2022-2023上海八年级数学上册期末专题复习02二次根式的运算（考点讲解）（教师版）

专题02二次根式的运算【考点剖析】1.二次根式的运算【典例分析】【考点1】二次根式的混合运算1．计算：【考点】二次根式乘方【专题】二次根式混合运算【分析】根据二次根式的加、减、乘、除、乘方进行运算【解答】原式＝＝.【点评】本题主要考查二次根式的加减乘除法则是解决本题的关键．2．计算：.【考点】二次根式乘方【专题】二次根式混合运算【分析】根据二次根式的加、减、乘、除、乘方进行运算【解答】原式＝.【点评】本题主要考查二次根式的加减乘除法则是解决本题的关键．3．已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长是______．【考点】等腰三角形【专题】二次根式混合运算【分析】分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为时，当等腰的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为时，，∴不能组成三角形；当等腰的腰长为，底边长为时，∴等腰的周长；综上所述：等腰的周长是，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．【考点2】分母有理化1．的一个有理化因式是（

A

）A． B． C． D．【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【解答】解：A．∵，∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；B．∵，∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；C．∵，∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；D．∵，∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．2．的有理化因式可以是___________．（只需填一个）【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据有理化的定义解决此题．【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案为：【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．3．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是．【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据“互为友好因式”的概念解答即可．【解答】解：由题意可得：的“互为友好因式”为：，故答案为：．【点评】本题考查了定义新运算，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化的方法．4．不用计算器，比较与的大小，并说明理由．【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】将分母有理化，即可作答．【解答】，理由如下：，即：∴，即：．【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．5．当时，代数式的值是__5____．【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】将分母有理化，即可作答．【解答】，即：代入得：原式=，故答案为：5．【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．6．已知，求的值；【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】将分母有理化，即可作答．【解答】，代入得：原式=，故答案为：5．【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．7．（★★）已知，则＝____5_____【考点】分母有理化【专题】有理化因式【解答】由已知，而原式＝，所以原式＝.故答案为：5．【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．【考点3】不等式、方程运算1．解不等式：的解集是______．【考点】分母有理化【专题】解不等式【分析】将移项，即可作答．【解答】，移项得左右同时除以-1，得解得：故答案为：【点评】本题主要是考查二次根式的不等式的运算，掌握不等式的运算规则及分母有理化即可2．【考点】分母有理化【专题】解方程【分析】将移项，即可作答．【解答】，移项得左右同时除以，解得：故答案为：【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．3．【考点】分母有理化【专题】解方程组【分析】用加减消元解方程，即可作答．【解答】，由（1）得（3）（3）-（2）得：∴代入（1）式得：故答案为：【点评】本题主要是考查二次根式的大小比较以及二次根式的运算等知识，掌握二次根式的运算是解答本题的关键．【考点4】二次根式的计算应用（★★）1．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c是光速，为千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定有一对兄弟，哥哥18岁，弟弟15岁，哥哥乘着宇宙飞船作宇宙旅行，宇宙飞船的速度是光速的0.98倍．问：弟弟20岁时，刚从宇宙旅行回来的哥哥是几岁？【考点】二次根式应用题【专题】二次根式运算【分析】先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，可得地球上过5年，宇宙飞船内经过的时间为年，即可求解．【解答】解：根据题意得：当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间为秒，∴地球上过5年，宇宙飞船内经过的时间为年，∴刚从宇宙旅行回来的哥哥是岁．【点评】本题考查二次根式的应用；理解题意，确定地面时间与宇宙飞船时间之间的关系是解题的关键．2．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时：∵，∴．∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．【学以致用】根据上面材料回答下列问题：(1)已知，则当时，式子取到最小值，最小值为；(2)已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？(3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？【考点】二次根式应用题【专题】二次根式运算【解答】（1）解：当时，，∴当时，的最小值是2；即当时，的最小值是2；故答案为：1；2；（2）令，当且仅当时，即时，取最小值为，∴当时，．（3）设这个矩形的长为米，则宽为米，所用的篱笆总长为米，根据题意得：，由上述性质知：∵，∴，此时，，∴．答：当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．【点评】本题考查了二次根式与完全平方公式，求最值问题，理解阅读材料是解题的关键．【课后练习】下列各式计算错误的是（A）A.；B.；C.；D..【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【解答】A、∵，因而A错误.B、，正确；C、正确；D、，正确.故此题选A.【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．2．下列计算正确的是（

