第02讲 全等三角形的概念、性质、判定（3大考点5种解题方法）（原卷版）

第02讲全等三角形的概念、性质、判定（3大考点5种解题方法）考点考点考向一．全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．二．全等三角形的性质（1）性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等（2）关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．三．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．四．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．五．全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．考点精讲考点精讲一．全等图形（共3小题）1．（2021秋•襄州区校级月考）下列说法正确的是（）A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等2．（2021秋•义乌市期中）如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为．3．（2021秋•余杭区期中）如图是单位长度为1的正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝°．二．全等三角形的性质（共9小题）4．（2021秋•诸暨市期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．70°5．（2021秋•温州期末）如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠1等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°6．（2021秋•北仑区期中）如图，△ABC≌△ADE，下列说法错误的是（）A．BC＝DE B．AB⊥DE C．∠CAE＝∠BAD D．∠B＝∠D7．（2021秋•承德县期末）如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD＝CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（）A．DE B．BE C．BF D．DF8．（2021秋•长兴县月考）如图，已知△ABC≌△EBD．（1）若BE＝6，BD＝4，求线段AD的长；（2）若∠E＝30°，∠B＝48°，求∠ACE的度数．9．（2021秋•余杭区月考）如图，△ADF≌△BCE，∠B＝40°，∠F＝22°，BC＝2cm，CD＝1cm．求：（1）∠1的度数；（2）AC的长．10．（2021秋•大化县期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．11．（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．212．（2021秋•诸暨市校级月考）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．三．全等三角形的判定（共8小题）13．（2021•普陀区校级开学）如图，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC．求证：△ACD≌△AEB．14．（2021秋•湖州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS15．（2021秋•上城区期末）如图，已知∠DBC＝∠ACB，添加一个条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠ABD＝∠ACD D．∠A＝∠D16．（2021秋•越城区期末）△ABC与三边长分别为3，4，5的三角形全等，满足条件的△ABC的边角可以是（）A．∠A＝90°，AB＝3，BC＝5 B．∠B＝90°，AB＝5，BC＝3 C．∠C＝90°，AC＝3，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝4，BC＝317．（2021秋•柯桥区期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，若要判定△ABC≌△ADE，则下列添加的条件中正确的是（）A．∠1＝∠DAC B．∠B＝∠D C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠E18．（2021秋•普陀区期末）如图，AB＝AC，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD，（1）你添加的条件是；（2）根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD．19．（2021秋•温州期中）看图填空：已知：如图，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，试说明△ABC≌△DEF．解：∵BC∥EF∴∠ABC＝∠（两直线平行，同位角相等）∵AD＝BE∴＝BE+DB即＝DE在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（）20．（2021秋•仙桃校级月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，求t的值．四．全等三角形的判定与性质（共9小题）21．（2021秋•龙泉市期末）如图，点D，E分别在AC，AB上，AD＝AE，BE＝CD．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠A＝55°，∠C＝30°，求∠COD的度数．22．（2021秋•瑞安市校级期中）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点H．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）FH＝CH．23．（2021春•镇海区校级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为（）A．21 B．24 C．27 D．3024．（2021秋•开化县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）若∠DAE＝∠B＝28°，求∠BAD的度数．25．（2021秋•椒江区期末）如图，点A，D在线段FC上，FA＝CD，AB＝DE，BC＝EF．求证：AB∥DE．26．（2021秋•滨江区校级期中）如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°27．（2021秋•诸暨市月考）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（）个．A．1 B．2 C．3 D．428．（2021秋•高邑县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．3 B．5 C．6 D．729．（2021秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD≌△FBD；（2）若AD＝3，BF＝5，求△ABC的面积．五．全等三角形的应用（共6小题）30．（2021秋•肇源县期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．31．（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS32．（2021秋•椒江区期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刚才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL33．（2021秋•慈溪市期末）如图，为测量池塘两端AB的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长．其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS34．（2021秋•金华期中）如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（）A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS35．（2021秋•金华期末）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明通过构造△ABC与△BCD来测量A，B间的距离，其中AC＝CD，∠ACB＝∠BCD．那么量出的BD的长度就是AB的距离．请你判断小明这个方法正确与否，并给出相应理由．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）如图，已知，，欲证，不可补充的条件是（）A． B． C． D．2．（2021·全国八年级课前预习）如图，△ABC≌△BAD，如果AB＝6cm，BD＝4cm，AD＝5cm，那么BC的长是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．无法确定3．（2021·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）下列条件中，不能使两个直角三角形全等的条件是A．一锐角和斜边对应相等 B．斜边和一直角边对应相等C．有三条边对应相等 D．两个锐角对应相等4．（2021·通道侗族自治县教育科学研究室八年级期中）在中，，的平分线交于D，若，则点D到的距离是A． B． C． D．5．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边6．（2021·河北秦皇岛市·八年级期中）如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（）A．个 B．个 C．个 D．个7．（2021·全国八年级专题练习）如图，点在同一直线上，，则等于（）A．4 B．5 C．6 D．78．（2021·大连市第三十四中学八年级月考）如图，，，则的度数为（）A． B． C． D．9．（2021·大连市第三十四中学八年级月考）如图，，其中，，则（）A． B． C． D．10．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形的对应角平分线相等二、填空题11．（2021·宁夏八年级期末）如图，△ABC≌△DBC，∠A＝45°，∠DCB＝43°，则∠ABC＝______．12．（2021·全国八年级课前预习）如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD＝7cm，DM＝5cm，∠DAM＝39°，则△ANM≌△ADM，AN＝_____cm，NM＝_____cm，∠NAB＝_______．13．（2021·全国八年级课前预习）能够完全重合的两个三角形叫做_______．14．（2021·河北唐山市·八年级期中）已知：如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，根据图中所标注的数据，可求得阴影部分的面积为_______．15．（2021·嵩县教育局基础教育教学研究室八年级期末）如图，已知，和，，则度数为__________．16．（2021·广南县教学研究室八年级期末）如图，在中，，AD是的一条角平分线．若，则点D到AB的距离为___________．17．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A'B'的长度即可，该做法的依据是___．18．（2021·全国八年级单元测试）已知△ADF≌△CBE，∠A=20°，∠B=120°，则∠CEB=______．19．（2020·南京市金陵汇文学校八年级开学考试）如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要证明△ABC≌△DEF．（1）若以“ASA”为依据，还需要添加一个条件为___________；（2）若以“AAS”为依据，还需要添加一个条件为___________．20．（2021·全国八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为________厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．三、解答题21．（2021·山东日照市·海曲中学八年级期中）如图所示，ABCD中，AE⊥BD，,垂足分别为E，F．求证：AE＝CF．22．（2021·全国八年级课前预习）如图△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．23．（2021·吉林长春市·长春外国语学校八年级开学考试）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上，∠A=85°，∠E=50°，AB=4，E