量子力学课后答案-周世勋

量-3-力-君-灯-敦-及-解-冬

第/章量3理给-基础

1.i由黑体辅射公式导出耀思住移定律，健量家盛极大值所对应的波衣4“苫温

<7戚反比，即

晨7=《（希蜃一

弄近何计算《的蠡值，瓶确到二位有数敏多。

解根据普朗克的叟体耗射公式

,8^/iv3-^—dv,

P、d、,=——(1)

c

/—1

“Z及Av=c,(2)

(3)

pvdv=-pvdZ,

dv

Px=一「:7

dA

P⑷伯

=-p(Z)

vdA

p,.w

-----------c

2

_8就c1

一15hi

e说一1

送里的0的物理意义是黑体由波札介孑九苣九+4九之间的福射健量容盛。

中耍关连的是九取何值时，以取得极大值，因此，就得要求七对九的一

阶导想为客，由此可求得相应的九的值，祀作4,。但要连意的是，迷需要验证0

对九的二阶导敏在乙处的取值是否小于客，的累小于零，那么麻而求得的儿“就

是要求的，具体的下，

(

成

■_8c1che1

0=一记-5+------hc~o

A,MT

e^T-l1—eAkT

「he1

=—5d-------=0

AkThe

1-eAkT

he

=>5(1-产)

、e人he

的条令力二---,-则上述方福名

AkT

5(1—07)=工

运是一个被越方程。首先，易知此方程/解，z=G,但经让险证，此解是华潘的；

另外的一个解可自通过逐.岁近饵彼或者怒值计算族获得「用7夕7,经过验证，此

解正是所要求的，送客则有

hr

ZT=—

xk

杷步应及三个物理希量代入刎上式便知

4“T=2.9xIO、”长

送便是张思假移定律。据此，我们知拥物体温度价⑤的话，辐射的犍蜃今布的蜂

值向较短波机方面移劭，送考便会根据执物体(电送逐星体)的或光赖也未到金

温度的裔俄。

1.2左伙附近，钠的价电3犍量妁，身勿求其德布罗意波札。

解根据德布罗森波接二象僧的关系，可知

w=。，

P」

2

的累所考虑的搂各是旅相对徐犍的电3(%,<<〃/2),那么

9

P~

Er=-----

2〃，

由累我们考察的是相对槛的先3,那么

整意到4敢所考虑的钠的价电3的劭怩仅为sa,逐逐小于电3的质量号光速不

方的乘积，卸0.51x106',因此利用殊莉对卷梯的电3的健蜃——劭蜃关东式,

运料,便密

h

he

』2凡c?E

1.24x10-6

=/=团

V2X0.51X106X3

=0.71'10-9机

=0.7Inm

在这里，利用了

he=1.24x1()-6川.m

“仅

〃42=0.51xl06eV

獴后，对

•,he

A=.

