高中数学必修四导学案

米典型例题

§1.1.1任意角例1：在0。到360。的范围内，找出与下列各角终边相同

;5.学习且标的角，并分别判断它们是第几象限角：

(1)650°(2)-150°(3)-993151

L理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐

标系讨论任意角.

2.能在0°到360°范围内，找出T与已知角终边相

同的角，并判定其为第几象限角.

3.能写出与『已知角终边相同的角的集合.

变式训练：(1)终边落在x轴正半轴上的角的集合如何

表示？终边落在x轴上呢？

<3学习过程

一、课前准备

(预习教材3~月，找出疑惑之处)

体操跳水比赛中有“转体720。”，，翻腾转体两周半’这

样的动作名称720。在这里表示什么？(2)终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

二、新课^学

*探索新知

问题1:在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是

什么？

例2:若a与240°角的终边相同

(1)写出终边与a的终边关于直线y=x对称的角夕的

问题2：(1)手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分集合

针转了几度？

(2)手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了

旗？

(2)判断］是第几象限角.

问题3:任意角的定义(通过类比数的正负，定义角的

正负和零角的概念)

变式训练：若a是第三象限角，则-a,y,2a分别是

问题4:能以同一条射线为始边作出下列角吗？第几象限角.

210°-150°-660°

问题5：上述三个角分另调第几象限角，其中哪些角的

例3:如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括

终边相同.

边界).

问题6:具有相同终边的角彼此之间有什么关系？

你能写出与60°角的终边相同的角的集合吗？

日班级：姓名："2

2017年上学期♦高一月

变刑1练:A、0个B、1个C、2个D、3个

（1）第一象限角的范围_________.3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）

（2）第二、四象限角的范围是.A.{aI900<a<180°}

*动手试试B.{a|900+^180°<0<180°+^1800,A€Z|

1.已知A=｛第一象限角｝,B=｛锐角｝,C.{aI-270°+^180°<a<-180°+^180°,0}

C=｛小于90°的角｝,那么A、B、C关系是（）D.{a|-270°+^360°<«<-180°+A=360°,ACZ}

A.B=ADCB.BUC=C

C.AuCD.A=B=C4、与1991。终边相同的最小正角是绝对值最小

2.下列结论正确的是（）的角是____________.

A.三角形的内角必是一、二象限内的角

B.第一象限的角必是锐角

C.不相等的角终边一定不同

D.卜|&="360。±9（y,kez｝二5、若角a的终边为第一、三象限的角平分线,则角a

集合是.

｛«|a=Ar-1800+90\Zrez｝

3.若角a的终边为第二象限的角平分线，贝版的集合

为.

4.在0°至I]360。范围内，终边与角-60。的终边在同

一条直线上的角为.

课后作业

6、南下列W在图示部分的角（阴影部分），用集合表

三、小结反思

示出来（包括边界）.

本节内容延伸的流程图为：

学习

*当堂应测鬲量：5分钟满分：10分）计分:

1、下列说法中，正确的是（）

、角a,£的终边关于x+y=0对称且

A.第一象限的角是锐角7

B.锐角是第一象限的角

a=-60°,求角夕.

C.小于90°的角是锐角

D.0°到90°的角是第一象限的角

2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的

终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）

终边相同的角有有限多个.

上面4个命题，其中真命题的个数是（）

2

问题7:回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导

§1.1.2弧度制过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。

:5.…学习目标

L理解弧度输的意义正确地进行弧度制与角度制

的换算，熟记特殊角的弧度数.

*典型例题

2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起——对

例1:把下列各角进行弧度与度之间的转化(用两种不

应关系.

同的方法)

3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧

34

度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问(1)y⑵3.5

题.

