第02讲 二次根式的性质（2）与二次根式的乘除（解析版）

第02讲二次根式与二次根式的性质（1）1.2（2）-1.3（1）【学习目标】掌握二次根式积的性质和商的性质；2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；3、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算。【基础知识】一、二次根式的性质：1.（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.2.（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.二、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.三、二次根式的乘法1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.四、二次根式的除法1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..要点：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.【考点剖析】考点1：最简二次根式的概念例1．下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用最简二次根式定义判断即可．A：是最简二次根式，符合题意；B：，不符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．例2．下列根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．2个 B．3个 C．6个 D．5个【答案】A【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解：符合最简二次根式的条件；=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；=，被开方数含分母，不是最简二次根式；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；符合最简二次根式的条件；=，被开方数含分母；不是最简二次根式；因此只有，两个符合条件．故本题选择A．考点2：最简二次根式的化简1-数字型（积的性质与商的性质）例3．化简：______．【答案】【解析】【分析】根据根式的性质进行化简即可．解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟悉相关性质是解题的关键．例4．化简：（1）＝______；（2）﹣＝______．【答案】

【解析】【分析】根据最简二次根式的定义解答．解：=，，故答案为：，．【点睛】此题考查了二次根式的化简，掌握最简二次根式的定义：不含分母，不含能再开方的因式或因数，是解题的关键．考点3：最简二次根式的化简2-含字母型（积的性质与商的性质）例5．把下列二次根式化成最简二次根式：(1).(2).(3).(4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根据二次根式的乘法和除法法则化简即可.解：(1).(2).(3).(4).【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于基础题型，熟练掌握化简的方法是关键.例6．当时，化简：_______；_______；_______．【答案】

【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简．根据二次根式的意义，可知中的，则，又∵，∴原式=；根据二次根式的意义和，可知中的，则，又∵，∴原式=；根据二次根式的意义和，可知中的，则，又∵，∴原式=．故答案是：；；．【点睛】本题考查二次根式的化简，需要注意化简的时候要考虑字母的取值范围，注意符号的变化．考点4：最简二次根式的形式例7．若二次根式是最简二次根式，则最小的整数______.【答案】－1.【解析】【分析】先确定a的范围，再根据最简二次根式的概念即可得出答案.解：∵，∴.当a取最小整数－1时，，是最简二次根式，所以最小的整数－1.故答案为－1.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和最简二次根式的定义，熟知概念是解题的关键.例8．若和都是最简二次根式，则________．【答案】1【解析】【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.根据题意得：解得∴【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．考点5：最简二次根式的化简3-复合型例9．把下列各式化成最简二次根式：；

；；

；；

．【答案】；；；；；．【解析】【分析】（1）先将带分数化为分数再开方．（2）直接开方再分母有理化；（3）直接开方即可．（4）将小数化为分数后再开方．（5）通分后再开方．（6）通分后再开方，然后再分母有理化．解：（1）原式==；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错．例10．已知a<0，那么可化简为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】结合已知条件、分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出b的取值范围，然后根据二次根式的乘除法公式化简即可．解：由题意可知：解得：b＞0∴===故选D．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键．例11．已知，化简二次根式的正确结果为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据最简二次根式的定义即可化简.解：由题意可知，y<0，则=，故选择A.【点睛】掌握最简二次根式的定义和性质是解本题的关键.例12．化简：（1）=_________，（2）=___________．【答案】

【解析】【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再进行化简运算即可；（2）将二次根式化为最简二次根式，再进行化简运算即可；（1）原式=（2）原式=故答案为:,【点睛】本题考查最简二次根式和二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．考点6：二次根式的乘法1-数字型例13．计算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】【分析】根据二次根式乘法法则计算即可．原式．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根．例14．计算：＝_________．【答案】20【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．考点7：二次根式的乘法2-字母型及复合型例15．计算：__________．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．解：；故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．例16．下列计算正确的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A选项：，计算错误，故与题意不符；B选项：，计算步骤有误，故与题意不符;C选项：，计算错误，故与题意不符；D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符.故选D.例17．计算（2）（）的结果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式进行计算即可．解：（2）（）故选B．【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键．考点8：二次根式的乘法法则成立的条件例18．要使等式成立的x的值为（