E

作一直衬铃，M上式可看出，由接3的质蜃越大时，送小孩3的波机就越短，

出而送小粒3的波劭程较筋，而赖3健簌强，,同禅的，咨孩3的劭犍越大时，送

个按3的波衣就越短，因而这个按3的波劭鞋较羽，而粒3梯较强，由于宏机世

界的物体质量普遍根大，因而波劭楹极施，履现出来的都是按3代，这种波技二

象健，乂某种各意义耒说，兄困在燃现世界才健更现。

1.3家晨3的劭健是E=3U佳名破耳啜是有/U,或7=K时，象展3的德布

2

罗意波装。

解根据

IhKTO”,

知本i£的家建3的劭犍名

33

E^-kT^-k-K^\.5x{Q'3eV,

22

要垓逐逐小小〃核。2送禅，便］

-he

Z=/=

^2〃核

1.24X10-6

=0.37x10—

=037run

这里，利用了

〃核。2=4x931xl06eV=3.7xl09eV

素启，森对德布罗德波札苫温液的关系作一点树卷，由其种接各构戚的温盛

名7的体系，其中接3的不的劭犍的蠡量汲名17送群，其相庆的德布罗意波

芸就名

据此可加，咨体系的温液越低，相应的德布罗意波芸就越札，送时送种接3的波

劭健就越朗显，特别是由波芸机到比接3同的牛构跟离迷表忖，粒省同的相干代

就尤必阚里，因此送时就健用经典的描述粒3饶揖今布的破耳嘴及今布，而於领

用量3的描述辍3的统计今布——玻色今布或费来公布。

7.«利用岐尔——索东成的建3化条件，或；

(D一瓶错操3的犍量；

(2)左的勺磁场中作囱周运劭的电各轨道的可犍睡莅。

已知外磁殛分=7”，坡本磁3Ms=9x10-244.7一1,欲计算送他的量各化问

^△S,畀与＜7==及7=/比定的技运劭健量相比较。

解破点——索未成的蜃3化条件名

Jpdq-nh

其中多是微班板各的一个广义皮根，力是与之相对应的广义劭童，©路积今是沿

运劭轨道积一图，/是正整照。

(?)被一粮谐振3的劲盛帝奥，工锯被3质量为口，于是帝

E=^+-kx2

2〃2

运科，便］

士,2〃（£一*2）

P

这里的正负号今别表示帮稼3港希正方向运劭和港塔负方向运劭，一正一负正肠

表示一个来®,运劲了一圄。此外，根据

E=-kx2

2

可解出x±=±庠

送表示错狼3的正负方向的景大住移。送禅，根据岐忠——索未靠的建3化条件,

有

口2〃(._；丘2)公+f(_),2〃(E—g/a2)dx=nh

nJ^2p(E--kx2)dx+^2/./(E--^kx2)dx-nh

^2/J(E~^kx2)dx=^h

名了积今上述方程的左边，作山下变噌代换，

送蝶，便/

\lE-]^-cos16dO=-h

=7U2

送时，令上式左边的积今，/,此外苒构造一个租今

运洋，便有

(/)

A—B=R2E《cos2创8

=J幺cos2例(2。)

,5vk

&一cos(pd(p、

2

这里。=2Q,这行，就嘴

4—8=『E代dsin0=0(2)

根据式(1)和(刃，便】

运春，便有

其中力=g

2万

秦启，对此解作一点时卷。首先，派意到错掾各的犍量做量3化了；其次,

运量3化的健量是塔间隔今布的。

(2)由电3在物勺磁场中作(§周运劭时，＜

〃骨q°B

np=piv=qBR

送时，戚本——索未靠的蜃3化条件就名

。qBRd(RB)=nh

nqBR2-27T=nh

=>qBR2^nh

2

又因名劭惚耐E=2—，所"Z,嗡

2〃

„(qBR¥q2B2R2

匕=-----=------

2〃2〃

2〃24

=nBNB，

其中，〃8=也是岐宗磁3,送禅，唉现堂3化的健量也是等间隔的，而且

2〃

AE=BMB

具体到中畋，市

A£=10X9X10-24J=9X102J

根据劭惋苫温盛的关系式

3

E^-kT

2

“Z及

\k-K=\Q-3eV=\.6X]Q-22J

可知，由温液7=数时，

£=1.5x4xl.6xlO_22J=9.6X10-22J

由温盛7=初次时，

E=1.5x100x1.6xIO?j=24x10-2°/

更转，两种情次下的拄运劭所对应的犍量要大于麻面的量3化的犍量的间隔。

1.5鬲个光3在一是条件下可“&挎化名正负电3对，丛＞果南%3的债量和培，

问要实执宴种转化，光各的波札镇人是多少？

解关于两个%3转化名正负电3对的劭力当过隹，此两个先3起怎样的梳

率转化为正负电3对的问题，尹格耒傥，需要用到相对但量3场给的知福去计算，

修正由涉及到送个过程的运劭学方面，此犍量守恒，劭量守恒等，我们系需要用

那么⑤i某的知也去计算，以林到中驳，两个%3健量利普，因此由对芯碰撞忖，

转化名正风电3对反需的健量徽小，0而所对应的波衣也就素表，而且，有

E=hv=nec~

此外，更密

he

E-pc--

A

才是，有

he

1.24X10-6

=-------1〃2

0.51X106

=2.4x1。-，

=2.4xl0~3nm

尽管送是光各转化名电3的素大波芸，但M数值上看，也是相咨小的，我们

知道，电各是a隹界中素经的中质量的援3,如累是%3转化名做正反质3对之

类的更大质量的接3,那么所对应的光3的素夫波衣府合更小，送乂禀种意义上

告诉我们，名涉及到找各的凄变，产或，转化善间驳，一根所需的他变是很大的。

俄建越大，粒3间的转化等现象就及丰富，送在，也许就怩发现新粒3,送使是

世界上左造越来越方犍的加速器的源国，期稗发现新况家，新粒3,新物理。

第二章波用数和噂定将方程

27证阚在定.态中，几牵流与时间无关。

证，对方定态，可令

/仔,t)=^(f)f(t)

_--El

=.，)ef,

了=正(内&*一火*\7/)

2m

—LgtEt_2-Et_，Et

=—[〃(f)ehV(歹(亍)eh)*一〃*(亍)ehV("(f)eh)]

