~~={1,当x=i

„=in(n+l)八、匕八

四.二阶常系数齐次线性微分方程y"+py'+qy=0(p,q为常数)的解

特征方程：y"+py'+qy=O(p,q为常数)r2+pr+q-0

rxv

通解：①特征方程有不相等的二实根：y=C,e'+C2e

rx

②特征方程有相等的二实根r：y=(C]+C2x)e

a

③特征方程有共甄复根a土甲:y=e\Clcos(3x+C2sin外)

例1-—2y，=0的通解为。

解；特征方程为「一/一2r=0,解得4=0,弓=-"=2,故通解为y=G

例2具有特解弘=0，%=2泥，%=3"的三阶常系数齐次线性微分方程为。

解；由题设知特征为：r=-1-1,1,特征方程为"+1)2(「-1)=/+尸一「一1=。

故方程为y"'+y"-y-l=0

例3y"+4y'+4y=0的通解为。

解：特征方程为：/+"+4=0n(r+2)2=0,有两相等实根r=-2,通解为y=(G+。2幻""

例4y“)+),"+>，+y=。的通解为0

解：特征方程为：r4+r3+r+l=0^(r+l)2(r2-r+l)=0,有两相等实根r=T,及共甄复根;士乎i

x

通解为y=y=(C,+C2x)e^+e^'(C3cosx+C4sinx)

五.第二类曲线积分

1掌握第二类曲线积分的计算方法

(1)把积分曲线的参数方程代入曲线积分中，使之化为定积分再计算：

①曲线।由方程x=x(f),y=y(r),z=z(f)(a«f<4)给出，则

[P(x,y)dx+Q(x,y)dy=J1P(x(f),y(f))x'(f)+Q(x(r),y(t))y\t)]dt

②曲线i由方程y=/(x)(aVx<b)给出，则

Jp(x,y)dr+Q(x,y)dy=/[P(xJ(x))+Q(x,/(x))/'(x)]dr

③曲线/由x=g(y)(c〈yWd)给出，贝U

[p(x,)，)dx+Q(x,y)dy=f[P(g(y),y)g'(y)+Q(g(y),y)y]dy

(2)用格林公式将曲线积分化为二重积分计算：

其中/为逆时针方向，。为/围成的平面区域。

使用该公式时要注意：①/必须是封闭的期限，且为正向；②被积函数在/及。上有一阶连续偏导数，如果上述条

件不满足，可创造条件使其满足。例如可适当添加辅助曲线，使积分曲线成为封闭曲线，或用“挖补法”去掉偏导不

连续的点。

(3)利用曲线积分与路径无关的条件，选择最简单的积分路径(如平行于坐标轴的折线)计算积分。

2.理解曲线积分与路径无关的条件，知道用曲线积分可表示平面图形的面积：

S--ydx

3.掌握平面曲线积分与路径无关的充要条件：若P(x,y),Q(x,y)在单连通区域。内有一阶连续偏导数，则

，P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关o孚=纵,(苞y)e£)。

Jexdy

8Q_8P

例1若对任意的x,y有，设C是有向闭曲线，则《Pck+Qdy=

dxdy

解：由格林公式将

dP

)drdy

其中。为C围成的平面区域，及条件丝三丝知，应该填写：0

dxdy

例2.j-ydx+xdy,其中/是延圆周(x—l)2+(y—=1正向一周.

解：因为圆周(x-l)2+(y-1-=1所围圆面积。为：1?•乃，由格林公式得：J-ydx+xdy=Jj(l+l)dxdy=2笈,

D

应该填写：2〃

例3若P(x,y)及。(x,y)在单连通域。内有连续的一阶偏导数，则在。内，曲线积分［Pdx+Qdy与路径无

关的充分必要条件是().

B.在域。内恒有丝=土

A.在域。内恒有——=—

dxdydxdy

C.在。内任一条闭曲线/'上,曲线积分4Pdx+QdywO

D.在。内任一条闭曲线/'上,曲线积分j/dr+Ody=0

解：若P(x,y),Q(x,y)在单连通区域。内有一阶连续偏导数，则Jp(x,y)dr+Q(x,y)dy与路径无关

o丝卫,(x,y)皿

所以选择：B

dxdy

例4设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，()是与路径无关的.

2

A.[3yx2dx+犬@B.|ydx-xdyC.^2x)>dx-xdyD.13yx&+

因为选项A中，2=0。)犷)=3/,丝=^2=3,,由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正

解:

dydydxdx

确选择:A

例5设积分路径,(a«f4/)，那么第二类曲线积分计算公式[>(x,y)dx+Q(x,y)dy=().

[V="⑴J

A.，[尸(e(f),〃⑺)9'a)+Q(eQ)"(f))/(f)]dfB.[]P(9⑺M(f))+Q(9(f)，Mf))]“Q)df

C.门户(夕⑺，以f))+Q(°⑺，以f))]/⑺出D.[[P(夕”),”《))+Q(e(f),“(r))]山

解：因为积分曲线的路径由参数方程/4"=""),(avrv/?)给出，把参数方程代入曲线积分中，得：

y=勿⑺

工[P(°Q),"(f))*'«)+。(9«),〃«))”'«)]山所以正确选择：A

rc[x—COSt

例6计算[(eAsiny-3y+x2)dr+(eAcosy-x)dy,其中/为由点A(3,0)经椭圆《的上半弧到点

J[y=2sinZ

B(—3,0)再沿直线回到A的路径.

解：由于•/为封闭曲线，故原式可写成

j(e"siny-3y+x2)dr+(eAcosy-x)dy

A

其中P=e"siny—3y+X?,Q=ecosy-x,由格林公式

J

原式二，(e"siny—3y+Y)心+(eCosy-x)dy

JJ[(e*cosy-l)-(eAcosy-3]drdy=JJ2dxdy=2.L4•3•2=64

DD2