(3)252°(4)

—学习过程

一、课前准备

(预习教材”~自，找出疑惑之处)变式训练：仃填表

在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小

的度量单位为什么？角45°60090°150180315

度0OO

二新课导学制

*探索新知弧2%

n2冗3%

问题1：什么叫角度制？度

制

问题2:角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式

是什么？(2港a=-6,则a为第几象限角？

③用弧度制表示终边在y轴上的角的集合

用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

问题3:什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？

问题4:弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？例2:①已知扇形半径为10cm,圆心角为60。，求扇形弧

长和

②已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求扇形的面

积

问题5:角的集合与实数集R之间建立了

对应关系。

问题6:用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象

限、第四象限角的集合.

变式训练⑴：一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心

角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇

2017年上学期♦高一月日班级：姓名:

形的最大前1l；r

1、把——表示成夕+2kMkez)的形式，使|。|最

4

小的。为()

变式训练(2)：A=［小=氏+(-球・eZb

5

2、角a的终边落在区间(-371,-511)内则角a所在象

B=1乂x=2上乃+/,%eZ，贝！］A、B之间的关系

限是()

A.第一象限B.第二象限

为.C.第三象限D.第四象限

3、已知扇形的周长是6c,加，面积为2cm2,则扇形弧

度数是()

*动手试试A、1B、4C、1或4D、2或4

1、将仞峰转化为角度：4、将下列各角的弧度数化为角度数：

717兀,、7万一，、3兀』

1—=°；2——(1)--=_______度；(2)--=度；

12-------863

..13万2

(3)--=____°；⑶1.4=度；⑷-=度

6

2、将下列角度转化为弧度：

5、若圆的半径是6c〃z,贝［115°的圆心角所对的弧长

(1)36°=rad；(2)-105°=rad；

⑶37°30=rad；是；所对扇形的面积是_____________.

JI

3、已知集合乂={x\x=k•一,kGZ},N={x\x

2

71课后作业

=k-7r±-,kEZ},则()

、已知集合+?W%乃+]■次

A.集合M是集合N的真子集6eZ

B.集合N是集合M的真子集

C.M=NB={x|4-x2>0),求AflB.

D.集合M与集合N之间没有包含关系

4、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2

倍，则()

A.扇形的面积不变B.扇形的［SkiL'角不变7、已知一个扇形周长为C(C>0),当扇形的中心角为

C.扇形的面积增大到原来的2倍多大时，它有最大面积？

D.扇形的圆心角增大到原来的2倍

三、小结反思、

8、如图，已知一长为6力”，宽为ld〃z的长方形木块

角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧

度的换算时关键要在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板

抓住180。="rad这一关系式，熟练掌握弧度制下的扇

形的弧长和面积公式挡住，使木块底面与桌面成30。的角，问点A走过的路

程及走过的弧度所在扇形的总面积？

学习

*当堂冠测鬲量：5分钟满分：10分)计分：

4

3三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？

⑷终边相同的角相差2万的整数倍，那么这些角的同一

三角函数值有何关系？

米典型例题

§1.2.1任意角三角函数(1)

例1：已知角。的终边经过点P(2,-3),

求2sinc+cosa+tana

学习目标

1.掌握任意角的盒,余弦,正切的定义.

2.掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函

变式训练(1):已知角a的终边经过点P(2a,-3a)(a^O),

数的值在各象限的符号

求2sina+cos。+tantz的值.

学习过程

一、课前准备

(预习教材％~凡，找出疑惑之处)

在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函变式训练⑵：角a的终边经过点P(-X,-6)且

数，你能说出锐角三角函数的定义吗？

cosa=-■—,求x的值

13

二、新课^学

・※探索新知

问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐

标来表示锐角三角函数吗？

例2:确定下列三角函数值的符号

In1反

(1)cos—(2)sin(-465°)(3)tan-

问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？

为什么？

变式训练(1)：若COSa>0且tana<0,试问角a为第几

象限角

问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角？

问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关，变式y阙2)：使Sinacosa<0成立的角a的集合为()

与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小

d\kn+^~<a<k7r+7r,k&Z

有无类似性质？

a\lk7i+'<a<2k兀+开，4£z}

a\2k/r+—<a<2k兀+2肛攵eZ|

C,

问题5:随着角a的确定三个比值是否唯f[2J

定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？上乃+]<a<2k7c+^-,kwzj

D.<

问题6：对于任意角的三角函数思考下列问题:*动手试试

①定义域；②函数值的符号规律

2017年上学期♦高一月日班级：姓名：

1、函数^=Jsinx+J-cosx的匹聘()

3、已知a终边经过p(-5,12),贝Ijsina=______.