）A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.∵，∴或，∴x=-2或x=3，又∵，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.考点9：二次根式的除法1-数字型例19．计算：＝___．【答案】【解析】【分析】用二次根式除法法则计算即可．解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算．例20．计算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的除法运算计算得出即可．解：．故答案为：3．【点睛】本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键．例21．计算：÷＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解．解：，故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键．考点10：二次根式除法法则成立的条件例22．能使成立的x的取值范围是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可．由题意可得：，解得：x＞2．故选D．【点睛】二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．例23．使等式成立的条件时，则的取值范围为___．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案.解：等式成立，由①得：由②得：所以则的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键.例24．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）．【答案】②③④【解析】【分析】根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可．①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定；②一定成立，因为成立时，一定满足；③当时，，故一定成立；④当成立时，，则，故一定成立；故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键．考点11：二次根式的除法2-字母型及复合型例25．计算：＝____．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的除法法则解决此题．解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．例26．计算：＝___．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的除法运算法则计算即可；原式；故答案是：；【点睛】本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键．例27．计算：_________．【答案】x【解析】【分析】根据二次根式的除法法则计算即可．解：===x．【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式．例28．计算：=______

=______【答案】

24

【解析】【分析】运用积的乘方的逆运算：(ab)n=anbn，把写成，再先算乘方再算乘法；按从左到右的顺序运算．解：==3×23=3×8=24解：==故答案为：24，【点睛】此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序．例29．当时，化简_________________．【答案】【解析】【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．由二次根式的定义得：，，，又除法运算的除数不能为0，，，则故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．考点12：二次根式的乘除法1-数字型例30．下列运算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案．解：、，正确，不符合题意；、，正确，不符合题意；、，正确，不符合题意；、，故原式错误，符合题意，故选：．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大．例31．计算：＝___．【答案】【解析】【分析】先把除法转化为乘法，再计算即可完成．故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错．考点13：二次根式的乘除法2-字母型及复合型例32．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（

）①；

②；

③；

④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论．①当a、b均为负时，、无意义，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．综上可知：成立的结论有②④．故选C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键．例33．计算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可．原式．故选：A【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．例34．计算：（1）（2）（3）（4）（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；（2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可；（5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．例35．计算:（1）;（2）;（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．考点36：二次根式乘除的应用例36．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为_______．【答案】12【解析】【分析】直接根据长方体体积公式求解可得．∵长方体的长为，宽为，高为∴长方体的体积=故答案为：12【点睛】本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长．例37．站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________.【答案】160【解析】【分析】把h=2000代入公式进行即可.解：把h=2000代入公式得所以答案是：160.【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.例38．若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是___________．【答案】【解析】【分析】首先根据的取值范围得出a，b的值进而求出即可．解：∵，的整数部分是a，小数部分是b，∴a=1，b=∴故答案为：【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a，b的值是解题关键．【真题演练】一、单选题1．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．【详解】解：＝2，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．3．（2021·湖南益阳·中考真题）将化为最简二次根式，其结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式，，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．4．（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.【详解】解：故选：D.【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.5．（2013·海南·中考真题）下列各数中，与的积为有理数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据实数运算的法则对各选项进行逐一计算作出判断．【详解】解：A、，是无理数，故本选项错误；B、，是无理数，故本选项错误；C、，是有理数，故本选项正确；D、，是无理数，故本选项错误．故选C．6．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（

）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．【详解】解：，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．（2018·四川绵阳·中考真题）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围．【详解】由题意可知：,解得：,故选：．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.二、填空题8．（2018·河北·中考真题）计算：=_____．【答案】2【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．【详解】==2，故答案为2．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及算术平方根，熟练掌握二次根式化简的方法以及算术平方根的定义是解题的关键．9．（2022·山西·中考真题）计算的结果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．【详解】解：原式＝＝＝3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．10．（2010·江苏南京·中考真题）计算：__________．【答案】【分析】根据二次根式的乘法进行求解即可．【详解】解：；故答案为：【点睛】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．11．（2015·江苏南京·中考真题）计算的结果是_________．【答案】5．【详解】.故答案为5.12．（2022·天津·中考真题）计算的结果等于___________．【答案】18【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：，故答案为：18．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁阜新·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．【详解】原式当时，原式．【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．【过关检测】一、单选题1．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的性质，进行逐一化简即可判断．【详解】，故选项错误，不符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；，故选项错误，不符合题意．故选：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项不符合题意；B、符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意；C、，被开方数里含有分母；故本选项不符合题意．D、，被开方数里含有能开得尽方的因式；故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．3．将化为最简二次根式，其结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．4．化简

