高考数学二轮复习 第二篇 第16练 概率精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第16练概率[明晰考情]1.命题角度：古典概型与几何概型的概率计算.2.题目难度：中低档难度.考点一随机事件的概率要点重组(1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件.(2)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；若事件A，B对立，则P(A)＝1－P(B).1.从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是()A.3 B.4C.5 D.6答案C解析这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3.而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10.故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C.2.从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A.0.7 B.0.2C.0.1 D.0.3答案D解析∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A.0.42 B.0.28C.0.3 D.0.7答案C解析∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.4.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为eq\f(9,20)，则参加联欢会的教师共有________人.答案120解析可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－eq\f(9,20)＝eq\f(11,20).再由题意，知eq\f(11,20)n－eq\f(9,20)n＝12，解得n＝120.考点二古典概型方法技巧求古典概型问题的两种方法(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解.(2)要用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解.5.(2018·全国Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6 B.0.5C.0.4 D.0.3答案D解析设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为eq\f(3,10)＝0.3.6.(2017·天津)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选C.7.有两张卡片，一张的正反面分别画着老鼠和小鸡，另一张的正反面分别画着老鹰和蛇.现在有个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上，不考虑顺序，则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)答案C解析向上的图案为鼠鹰、鼠蛇、鸡鹰、鸡蛇四种情况，其中向上的图案是鸡鹰的概率为eq\f(1,4).故选C.8.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F，设G为满足eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________.答案eq\f(3,4)解析基本事件的总数是4×4＝16，在eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))中，当eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－eq\f(4,16)＝eq\f(3,4).考点三几何概型要点重组几何概型试验的两个基本特点(1)无限性.(2)等可能性.方法技巧几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围，在直线上选长度作为测度；在平面区域内选面积作为测度；在空间区域中则选体积作为测度.9.某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为eq\f(4,5)，则河宽大约为()A.80m B.50mC.40m D.100m答案D解析由长度的几何概型公式并结合题意可知，河宽为500×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝100(m).10.在Rt△ABC中，直角顶点为C，∠A＝30°，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则满足BC＜AM＜AC的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)答案C解析记“BC＜AM＜AC”为事件D，在AB上取一点C1，使得AC1＝AC，连接CC1，则∠ACC1＝75°，在AB上取一点C2，使得BC2＝BC，连接CC2，则∠ACC2＝30°，那么∠C1CC2＝∠ACC1－∠ACC2＝45°，而∠ACB＝90°，根据几何概型的概率计算公式知，P(D)＝eq\f(∠C1CC2,∠ACB)＝eq\f(45°,90°)＝eq\f(1,2).11.(2018·全国Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1＝p2 B.p1＝p3C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3答案A解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝eq\f(π,8)AB2，以AC为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(π,8)AC2，以BC为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2＝eq\f(π,8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq\f(π,8)BC2－eq\f(1,2)AB·AC，SⅡ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ,S总)，p2＝eq\f(SⅡ,S总).∴p1＝p2.故选A.12.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)答案B解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知，所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故选B1.设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6)D.eq\f(4－π,4)答案D解析如图所示，其构成的区域D为边长为2的正方形，面积为S1＝4，在区域D内随机取一点，则此点到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的eq\f(1,4)圆外部，面积为S2＝4－eq\f(π×22,4)＝4－π.所以在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P＝eq\f(4－π,4).故选D.2.若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________.答案eq\f(1,12)解析将先后掷2次出现向上的点数记作点坐标(x，y)，则共可得点坐标的个数为6×6＝36，而向上点数之和为4的点坐标有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个，故先后抛掷2次，出现向上的点数之和为4的概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).解题秘籍(1)利用古典概型公式解题时，要注意基本事件的等可能性，正确把握基本事件的个数.(2)当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.1.(2018·全国Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3 B.0.4C.0.6 D.0.7答案B解析由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.2.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)答案A解析分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9种情况，其中田忌的马获胜的有Ba，Ca，Cb共3种情况，所以田忌的马获胜的概率为eq\f(1,3)，故选A.3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,20)答案C解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).故选C.4.一个袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个小球的编号之和小于15的概率为()A.eq\f(29,32)B.eq\f(63,64)C.eq\f(31,32)D.eq\f(61,64)答案D解析基本事件总数为8×8＝64.两球编号之和不小于15的情况有三种：(7,8)，(8,7)，(8,8)，则两球编号之和不小于15的概率为eq\f(3,64)，因此两个球的编号之和小于15的概率为1－eq\f(3,64)＝eq\f(61,64).5.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，从该三棱锥的6条棱中任选2条，基本事件为：(SA，SB)，(SA，SC)，(SA，AB)，(SA，AC)，(SA，BC)，(SB，SC)，(SB，AB)，(SB，AC)，(SB，BC)，(SC，AB)，(SC，AC)，(SC，BC)，(AB，AC)，(AB，BC)，(BC，AC)，共15种情况，而其中互相垂直的2条棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5种情况，所以这2条棱互相垂直的概率为P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).6.(2017·全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D.7.已知a，b∈(0,1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,5)答案A解析函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，由二次函数的单调性可知－eq\f(－4b,2a)＝eq\f(2b,a)≤1，即a≥2b.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,0<b<1，,a≥2b，))即图中阴影部分.∴函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为eq\f(\f(1,2)×1×\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,4).故选A.8.(2018·衡水金卷模拟)三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为()A.eq\f(3\r(3),2π) B.eq\f(2\r(3),9π)C.eq\f(3\r(2),2π) D.eq\f(2\r(3),3π)答案A解析设圆的半径为r，则圆的面积S圆＝πr2，正六边形的面积S正六边形＝6×eq\f(1,2)×r2×sin60°＝eq\f(3\r(3),2)r2，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内的概率P＝eq\f(S正六边形,S圆)＝eq\f(\f(3\r(3),2)r2,πr2)＝eq\f(3\r(3),2π)，故选A.9.在三棱锥P－ABC内任取一点Q，使VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的概率为________.答案eq\f(19,27)解析如图，作出P在底面△ABC内的射影O.若VQ－ABC＝eq\f(1,3)VP－ABC，则三棱锥Q－ABC的高h＝eq\f(1,3)PO，则VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的点Q位于三棱锥P－ABC的截面DEF以下的棱台内，其中D，E，F分别为BP，AP，CP的三等分点.则VQ－ABC<eq\f(1,3)VP－ABC的概率P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(19,27).10.某中学夏季