A.(2k匹(2化+1)乃)，kGZ

TC

B.[2k7TH——,Qk+1)乃],kGZ

2

IT

C.伙乃+—,(Z+1)〃],keZ4、若a是第二象限角，则点A(sina,cosa)是第几

2

象限的点.

D.[244,(24+1)4],keZ

0n5、已知角张终边在直线y=1x上，

2、若e是第三象限角，且cos大＜0,则不是()

3

A.第一象限角B.第二象限角则sin&:；tan。二

C.第三象限角D.第四象限角

3、已知点P(tana,cosa)在第三象限，则角e在

课后作业

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限6、设角x的终边不在坐标轴上，求函数

..sinxcosxtanx侑捕

y—•।口且均c

4、已知sinatanaN0,则a的取值集合|sinA-||cosx||tanx|

为—

三、小结反思

三角函数的定义及性质，特殊角的三角函数值，三角函

数的符号问题.各象限的三角函数的符号规律可概括

为："一正二正弦，三切四余弦’.

7X(1)已知角a的终边经过点P(4,-3),求2sina+cosa

的值；

*当堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1、若角港边上有一点P(〃,1a1)(。eR且。丰0),贝ij(2)已知角a的终边经过点P(4a,-3a)(aX0),求

2sina+cosa的值；

sina的值为()

B、¥

C±—D、以上都不对

2

(3)已知角a终边上一点P与x轴的距离和与v轴的

2、下列各式中不成立的一偿()

距离之比为3:4(且均不为零),求2sina+cosa的值.

A、cos2600<0B、tan(-1032°)>0

J竺、

()

C、sinCT；＞D、「an号＞。

6

..1br2%

⑴V⑵F

例2上阵交下列各组数的大小

§1.2.1任意角三角函数（2）

714%57r

学习目标(l)sinl和sin—(2)cos—和cos——

77

1.利用与扇位圆看美的有向线段，将任意角的正弦、

余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线71兀

八、97r1rl9不

表示出来，并能作出三角函数线。(3)tan--和tan—(4)sin—^Dtan-

87

2.培养分析、探究问题的能力。促进对数形结合思

想的理解口感悟。

学习过程

一、课前准备变式训练1：若a是锐角（单位为弧度），试利用单位圆

（预习教材以~分，找出疑惑之处）及三角函数线，匕限a,sina,tana之间的大小关系。

我们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正

弦，余弦，正切的定义。想一想能不能用几何元素表示

三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）

变式训练2：根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函

数值有怎样的变化规律。

二、

•*探索新知

问题1:在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线

例3:利用单位圆分别写出符合下列条件的角a的集合

段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看成是线

段的比呢？

⑶gnaggo

问题2:在三角函数定义中，是否可以在角a的终边上

取一山寺殊点使得三角函数值的表达式更为简单？

问题3.有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的

变式训练1：已知角a的正弦线和余弦线分别是方向一

概念如何。

正一反，长度相等的有向线段，则a的终边在

（）

A第一象限角平分线上B第二象限角平分线上

C第三象限角平分线上D第四象限角平分线上

问题4.如何作正麒、余弦线、正切线。

变式训练②：当角a,夕满足什么条件时有

sina=sin/7.

