高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的概念与恒等变换考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

专题六三角函数与解三角形第1讲三角函数的概念与恒等变换考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2015·高考全国卷Ⅰ，5分)sin20°·cos10°－cos160°sin10°＝()A.－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)(必修4P132练习T5(6))求值.sin20°cos110°＋cos160°sin70°条件结论相互转换是高考试题命制的途径之一，平常学习时，注重这种思想锻炼会收到极佳的学习效果.[教材变式训练]一、选择题[变式1](必修4P69T8(3)改编)已知tanα＝3，则(sinα－cosα)2等于()A.eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(7,5) D．eq\f(8,5)解析：选B.∵tanα＝3，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝1－eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(2,5).[变式2](必修4P146T8(3)改编)化简eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α等于()A．sinα B．cosαC．1 D．0解析：选C.eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α＝eq\f(sin2αcosα＋cos2αsinα,sinα)－2cos2α＝2cos2α＋cos2α－2cos2α＝2cos2α－(2cos2α－1)＝1.[变式3](必修4P143T2改编)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，若tanα＝mtanβ，则m的值为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴tanα＝5tanβ，∴m＝5，故选C.[变式4](必修4P135T3改编)已知sin2α＝－sinα，α是第二象限角，则tan2α的值为()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：选D.∵sin2α＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，因α为第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×（－\r(3)）,1－（－\r(3)）2)＝eq\r(3)，故选D.[变式5](必修4P135练习T2改编)已知sin(α－π)＝eq\f(3,5)，α是第四象限角，则tan(α＋eq\f(π,4))的值为()A．7 B．－7C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)解析：选C.∵sin(α－π)＝eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，又∵α为第四象限角，∴cosα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(（－\f(3,4)）＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7)，故选C.[变式6](必修4P146T5(2)改编)cos50°(eq\r(3)－tan10°)的值为()A．1 B．－1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：选A.cos50°(eq\r(3)－tan10°)＝cos50°·eq\f(\r(3)cos10°－sin10°,cos10°)＝cos50°·eq\f(2（sin60°cos10°－cos60°sin10°）,cos10°)＝eq\f(2sin50°cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.故选A.二、填空题[变式7](必修4P137A组T5改编)已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)且60°<α<150°，则cos(2α＋150°)＝________．解析：设30°＋α＝t，∴90°<t<180°，∵sint＝eq\f(3,5)，∴cost＝－eq\f(4,5)，∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t－30°)＋150°]＝cos(2t＋90°)＝－sin2t＝－2sintcost＝eq\f(24,25).答案：eq\f(24,25)[变式8](必修4P146A组T6(3)(4)改编)已知cos2θ＝eq\f(4,5)，则sin4θ＋cos4θ＝________．解析：法一：∵cos2θ＝eq\f(4,5)，∴2cos2θ－1＝eq\f(4,5)，1－2sin2θ＝eq\f(4,5)，∴cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10)，∴sin4θ＋cos4θ＝eq\f(41,50).法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(9,25)＝eq\f(41,50).答案：eq\f(41,50)[变式9](必修4P147B组T8改编)已知直线l的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为6时，原点到直线l的距离为________．解析：∵α为直线l的倾斜角，∴0≤α<π又∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴cosα＝eq\f(1,5)－sinα，由sin2α＋cos2α＝1，∴25sin2α－5sinα－12＝0，∴sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝－eq\f(3,5)(舍去)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)，设直线l在y轴上的截距为b，∴直线l的方程为y＝－eq\f(4,3)x＋b，令y＝0，l在x轴上的截距为eq\f(3b,4)，∴eq\f(1,2)|b|×|eq\f(3,4)b|＝6，∴|b|＝4，∴原点到直线l的距离d＝eq\f(3|b|,\r(42＋32))＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)[变式10](必修4P147B组T5改编)已知sinθ，cosθ是关于x的一元二次方程x2－(2sinα)x＋sin2β＝0的两实根，则eq\f(cos2α,cos2β)＝________．解析：由题意得sinθ＋cosθ＝2sinα，①s