2m

ifi

2m

可见由f无关。

22由下列定态波曲数耕第几率流密；＜,

(1)%=-eikr(2)匕=-e-ikr

r

乂所得错累说明内表示向外传播的球面波，匕表示向何（即向原玄，传播的融

而波。

解；4和『2只有一分量

在赛坐标中V=^—+e^-—+e----......—

°dr，5。*rsin®的

-*1fi**

⑴4=「(夕尸乙，|V〃i)

2m

=察[~eikr4(~e*)-jA(!e处而

2mrorrrdrr

ihK1.111I、】一

=7：-Fr(—r-戊7一)—(—f+ik")打

2mrr"rrrr

hk-hk一

=­Tro=-3r

mrmr

了I与亍同句。表东向外传播的球面波。

—*]^2**

(2)(=「(叶2?〃27户哈

2m

ikrikrikr-ikr

=—[-e-—(-e)-le—(ie而

2mrdrrrdrr

i方」，1.,1、111、L

--[(2।也)(z,ik)]r

2mrr~rrr-r0

为k_%k_

务=

=mr2mr3r

可见，八与尸女向。表示向南,即向原点J传播的球面波。

科克：钛W（x[=*,毅各的假置几率今布电何7送个波色鼎犍否归一化7

,.•\i//^i//dx

・•・波海烈系犍接dx=1方式归一化。

其相对佐置几率今布匹剧为

啰=帆『=1表示粒各点空间各处出现的人率相同。

2.3一修3在一破势场

oo,x<0

U(x)=v0,0<x<a

oo,x>a

中运劭，求梭3的惋汲和对应的波曲剧。

解,U(x)与f无关，是定态间毁。其灵态S一方程

力2d2

--TT叭*)+U(%)沙(x)=£〃(x)

2max

在各度域的具体形式名

力2d2

I.-x<0-------7%(x)+U(x)%(x)=£'%(x)⑦

2mdx~

力2d2

H.-0<x<a--------^,(x)-EI//(X)②

2mdx''2

方2d2

DI.-x>a-------^k(x)+U(x)“3(x)=E〃3(X)③

2mdx'

由彳⑴、住/方程中，由于。*)=8,要等大戚走，於须

▼1（X）=0

“2（X）=0

即接谷系债运劭刎势科“”卜的地方去。

方程⑵可变为改善+岑匕(x)=0

axh

,,2/nE

於匕2=—y-,得

n

+%M(x)=0

dx2

其解名(x)=24sinfcc+Scoskx

根据波曲态的标淮条件确定条照/,W,由直揍槌条件，得

匕(0)=%(0)⑤

少2(a)="3(a)⑥

⑤=8=0

@=>Asinh=0

•••A工0

.*.sinka=0

=>ka=nji(〃=1,2,3,…)

・・〃2(1)=Asin——x

a

由归一化条件

得

F.mn.n/c,ae

由sin-----x*sin——xdx=—omn

RI、cmn

£aa2

,2mE

"：k2=——

力2

/方2

=E“=——-n2(〃=1,2,3,…)可见W是量3化的。

2ma-

对应孑E“的归一化的定态波曲熬名

回.〃兀话

/、J—sin——xen,0<x<a

〃a

0,x<a,x>a

#

1

证期(2.6-14)式中的归一化帝故是4

njr.、I।

A'sin——(X+Q),X<a

证〃〃二1a

0,

(2.6-14)

由归一化，得

1=[=£Af2sin2丝(x+o)dx

,2/1〃万,」

—A,I—[ri1—cos—(x+ciy\dx

k2a

A'2A，?

=---X7cosn——7r/(x+a)、a」x

2~2aa

-«

A%上旦sinn7r/、

--(X+Q)

2n7ia-a

=A,2a

**•归一化存上A'=.—#

2.5或一瓶错被3处在激唳态时几率徽夫的位置。

解：叭X)

g(x)=帆](x)|2=4a2•-7=*x%。,

2yj7T

2a2-«2x2

二L・xe

da)(x)_2a3

x[2x-2a2x3]e_ffV

dx

全幽@=0,得

dx

x=0x=±-x=±oo

a

由他(x)的表达式可为，x=0,x=±oo时，?(％)=0。显隹系是量人人率的佐黄。

而d叱x)_^^[(2-6(72x2)-2a2x(2x-2a2x3)]0一国

dx~J万

=隼[(I-5。2/-2a

J万

d%](x)~4门

=­2--j=—<0

2

dxi〃e

A=+±-v

2

1Itl

可见x=±—=±J—是所或几率素上的位置。#

aV晔

2.6在一旅秀场中运劭的接3,势健对晨直对称：U(—x)=U(x),证飒核3的

建态波曲超具药确定的字繇。

证,在一瓶势场中运劭的怒3的复态s~方我考

方2d2

----^〃(x)+U(x)“(x)=E〃(x)⑦

2〃dx'