*典型例题

例1:作出下^各角的三角函数线

班级：姓名：“2

2017年上学期♦高一月S

变式训练③：sina>cosa，则a的取值范围是

1、若角。(0<戊<2不)的正弦与余弦线的长度相等

________________O

且符号相同，那么角a的值为()

变式陈④：已知集合£={0|85。<5h%0<”2；1},

万5万乃5乃

A—B—C.7或7D.以上者环对

F={qtane<sind}。求集合EcF4444

*动手试试2、用三角函数线判断1与|sina|+1cosa|的大小关系

1、若:<8<方，则下列不等式中成立的是()是()

A、|sina|+|cosa|>1B、|sina|+|cosa|N1

A.sin0>cos0>tan0B.cos9>tan0>sin9

C、Isina|+|cosa|=1D、|sinfz|+|cosa|<1

C.tan6>sin0>cos0D.sin分tan分cos。

3、利用单位圆写出符合下列条件的角x的集合。

2、角a(0<a<2n)的正、余弦线的长度相等，目正、

(1)cosX=—:；

余弦符号相异.那么a的值为()

TT3n7TT3nt7Tl/c\I

A-4B.7C.yD-w或万(2)cosx>—:；

(3)|cosx|<—:o

-x/31_2-------------------

3、若0<a<2n,且sina<—,cosa>~.利用三

22

4、已知角c(的终边是OP,角B的终边是OQ,

角函数线，得到a的取值范围是()试在图中作出aB的三角函数线然后用不等号填笔：

,TTTT、TT、⑴sinasinp；

A.(-y,y)B.(0,y)

(2)cosa_____cosp；py

(3)tanatan/。!\.a'

C.(y,2n)D.(0,-j)U(y,2n)

5、若-与wew],利用三角函娄技，可会忠血

4、依据三角函数线，作出如下四个判断：

n7nTTTT值范围.

①sing=siiTg-；②cos(--)=co近；

TT3TT3TT4n

年>tarr^-；④inr^->sin—.

其中判断正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个课后作业

6、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:

三、小结反思、

⑴营；⑵？；⑶-J。

①正弦线、余弦线、正切线，它们分别是正弦、余弦、463

正切函数的几何表示，三角函数线是有向线段，在用字母

表示这些线段时，注意它们的方向。

②利用数形结合来匕匕较三角函数值的大小关键应注意

正负。

zyzy

7、已知a是第三象限角，问点P(cos],s呜)在第几象

学习

*当堂检测鬲量：5分钟满分：10分)计分：限？请潮用里由。

8

4

例1：已知sina=《，且a是第二象限角，求

cos6Z,tan6z

§1.2.2同角三角函数关系

变式训练：已知tana求

2

二X》…一学习目标

1.掌握同角三角函数的基本关系式sin2a+cos2a

sin&sin-cos%的值

sin。

=1,---------二tana；

cosa

2.会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒

等明。

段3学习过程

2化简三角函数式

一、课前准备例2:化简

（预习教材办~昌，找出疑惑之处）

初中阶段学习了锐角三角函数的定义后，老师介绍了同(1)tanaj^-z-----1,其中a是第二象限角

角三角函数间关系，你还记得吗？Vsina

二、新课导学

・※探索新知

问题1：同角三角函数间的关系公式能由锐角范围推广

到任意角吗？你能证明吗？

,、/1-cosa1+cosa

⑵,其中。是第四象限

V1-cosa

问题2:你能用不同的方法证明这两条公式吗？角

问题3:如何进行公式sinb+cosa^L

71-2sinl0°cosl0°

sinci

tana=-——的推导及其变形。COS100-V1-COS2170°

cosa

3.证明简单的三角恒等式

*典型例题

1.已知角的正弦、余弦、正切中的一书直求出其余两sina1-cosa

例3：求证：

个值（知一求二）。1+cosasina

月日班级：姓名：*2

2017年上学期♦高一

A、sine+cosaB、sina-cos。

C、cosa—sinaD、|sina+cos«|

3、若$皿仇＜：056是方程4/+2m%+根=0的两

派动试

1、已知tanc=2,求sMa+cosa的值。根，则"2的值为

sina-cosa

A.1+5/5B.1-5/5

2、已知sina+coscr=一一,tz€(0,7)，求tana的C.1iVsD.-1-y(~5

值.