C

）A． B．C． D．【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【解答】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；B、，故本选项不合题意；C、，故本选项符合题意；D、，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．3.计算：．【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式化简、进行加法，减法计算即可．【解答】原式＝.故答案为：【点评】本题考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则是解答本题的关键．4.计算：＝.【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式化简、进行加法，减法计算即可．【解答】原式＝.故答案为：【点评】本题考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则是解答本题的关键．5.计算：＝.【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式化简、进行加法，减法计算即可．【解答】原式＝.故答案为：【点评】本题考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则是解答本题的关键．6.计算：＝2.【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式化简、进行乘除计算即可．【解答】原式＝，或原式＝故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则是解答本题的关键．7.计算：＝.【考点】二次根式混合运算【专题】二次根式运算【分析】分别根据二次根式乘除、平方差公式计算即可【解答】故答案为：【点评】本题考查了二次根式的混合运算掌握相关运算法则是解答本题的关键．8.写出的一个有理化因式.【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据分母有理化的概念解决即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案为：【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．9.写出的一个有理化因式.【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据分母有理化的概念解决即可【解答】的有理化因式可以是，答案不唯一.故答案为：【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．10.比较大小：>【考点】分母有理化【专题】有理化因式【分析】根据分母有理化的概念得出，然后比较得到【解答】∴∴∵∴>故答案为：>【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．11.不等式的解集是.【考点】分母有理化【专题】解不等式.【分析】将移项，即可作答．【解答】，∴，故原不等式的解集为：故答案为：【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化是解决本题的关键．12.若实数，则代数式的值为3.【考点】分母有理化【专题】二次根式的运算【分析】将分母有理化，配方后得出答案．【解答】因为，所以.故答案为：3【点评】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．13.对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：，那么＝1.【考点】自定义运算【专题】二次根式的运算【分析】将按照新运算计算，先算，再算【解答】由已知＝故答案为：1【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握新运算及二次根式是解决本题的关键．14、二次根式计算：(1).【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】将各式子化简后相加减【解答】解：原式＝.【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解决本题的关键．(2)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】将各式子化简后相加减【解答】原式＝【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解决本题的关键．(3)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】将各式子化简后相加减【解答】原式＝【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解决本题的关键．(4)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】将各式子化简后相加减【解答】原式＝【点评】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解决本题的关键．15、二次根式计算：(1)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】将各式子化简后相乘除【解答】解：原式=（1×6）。【点评】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能够了解法则并能熟练的将除法转化为乘法进行运算．(2)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法的法则计算即可．【解答】解：根据题意：，，，又∵，∴，∴．【点评】本题考查二次根式的加减法，利用二次根式的性质化简．解题的关键是将二次根式化为最简二次根式．(3)【考点】二次根式的混合运算【专题】二次根式的运算【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减法的法则计算即可．【解答】因为，原式＝【点评】本题考查二次根式的加减法，利用二次根式的性质化简．解题的关键是将二次根式化为最简二次根式．16、二次根式计算：(1).【考点】分母有理化【专题】二次根式的运算【分析】先将二次根式化为分母有理化，再根据二次根式的乘除法的法则计算即可．【解答】解：原式＝.【点评】本题考查二次根式的有理化运算，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．(2)【考点】分母有理化【专题】二次根式的运算【分析】先将二次根式化为分母有理化，再根据二次根式的乘除法的法则计算即可．【解答】解：原式＝.【点评】本题考查二次根式的有理化运算，熟练掌握有理化的定义是解决本题的关键．17、解不等式：(1)【考点】分母有理化【专题】解不等式【分析】将移项，即可作答．【解答】解：∴，.【点评】本题主要是考查二次根式的不等式的运算，掌握不等式的运算规则及分母有理化即可(2)【考点】分母有理化【专题】解方程组【分析】将移项，即可作答．【解答】解：∴【点评】本题主要是考查二次根式的方程的运算，掌握方程的运算规则及分母有理化即可18.已知，求的值.【考点】分母有理化【专题】二次根式的运算【分析】将分母有理化，代入分式方程计