2021-2022学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年北京市房山区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分,，共16分），下面各题均有四个选项，其中只

有一个是符合题意的。

1.抛物线y=（x-3）2-1的对称轴是（）

A.直线x=3B.直线x=-3C.直线x=lD.直线％=-1

2.若反比例函数的图象经过点（3,-2）,则该反比例函数的表达式为（）

A6R6

A.y-----D.y------C.y——D.y=--

XXXX

3.如图，在中，ZC=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值为（）

AC

.sC.1D,1

AB

-5453

4.如图，AB是。。的直径,点C,D在。。上，若/ABD=50°,则/AC。的大小为（）

D

A.25°B.30°C.40°D.50°

5.把抛物线y=（x+5）2+3向上平移1个单位长度,则平移后所得抛物线的表达式为（）

A.y=（x+5）2+4B.y=（x+5）2+2C.y=:（尤+6）2+3D.y=（x+4）2+3

6.如图所示，点O,E分别在AA3c的ASAC边上,§LDE//BC.如果A。：DB=2：1,

那么AE：AC等于（）

C

一

ADB

A.2：1B.2：5C.2：3D.3：5

7.如图，DC是。。的直径，弦于则下列结论不一定成立的是（

C*****

c-AC=BCD-AD=BD

8.如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数>=色(x>0)的图象交于A(1,6),B(3,

A.x<lB.x>3C.l<x<3D.OVxVl或x>3

二、选择题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)

9.已知△ABC,sinA=a，则NA=.

10.如果一个扇形的半径是1,圆心角为120。，则扇形面积为

11.如图，在中，ZBOC=80°,则N8AC的度数是

12.如图，P4是。。的切线，A是切点.若NAPO=25°,则NAOP=

13.已知二次函数y=-/+6的图象上两点A（ai,bi）,B（勾，。2）,若则

bi岳（填“>”，或“="）.

14.如图热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为60°,看这栋高楼底

部的俯角为30°,若热气球与高楼水平距离为60m，则这栋楼的高度为m.

15.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：和。。外一点P.

求作：过点尸的。。的切线.

作法：如图，

（1）连接OP；

（2）分别以点。和点尸为圆心，大于费。尸的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点;

（3）作直线MN,交OP于点C；

（4）以点C为圆心，C。的长为半径作圆，交。。于A,3两点；

（5）作直线PA,PB.

直线PA,尸8即为所求作。。的切线.

完成如下证明：

证明：连接。4,OB,

是OC直径，点A在OC上

AZOAP=9Q°（）（填推理的依据）.

：.OA±AP.

又：点A在。。上，

直线PA是。。的切线（）（填推理的依据）.

同理可证直线PB是OO的切线.

16.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度〃(单位：m)与小球的运动时间/(单位：s)

之间的关系式是/z=30f-5f2(0W/W6).小球运动的时间是s时，小球最高；

小球运动中的最大高度是m.

三、解答题(本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28

题每题7分，共68分)

17.求值：sin30°+tan45--cos60°.

18.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°，点D在AC边上，ZJELAC交2c于点E.

求证：ACDEs^CBA.

4.

19.如图，在△A3C中，ZB=30°,tanC=—,AO_L5C于点D.若A£>=4,求3C的长.

3

20.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=K(ZW0)的图象经过点A(2,3)和点

x

B(-2,m),求用的值.

21.在平面内，给定不在同一直线上的点A,B,C,如图所示.点。到点A,B,C的距离

均等于丁。为常数),到点。的距离等于厂的所有点组成图形G,NA8C的平分线交图

形G于点。，连接A。，CD.

求证：AD=CD.

B

•C

Aa

22.在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度.如图，在C处用高

L2米的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30。，向塔的方向前进40米到达。处，在。处

测得塔顶A的仰角为60。，求昊天塔的高约为多少米？（结果精确到1米，

23.如图，4B是OO的直径，弦CDLAB于E,ZA=15°,AB=4.求弦CD的长.