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可得到答案．【详解】解：，故选A．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．5．若等式成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据二次根式的性质，即被开方数是非负数，分数的性质，即分母不能为零，即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴由①得，；由②得，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式中被开方数的非负性，掌握二次根式有意义的条件时解题的关键．6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最简二次根式的是（

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义即可进行解答．【详解】解：①，不是最简二次根式；②，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④，不是最简二次根式；⑤是最简二次根式；⑥，不是最简二次根式；⑦，是最简二次根式；⑧，不是最简二次根式；综上，是最简二次根式的有：③⑤⑦．故选：D．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的定义，最简二次根式要求根号下不含有可开方的数，根号下不含有分母，分母也不能含有根号．7．下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．【详解】解：．，选项不正确，不符合题意；B．，选项正确，符合题意；C．，选项不正确，不符合题意；D．，选项不正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．在下列各式中，化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据算术平方根，二次根式的乘除法则判断即可．【详解】解：A、，故错误，该选项不符合题意；B、，故错误，该选项不符合题意；C、，故错误，该选项不符合题意；D、，故正确，该选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了算术平方根，二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．9．若，，则与之间的关系是（

）A．互为倒数 B．互为相反数 C．互为负倒数 D．相等【答案】C【分析】先求积，再判断．【详解】解：∵．∴，互为负倒数．故选：．【点睛】本题考查实数的性质，根据，的特征，求出是求解本题的关键．10．下列计算正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据只有当a≥0，b≥0时，即可判断A；根据，即可判断B；求出即可判断C；根据平方差公式和二次根式的性质求出的值即可判断D．【详解】解：A.（没有意义），故A错误；B.，故B错误；C.，故C错误；D.，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和定义，注意：①只有当a≥0，b≥0时，，②有意义的条件是．11．如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先根据，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可．【详解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，无意义，①错误；，②正确；，③正确；，④错误；正确的有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．12．观察下面分母有理化的过程：，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：的值是（

）A． B． C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用已知化简二次根式，进而结合平方差公式计算得出答案．【详解】解：，故选：C．【点睛】此题主要考查了分母有理化，平方差公式，正确化简二次根式是解题的关键．二、填空题13．______，______，______．【答案】

【分析】根据二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，即可求出答案．【详解】解：，，，故答案为：，，【点睛】本题考查二次根式的性质以及二次根式的乘除法运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质．14．二次根式中：、、、是最简二次根式的是______．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：是最简二次根式，∵，，，∴、、不是最简二次根式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．15．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________．【答案】2【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：当时，，不是最简二次根式，当时，，是最简二次根式，∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2，故答案为：2．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．16．化为最简二次根式是___________．【答案】【分析】根据二次根式的性质计算即可．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解题的关键．17．计算：______．【答案】【分析】根据二次根式的除法运算法则进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的除法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．18．化简：___________．【答案】【分析】根据二次根式的混合运算法则化简求解即可．【详解】解：．故答案：【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．19．一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是___________.【答案】【分析】在排列中任意将三个相邻的数定义给a，b，c的值，找出之间的运算关系即可．【详解】解：∵，，……，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律性，解题的关键是找到三个数之间的关系．20．设，，当t为___________时，代数式．【答案】2【分析】根据x，y的表达式，可以观察出，，再将改写为含有与的形式，代入解出t即可．【详解】，，，解得（舍去），．故答案为：2【点睛】本题考查乘法公式的运用，熟练掌握乘法公式并能将二次三项式改写为含有与的形式，是本题的解题关键．三、解答题21．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】解：（1）不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式；（2）不是最简二次根式，被开方数含分母．（3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（4）是最简二次根