高考数学二轮复习 中外数学文化专练 文-人教版高三数学试题

中外数学文化专练纵观近几年高考，中外优秀的数学文化已成为高考数学命题的重要素材之一，命题者常常结合统计、函数、数列、立体几何、算法等内容，通过创设新的情境、改变设问方式，选取适合的知识内容等多种方法渗透中外优秀的数学文化.以数学文化为背景的问题，不仅让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开.随着高考改革的深入，命题者仍会适当加大对中国传统文化进行考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展路径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观.1．(2019·呼和浩特二模)瑞士著名数学家欧拉发现公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[根据欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，得ei＝cos1＋isin1，它在复平面内对应的点为(cos1，sin1)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos1＞0,sin1＞0))，所以位于第一象限．故选A.]2．(2019·黄山三模)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝()A．23 B．32C．35 D．38C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋eq\f(9×8,2)×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C.]3．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p，则圆周率π的近似值为()图1图2A.eq\f(1,41－p) B.eq\f(1,1－p)C.eq\f(1,1－4p) D.eq\f(4,1－p)A[圆形钱币的半径为2cm，面积为S圆＝π·22＝4π；正方形边长为1cm，面积为S正方形＝12＝1.在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p＝eq\f(S圆－S正方形,S圆)＝1－eq\f(1,4π)，则π＝eq\f(1,41－p).故选A.]4．(2019·岳麓区校级模拟)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,15)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,14)D[在不超过20的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19共8个，随机选取两个不同的数共有28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P＝eq\f(1,14)，故选D.]5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为()A．1.5尺 B．2.5尺C．3.5尺 D．4.5尺B[设此等差数列{an}的公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5,9a1＋eq\f(9×8,2)d＝85.5，解得d＝－1，a1＝13.5.则a12＝13.5－11＝2.5.故选B.]6．(2019·郑州三模)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)的图象大致是()ABCDD[根据题意，函数f(x)＝eq\f(x4,|4x－1|)，则f(－x)＝eq\f(－x4,|4－x－1|)＝eq\f(x4·4x,|4x－1|)，易得f(x)为非奇非偶函数，排除A、B，当x→＋∞时，f(x)＝eq\f(x4,1－4x)→0，排除C；故选D.]7．(2019·济南模拟)朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走．遇务①添一倍，逢店饮斛九②，店务经四处，没了这壶酒，借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛．如图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x值为0，则输出的x值为()A.eq\f(57,40) B.eq\f(133,80)C.eq\f(57,32) D.eq\f(589,320)C[由题意，模拟程序的运行，x＝0，i＝0第一次执行循环体后，x＝eq\f(19,20)，i＝1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x＝eq\f(57,40)，i＝2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x＝eq\f(133,80)，i＝3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，x＝eq\f(57,32)，i＝4，满足退出循环的条件，输出x的值为eq\f(57,32).故选C.]8．(2019·安徽二模)谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积(我们称黑三角形为谢尔宾斯基三角形)．在如图第5个大正三角形中随机取点，则落在白色区域的概率为()A.eq\f(68,81) B.eq\f(175,256)C.eq\f(81,256) D.eq\f(16,81)B[不妨设第一个三角形的面积为1，则第二个图中黑色部分面积为eq\f(3,4)，第3个图中黑色部分面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2，第4个图中黑色部分面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3，第5个图中黑色部分面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4，则在第5个大正三角形中随机取点，落在白色区域的概率为P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4＝eq\f(175,256).故选B.]9．电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte＝8bit，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为()A．254 B．381C．510 D．765B[恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的二进制数为11000000,1100000,110000,11000,1100,110,11，共7个．转化为十进制并相加得(27＋26)＋(26＋25)＋(25＋24)＋(24＋23)＋(23＋22)＋(22＋21)＋(21＋20)＝381，故选B.]10．(2019·东湖区校级三模)“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西­布尼亚科夫斯基­施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4－5中给出了二维形式的柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc(即eq\f(a,c)＝eq\f(b,d))时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数f(x)＝2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)的最大值及取得最大值时x的值分别为()A.eq\r(5)，eq\f(21,5) B.eq\r(3)，eq\f(21,5)C.eq\r(13)，eq\f(61,13) D.eq\r(29)，eq\f(61,13)A[由柯西不等式可知：(2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4))2≤(22＋12)[(eq\r(5－x))2＋(eq\r(x－4))2]＝5，所以2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)≤eq\r(5)，当且仅当2eq\r(x－4)＝eq\r(5－x)，即x＝eq\f(21,5)时取等号，故函数f(x)＝2eq\r(5－x)＋eq\r(x－4)的最大值及取得最大值时x的值分别为eq\r(5)，eq\f(21,5)，故选A.]11．(2019·马鞍山一模)1642年，帕斯卡发明了一种可以进行十进制加减法的机械计算机.1674年，莱布尼茨改进了帕斯卡的计算机，但莱布尼兹认为十进制的运算在计算机上实现起来过于复杂，随即提出了“二进制”数的概念．之后，人们对进位制的效率问题进行了深入的研究．研究方法如下：对于正整数n，x(x≥2)，我们准备nx张不同的卡片，其中写有数字0,1，…，x－1的卡片各有n张．如果用这些卡片表示n位x进制数，通过不同的卡片组合，这些卡片可以表示x个不同的整数(例如n＝3，x＝10时，我们可以表示出000…999共103个不同的整数)．假设卡片的总数nx为一个定值，那么x进制的效率最高则意味着nx张卡片所表示的不同整数的个数xn最大．根据上述研究方法，几进制的效率最高？()A．二进制 B．三进制C．十进制 D．十六进制B[设nx＝k为定值，则nx张卡片所表示的不同整数的个数y＝xeq\f(k,x)，(x，k∈N*)，假设x，k∈R＋，则lny＝eq\f(k,x)lnx，即y＝eeq\f(k,x)lnx，求导可得：y′＝eeq\f(k,x)lnx·eq\f(k,x2)(1－lnx)，因为eeq\f(k,x)lnx·eq\f(k,x2)＞0，所以当0<x<e，y′>0，当x>e，y′<0，可得x＝e时，函数y取得最大值，比较2eq\f(k,2)，3eq\f(k,3)的大小即可，分别6次方可得：23k＝8k,32k＝9k，可得8k<9k，∴2eq\f(k,2)<3eq\f(k,3).∴根据上述研究方法，3进制的效率最高，故选B.]12．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为eq\f(\r(5)－1,2)，把eq\f(\r(5)－1,2)称为黄金分割数．已知双曲线eq\f(x2,\r(5)－12)－eq\f(y2,m)＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m的值为()A．2eq\r(5)－2 B.eq\r(5)＋1C．2 D．2eq\r(5)A[由题意得，在双曲线中a2＝(eq\r(5)－1)2，b2＝m，∴c2＝a2＋b2＝(eq\r(5)－1)2＋m.∵双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(2a,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(\r(5)－1,2)，∴eq\f(a2,c2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))2＝eq\f(3－\r(5),2)，∴eq\f(\r(5)－12,\r(5)－