24.如图，在△A2C中，AB=4让，ZB=45°,/C=60°.点E为线段AB的中点，点

尸是AC边上任一点，作点A关于线段EF的对称点P,连接AP,交EF于点M.连接

EP,FP.当尸P_LAC时，求AP的长.

25.在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点A（2,4）在双曲线力=必（znWO）上.

(1)求m的值;

(2)已知点尸在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与力=皿，”=工的图象分别相交

x

于点N,M,点N,M的距离为4,点N,M中的某一点与点尸的距离为如果4=

心，在如图中画出示意图并且直接写出点尸的坐标.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax-+bx+3a上有两点A(-1,0)和点8(x,x+1).

(1)用等式表示。与。之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；

(2)当3&<AB《5近时，结合函数图象，求。的取值范围.

yf

6-

5-

H-7-()-5-4-3-2-12345678

一5

一()

27.如图，点C是。。直径A3上一点，过C作。0LA3交。。于点。，连接OA,DB.

(1)求证：ZADC=ZABD；

4

⑵连接DO,过点D做。。的切线，交BA的延长线于点P.若AC=3,tanZPDC=-^,

o

求3c的长.

28.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数对于任意的函数值》都满足yWM,

那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确

界.例如，图中的函数y=-(x-3)2+2是有上界函数，其上确界是2.

(1)函数①y=(+2苫+1和②y=2x-3(xW2)中是有上界函数的为(只填序号

即可)，其上确界为；

(2)如果函数y=-x+2(a4Wb,b>a)的上确界是4且这个函数的最小值不超过

2a+l,求a的取值范围；

(3)如果函数y=N-2ar+2(1WXW5)是以3为上确界的有上界函数，求实数。的值.

参考答案

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只

有一个是符合题意的。

1.抛物线y=（x-3）2-1的对称轴是（）

A.直线x=3B.直线x=-3C.直线x=lD.直线x=-l

【分析】根据二次函数的顶点式＞=（X-/Z）2+k,对称轴为直线X=/7,得出即可.

解：抛物线y=（x-3）2-1的对称轴是直线x=3.

故选：A.

2.若反比例函数的图象经过点（3,-2）,则该反比例函数的表达式为（）

AA.y=—6口B.y=6C「.y——3门D.y=3

XXXX

【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y='（%W0）即可求得上的值.

X

解：设反比例函数的解析式为y=K（AWO）,函数的图象经过点（3,-2）,

X

/.-2=—,得k=-6,

3

...反比例函数解析式为y=-旦.

x

故选：B.

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=9O°,AB=5,BC=3,则tanA的值为（）

【分析】先利用勾股定理计算出AC,然后根据正切的定义求解.

解：VZACB=90°,AB=5,BC=3,

22=4

•••AC=/5-31

."=幽=3

AC4

故选：B.

4.如图，AB是的直径，点C,O在OO上，若乙48。=50°,则NACD的大小为（)

D

A.25°B.30°C.40°D.50°

【分析】根据圆周角定理求出答案即可.

解：,：ZABD=50°,

：.ZACD=ZABD=5Q°.

故选：D.

5.把抛物线＞=（X+5）2+3向上平移1个单位长度,则平移后所得抛物线的表达式为（）

A.尸（x+5）2+4B.尸（x+5）2+2C.尸（x+6）2+3D.y=（x+4）2+3

【分析】根据向上平移纵坐标加求得结论即可.

解：把抛物线＞=（尤+5）2+3向上平移1个单位长度,，则平移后所得抛物线的表达式为y

=（x+5）2+3+1,即y=（无+5）2+4.

故选：A.

6.如图所示，点、D,£分别在的AB,AC边上，且DE〃BC如果AO：DB=2：1,

那么AE：AC等于（）

C

▲

ADB

A.2：1B.2：5C.2：3D.3：5

9

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出黑=普二?求出AE=2EC,再代入AE：

DBEC

AC求出即可.