4、(1汜知sina-2cosa=0,贝ij

1

sinacosa--------0

cf2cos2a-1(2)4sin«—3sintz-coscr—5cosa=。

入化简731^

5、已知a是第三象限角，化简

I+sina11-sinor

4、证明2cos2e+sin'g-4夕+i

cosJ1-sin«V1+sin«-------°

2课后作业

三、小结反思

1、在三角求值时，应注意：CD角所在象限；②TSi步AA

1-sina-cosa

及到开方运算时要分类讨论。

6、化简:•2,4

在化简时应注意化简结果①涉及的三角函数名雕沙;sina—sma

「2表达简单。

2、证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明

它等于另一边/②证明左右两边等于同一个式子；③汾

析法，寻找等式成立的条件。证明的指向T股是“由繁

到简’。

二，》学习评价

*国堂检则（时量：5分钟满分：10分）计分：7、证明下列恒等式：

1、已知sina+3cosc=0,贝h所在的象限是（）(1)2COS2(9+sin4=cos4^+1;

A、第一象限B、第二象限

C、第一、三象限D、第二、四象限412

(2)sin6+sin8cos?8+cos?0=\Q

2、Jl+2sina-cosa的值为()

10

那么a与P的三角函数值之间有什么关系？

问题6：你能概括上述诱导公式吗？

*典型例题

例1：求值⑴sin左；(2)cos-^-；

§1.3.1诱导公式（1）

64

二十…一学习目标(3)tan(-1560°)

L借助单位圆，推导出正弦，余弦的诱导公式

2.正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三

角函数并解决有关三角函数求值，化简和恒等式证明

问题变式UII练：求值⑴sin(-1200)；

学习过程47

(2)tan945°;(3)cos——n

一、课前准备6

（预习教材%~找出疑惑之处）

,,49万5万

如何求sin750°,cosl080°,tan780°,sin—,cos—

42例2已知co（三+«1=—，求cos（学■一a］的值

k6)316)

的值

二、亲丽学

探索亲欣］

问题1：如何把『角的三角函数的求值问题转化为0。

—3600间三角函数的求值问题？变式训练：已知cosf--al=—,求

\6）3

问题2:已知任意角a的终边与单位圆相交于P（X,y）.cosf^+的值。

求P关于x轴，y轴，原点对称的三个点的坐标

问题3：如果角a的终边与角夕的终边关于原点对称,

那么a与夕的三角函数值之间有什么关系？

*动手试试

1、对于诱导公式中的角a,下列说法正确的是（）

问题4:如果角a的终边与角夕的终边关于x轴对称，

A.a一定是锐角B.0&a<2TT

那么a与夕的三角函数值之间有什么关系？

C.a一定是正角D.a是使公式有意义的任意角

3

2、若cos（a+»）=<a<2乃，JllJsin（-a-2^）

问题5:如果角a的终边与角夕的终边关于y轴对称，的值是（）

2017年上学期♦高一月日班级：姓名:

3344

A.—B.-----C.一D.3、Jl-2sin(;r+2)cos3+2)()

5555

3sin(^+a)+cos(—a)A.sin2-cos2B.cos2-sin2

3、已知2,

4sin(-or)-cos(9〃+«)

C.±(sin2-cos2)D.sin2+cos2

则tana-

4、若tana=a,贝ijsin(—5〃一a)cos(3乃+a)

4、求cos(-2640°)+sinl665°的值.

.cos(6+4〃)cos2(e+;r)sin2(e+37r)

sin(e-4兀)sin(5〃+8)cos?(-0-4)

三、小结反思

将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程

为：

[0°,90°)a

磁角->[0°,360°)f<[90°,180°)180°

[180°,270°)1800+。课后作业

[270°,360°)360°—a

6、已知sin(x+k)=Q,求

■y学习评价

*工堂检测(时量：5分钟满分：10分)计分：

1

cos225°+tan240°+sin(-60°)+tan(-420°)

的聘()

V2V3,6V3

A、F、一彳+T

「叵_V3V3

c、-----D、-----+

2626