湖北省崇阳县第一中学2023-2024学年高一下学期数学周测卷（七）

崇阳一中高一数学周测卷（七）一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B． C． D．2．已知非零向量，，若，则（

）A．8 B． C．6 D．3．已知，向量，且，则（

）A． B． C． D．4．在中，角的对边分别为，若，，则等于（

）A． B． C． D．5．函数的部分图象如图，则（

） B． C．1 D．6．函数的最大值为（

）A． B．2 C． D．7．在中，若，且，则（

）A．B．C．3D．28．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．在中，，则角的可能取值是（

）A． B． C． D．10．下面四个命题中的真命题为（

）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．已知，若，则D．已知，若，且，则，11．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，则下列结论中，错误的是（

）A．B．C．D．在上的投影向量为三、填空题12．已知向量满足，则.13．已知为锐角，，则.14．已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是．四、解答题15．已知(1)化简；(2)已知，求的值.16．已知函数的图象关于直线对称．(1)求的解析式及零点；(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______.(1)求角；(2)若为的平分线，且与交于点，求的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．如图，在中，是边的中点，在边上，与交于点．(1)以为基底表示；(2)若，求的值；(3)若，求的值．19．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.

(1)设的长为米，用表示；(2)求扶梯的长；(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.崇阳一中周测卷（七）参考答案一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由，所以其虚部为．故选：B．2．已知非零向量，，若，则（

）A．8 B． C．6 D．【答案】C【分析】根据向量共线的坐标表示求出，即可得到的坐标，从而求出其模.【详解】因为非零向量，且，所以，（舍去）或，，即．故选：C3．已知，向量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再利用夹角公式求解即可.【详解】由，可得，因为所以，，解得：，所以所以.故选：B．4．在中，角的对边分别为，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式结合有，由余弦定理结合有，再结合余弦定理以及平方关系即可运算求解.【详解】，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故选：C.5．函数的部分图象如图，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由图可知，分别求出后，由，得，结合的范围求出，最后得到函数表达式即可求解.【详解】由图可知，解得，又，所以，解得，注意到，从而，所以，所以.故选：B.6．函数的最大值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】设，根据，之间的关系将原函数转化成二次函数的最值问题处理.【详解】设，根据辅助角公式，，由，于是，故，当，取得最大值.故选：A7．在中，若，且，则（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】由，可得角；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得，即可得解．【详解】由，得，，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故选：D．8．如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解.【详解】因为，，所以是等边三角形，所以，因为，所以，所以，设，则，在中，由余弦定理可得，所以．故选：C.二、多选题9．在中，，则角的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由正弦定理解出，结合大边对大角判断出解的个数.【详解】由正弦定理有，即，解得，注意到从而，所以角的可能取值是，.故选：BC.10．下面四个命题中的真命题为（

）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．已知，若，则D．已知，若，且，则，【答案】ABD【分析】对于A，由实数四则运算的封闭性可判断；对于B，由共轭复数的概念、复数乘法以及模的计算公式即可啊、判断；对于CD，举反例即可判断.【详解】对于A，由于，而是实数的倒数，所以，故A正确；对于B，若，，则有，则，故B正确；对于C，取，显然满足，但不成立，故C错误；11．如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，则下列结论中，错误的是（

）A．B．C．D．在上的投影向量为【答案】ACD【分析】结合向量新定义，由向量模的计算公式即可判断A，由向量线性运算即可判断B，由向量垂直的充要条件，验证数量积是否为0即可判断C，由投影向量的计算公式即可判断D.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，在上的投影向量为，而由C选项分析可知，，由A选项分析可知，且注意到，所以在上的投影向量为，故D错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是充分理解投影向量的计算公式，并结合前述结论，由此即可顺利得解.三、填空题12．已知向量满足，则.【答案】1【分析】对两边平方，结合即可运算求解.【详解】因为，所以，解得.故答案为：1.13．已知为锐角，，则.【答案】【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可.【详解】因为为锐角，所以，所以，所以，又因为，所以，所以.故答案为：14．已知函数其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是．【答案】【分析】由复合函数单调性、正弦函数单调性得出关于不等式组，从而，进一步结合，又可得到关于的不等式组，结合即可得解.【详解】由题意，所以在单调递增，若在区间上单调递增，则在上单调递增，所以，其中，解得，从而等号不能同时成立，解得，又，所以只能或，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在得出后还要结合题意得，，由此即可顺利得解.四、解答题15．已知(1)化简；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据诱导公式直接化简；（2）为待求表达式补上分母，然后分子分母同时除以即可.【详解】（1）依题意得，（2）依题意得，，得到，于是16．已知函数的图象关于直线对称．(1)求的解析式及零点；(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．【答案】(1)，.(2).【分析】（1）由题意先求出，再求出的零点；（2）由图像平移与变换法则解出，再利用整体代入法即可得解.【详解】（1）的图象关于直线对称，，得，又，，，令，即，得，的零点为.（2）由将的图象向右平移个单位长度，得到的图象；再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到，令，，可得，，故的单调递减区间为．17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______.(1)求角；(2)若为的平分线，且与交于点，求的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选①，结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为及和差公式化简等式，再根据角的范围及函数值，即可求得A；若选②，根据平方关系及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.【详解】（1）若选①，则，又因为，所以，即，所以，又因为，所以，所以，解得；若选②，则，由正弦定理可得，故，又，故.若选择③；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，．综上所述，无论选①②③任何一个，都有；（2），，，因为，所以，又平分，所以，所以，则，即由余弦定理得，即，所以，解得或（负值舍去），故的周长为.18．如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．(1)以为基底表示；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解；（2）由三点共线及三点共线，结合平面向量共线定理列出方程组求解即可；（3）设，，再用表示出求得和，得出，结合即可得出．【详解】（1）．（2）连接，则，因为，，所以，，因为三点共线，三点共线，所以，解得．（3）设，，则，，所以，解得，所以，，又因为，所以，即，所以．19．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.某人在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，当人在点时，观测到视角的正切值为.

(1)设的长为米，用表示；(2)求扶梯的长；(3)当某人在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长.【答案】(1)(2)10(3)【分析】（1）解直角三角形得，结合以及锐角三角函数的定义即可得解；（2）分别表示出，，，结合，由两角和的正切公式列式求解，并结合建议即可；（3）作于点，设，则，，表示出，，由两角差的正切公式得出的表达式，结合基本不等式的