解：-JDE//BC,

•ADM

-，DB=EC'

•：AD：DB=2：1,

.AE2

"EC~=T

：.AE=2EC,

：AC_2EC_2

.".AE―2EC+EC-5

故选：C.

7.如图，OC是。。的直径，弦于"，则下列结论不一定成立的是（）

A.AM=BMB.CM=DMC.二BOD.AD=B0

【分析】根据垂径定理进行判断即可.

解：•.•弦43,8,C。过圆心。，

AC=BC，俞=俞，

即选项A、C、。都正确，

当根据已知条件不能推出CM和OM一定相等,

故选：B.

8.如图，一次函数y=-2x+8与反比例函数丁=2（x>0）的图象交于A（1,6）,B（3,

X

2）两点.则使-2尤+8<旦成立的x的取值范围是（）

A.x<lB.x>3C.IV尤V3D.OV尤VI或x>3

【分析】观察函数图象得到当OVxVl或x>3,一次函数的图象在反比例函数图象下方.

解：在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量X的取值范围是O<X<1或X

>3；

故选：D.

二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

9.已知△ABC,sinA=p则44=30°.

【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可.

解：VsinA=-^-,

ZA=30°,

故答案为：30.

10.如果一个扇形的半径是1,圆心角为120。，则扇形面积为二

【分析】直接根据扇形的面积公式求解.

解：这个扇形的面积=120兀X

3603

TT

故答案是：.

11.如图，在OO中，NBOC=80°,则NBAC的度数是40。.

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

解：••,/BOC与NBAC是同弧所对的圆心角与圆周角，ZBOC=80°,

AZBAC=—ZBOC=40°.

2

故答案为：40°.

12.如图，是。。的切线，A是切点.若/4尸。=25°,则/4。尸=65

【分析】根据切线的性质得到OALAP,根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案.

解：：PA是。。的切线,

：.OA±AP,

：.ZAP0+ZA0P=9Q°,

VZAPO=25°,

AZAOP=90°-NAPO=90°-25°=65°,

故答案为：65.

13.已知二次函数y=-炉+6的图象上两点A(fli,bi),B(z,62),若ai<a2<0,则

bi<bz(填“>"，或"=").

【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x<0时y随尤增大而增大，进而求解.

解：Vy=-x2+6,

...抛物线开口向下，对称轴为y轴，

；.x<0时，y随x增大而增大，

故答案为：<.

14.如图热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为60°,看这栋高楼底

部的俯角为30°,若热气球与高楼水平距离为60m，则这栋楼的高度为80ym.

B

【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC=BD+DC,在和RtA4CD

中分别求出2。，8就可以.

解：在Rt^ABD中，ZBDA=90°,ZBAD=60°,AD=60m,

BD=ADtan60°=60X5/3=60^/3(m).

在RtZXACD中，ZADC=9Q°,ZCAD=30°,

.,.CD=A£)tan30°=60义苧=20«(m).

...BC=BD+CD=60&+20&=80«(m)

故答案为：80T.

3

15.下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：。。和O。外一点尸.

求作：过点p的O。的切线.

作法：如图，

（1）连接OP；

（2）分别以点。和点尸为圆心，大于/0P的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

（3）作直线MN,交0P于点C；

（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交。。于A,8两点；

（5）作直线PA,PB.

直线PA,PB即为所求作。。的切线.

完成如下证明：

证明：连接。4,0B,

是OC直径，点A在OC上

ZOAP=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）.

：.OA_LAP.

又：点A在。。上，

直线PA是OO的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）

（填推理的依据）.

同理可证直线尸3是OO的切线.

*V

【分析】连接。8,根据圆周角定理可知/。4P=90°,再依据切线的判定证明结

论；

【解答】证明：连接04,OB,

••,0P是OC直径，点A在OC上

ZOAP=90°（直径所对的圆周角是直角），

：.OA±AP.

又：点A在。。上，

直线FA是O。的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），

同理可证直线PB是的切线，

故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆

的切线.

16.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度力（单位：m）与小球的运动时间/（单位：$）

之间的关系式是/7=30f-5»（0W/W6）.小球运动的时间是3s时,小球最高；小

球运动中的最大高度是45m.

【分析】先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出72=30/-

5尸的顶点坐标即可.

解：h=30t-5t~=-5(f-3)z+45,

：-5<0,O0W6,

.•.当t=3时，//有最大值，最大值为45.

故答案为：3,45.

三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28

题每题7分，共68分）

17.求值：sin30°+tan450-cos60°.

［分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入计算即可.

解：原式=3+1-

22

=1.

18.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,点。在AC边上，DE_LAC交BC于点E.

求证：

【分析】由DE±AC,ZB=90°可得出/CDE=/B,再结合公共角相等，即可证出4

CDEsMBA.

【解答】证明：'：DE±AC,NB=90°,

ZCDE=90°=ZB.

又：/C=NC,

:.ACDEs4CBA.

A

19.如图，在△ABC中，ZB=30°,tanC=—,AD_LBC于点£).若AD=4,求BC的长.

3

【分析】分别解两个直角三角形求出3。和CZ）的长即可.

解：-：AD±BC,

AZADB=ZADC=90°,

VZB=30°,

：.AB=2AD=8,

-'•BD=VAB2-AD2=V82-42=4V3-

QQ

ACD=—AD=—X4=3,

44

:・BC=BD+CD=4y+3.

20.在平面直角坐标系10y中，若反比例函数y=K(ZW0)的图象经过点A(2,3)和点

x

B(-2,m),求相的值.

【分析】由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出左值，再结合点B

在反比例函数图象上，由此即可得出关于热的一元一次方程，解方程即可得出结论.

解：•.•反比例函数y=K(%W0)的图象经过点A(2,3),

X

:.k=2X3=6.

,・,点8(-2,m)在反比例函数>='(左W0)的图象上，

x

・•・左=6=-2m,

解得：m--3.

故初的轴为-3.

21.在平面内，给定不在同一直线上的点A,B,C,如图所示.点。到点A,B,C的距离

均等于广。为常数)，到点。的距离等于厂的所有点组成图形G,/ABC的平分线交图

形G于点D,连接ADCD.

求证：AD=CD.

B

【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论.

【解答】证明：根据题意作图如下：

；BD是圆周角ABC的角平分线，

ZABD=ZCBD,

AD=CT-

：.AD=CD.

22.在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度.如图，在C处用高

1.2米的测角仪CE测得塔顶A的仰角为30°,向塔的方向前进40米到达。处，在。处

测得塔顶A的仰角为60°,求昊天塔的高约为多少米？（结果精确到1米，遮心L73,

血七1.41）

【分析】设AG=x米，分别在RtAAFG和RtAAEG中，表示出FG和GE的长度，然后

根据CO=40米，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB.

解：如图，

A

设AG=x米，

在RtzXAFG中，ZAFG=60°，tanZAFG=­=J3，

FGV

:.FG=&X,

3

在Rt^AEG中，ZAEG=30°,tanZAEG=—=2^1,

EG3

.,.EG—y[2>C,

'''/3X-土耳=40,

3

解得：x=20«.

...AG=20«米，

则AB=20&+1.2-35.8（米）.

答：这个电视塔的高度AB约为35.8米.

23.如图，是。。的直径，弦CDLA2于£,ZA=15°,AB=4.求弦CD的长.

【分析】根据NA=15°,求出/COB的度数，再求出CE的长.根据垂径定理即可求出

CD的长.

解：VZA=15°,

ZCOB=30°.

,：AB=4,

：.OC=2.

:弦CZ）_LAB于E,

：.CE=—CD.

2

在RtZXOCE中，ZCEO=90°,ZCOB=30°,OC=2,

：.CE=1.

：.CD=2.

24.如图，在△ABC中，AB=4&,ZB=45°,ZC=60°.点E为线段AB的中点，点

厂是AC边上任一点，作点A关于线段所的对称点P,连接AP,交EF于点、M.连接

EP,FP.当P_F_LAC时，求AP的长.

【分析】如图1中，过点A作ADLBC于D.根据三角函数的定义得到AD=4,如图2

中，根据垂直的定义得到NPE4=90°,根据折叠的性质得到NAFE=/PFE=45°,AF

=PF,根据相似三角形的性质即可得到结论.

图1

在中，AD=AB«sin45°=4&X第=4.

如图2中，AC=.区=石=孥,

sinoU-T-3

A

*：PF_LAC,

：.ZPFA=90°,

•・・沿EF将AAE尸折叠得到△PEE

・•・AAEF^APEF,

AZAFE=ZPFE=45°,AF=PF,

ZAFE=ZB9

•：/EAF=NCAB,

：.AAEF^AACB,

.•.竺=粤即畀=整，

ABACW2型应

o

:・AF=2&,

AP=y[^\F=2加.

25.在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点A(2,4)在双曲线与=四(加#0)上.

x

(1)求机的值；

(2)已知点尸在x轴上，过点尸作平行于y轴的直线与乃=见，丫2=%的图象分别相交

x

于点N,M,点、N,M的距离为4，点N,M中的某一点与点尸的距离为心，如果4=

办，在如图中画出示意图并且直接写出点尸的坐标.

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）画出函数的图象，根据图象即可求得.

解：（1）,点A（2,4）在双曲线％=必（mWO）上,

x

.*.??i=2X4=8,

'.m的值为8；

由图象可知，点P的坐标为（2,0）或（4,0）或（-2,0）或（-4,0）.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax1+bx+3a上有两点A（-1,0）和点B（x,x+1）.

（1）用等式表示〃与6之间的数量关系，并求抛物线的对称轴;

（2）当&&＜皿45或时，结合函数图象，求。的取值范围.

-H-7-6—5—4—3—2一旦2345678

一3

-4

-5

一6

【分析】（1）将（-1,0）代入函数解析式可得6=4”,则抛物线对称轴为直线工=-3

2a一

（2）由点3坐标可得所在直线为y=x+l,过点8作轴交x轴于点C,可得

AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B当48=3加时和48=5我时点B的坐标为

（2,3）或（4,3）或（-4,-3）或（-6,-5）,再分类讨论抛物线开口向上或向

下求解.

解：（1）将（-1,0）y—a^+bx+^a^Q=a-b+3a,

...b=4〃，

•••抛物线对称轴为直线X=-3=-#=-2.

（2）:点8坐标为（x,x+1）,

・••点3所在直线为y=i+l,

・••点A在直线y=x+l上,

过点B作BC.Lx轴交x轴于点C,

则3C=|x+l|,AC=\x+l\,

：.AB为等腰直角三角形的斜边,

・,•当A8=3血时，AC=3C=3,当A8=5y时，AC=8C=5,

\xc-XA|=3或|XC-XA\=5,

・,•点3坐标为（2,3）或（4,3）或（-4,-3）或（-6,-5）

:抛物线经过点（-1,0）,对称轴为直线x=-2,

抛物线经过点（-3,0）,

.•.抛物线开口向上时，抛物线不经过B4,

将（2,3）代入>=依2+4办+3。得3=9。+8。+3。,

将（4,5）代入丁=加+4办+3。得5=16a+16a+3。，

解得a=y,

720

a<0时，抛物线开口向下，抛物线不经过Bi,Bi,

将（-4,-3）代入得-3=16。T6〃+3〃，

解得a=-1,

将（-6,-5）代入>=加+4以+3。得-5=36。-24。+3〃，

解得a=-

9

.*•-IWaW-

9

综上所述，•或-IWaW-

27.如图，点。是。0直径A8上一点，过。作C0LA3交。。于点0,连接D4,DB.

（1）求证：ZADC=ZABD；

4.

(2)连接OO,过点。做。。的切线，交3A的延长线于点尸.若AC=3,tanN尸Z)C=

O

【分析】(1)根据圆周角定理得到NA