格式中的X以(-X)代换，得

力2d2

__(_幻+U(_幻口一幻=E叭-X)②

2〃dx-

利用U(-x)=U(x),得

方2d2

-----T+u(x)^(-x)=Ey/{-x)③

2/Jdx

比较⑦、@式可知，”(—x)和以x)都是描写在同一势场作用下的超3业态

的波曲想。由彳它们描写的是同一个正态，国此必—x)和以x)之间兄犍相差一个

希剧C,。方程⑦、@可相互进行空间反演(x―—幻而得其对方，由⑦按x-—X

女演，可得③，

=>=Cl//(x)

©

由③春经一XfX反演，可得⑦，反演步骤g上完全相同，附是完全博价的。

=>=cy/(-x)

⑤

④秉⑤，得

一(x)-(-x)=cV(x>(-x)

可见，C2=1

C=±1

%c=+l时，〃(-x)=-(x),=>什。)以有偶字赛，

由c=-l时，y(-x)=,二>以了)具有奇字繇，

它势场满足U(—x)=U(x)时，孩3的殖态波曲蚊具嗡确定的字称。#

2.7一接3在一攒势甜中

Ua>0,|x|>a

U(x)=

0,|x|<a

运劭，求束博态(0<E<U("的犍阳所旖足的方程。

解法一；粒各所满足的S-方程晶

----—r叭x)+U(x)以x)=Ey(x)

2〃dx

接势犍U(x)的形式今区域的具体形式名

力2d2

I-二j2%(X)+UM(X)=E%(X)—oo<x<a

2〃dx~

©

力2cl2

n•一「不吃（灯=E"2（X）-a<x<a

2〃dx

②

力2d2

in:一--Y-3（X）+UO“3（X）=E%（X）a<x<co

2〃dx-

③

卷理后，得

IW\=0

力2©

U：，川+；2〃2=°⑤

24（4一七）

in；一匕=0

12⑥

生与二？2_2々

1A22

则

I/叫=0@

n/,川_女；匕=o@

n/%-k；y/［二。©

各方程的解名

%=Ae*+Be"

材2=Csink2x+Dcosk2x

k=Ee+k'x+Fe-k'x

由波曲耙的有限他，<

%（-°0）有限=>A=0

匕（8）有限=>£=0

S此

%=BeF

忆=Fe%

由波曲粼的隹猿雁，】

k,a

%（-a）=〃2（-a）,=>Be=-Csink2a+Deosk2a（10）

〃；（一a）=■（一a）,nk】Be禺'=k2Ccosk2a+k2Dsink2a（H）

-k,a

.2（a）=（a）,=>Csink2a4-Dcosk2a=Fe（12）

8

归（a）=〃；（a）,nk2Ccosk2a-k2Dsink2a=-kjFe^'（13）

林理（70）、（17）、（⑵、（⑶狄,不合并鼠方程俎，得

-k,a

eB+sink2aC-cosk2aD+0=0

kje^^B-k2cosk2aC-k2sink2aD+0=0

k,a

O+sink2aC+cosk2aD-e-F=0

0+k2cosk2aC-k2sink2aD+k1eF=0

解此方程即可得出软。、。、7,进而得出波曲数的具体形式，要方程俎

中旅客解，必领

e'a

sink2a-cosk2a0

k,-k'a-kcoska-ksinka0

e2222=0

-ka

0sink2acosk2ae'

0k2cosk2a-k2sink2ak|Bef

-k2cosk2a-k2sink2a0

k,ak,a

0=e~sink2acosk2a-e-

k,a

k2cosk2a-k2sink2ak1e-

sink2a-cosk2a0

-k,a

sink2acosk2a-e

ka

k2cosk2a-k2sink2ak,e-'

-k,ak,a2k,a

=e[-k1k2e-cosk2a+k2e-sink2acosk2a+

k,a2

+k1k2e~sink^a+kje/asink2acosk2a]-

kak,ak,a2

-k1e"'[k1e-sink2acosk2a+k2e~cosk2a+

k,a-k,a2

+k1e~sink2acosk2a-k2esink2a]

2k,a

=e[-2k,k2cos2k2a+k：sin2k?a-kJsin2k2a]

2k,a

=e[（k2-k；）sin2k2a-2kjk2cos2k2a]

・・・e-w0

.•.（&；-k：）sin2k2a-2kxk2cos2k2a=0

即（^一代）吆2k2〃一2l七二0,所忒束博态惚您所满足的方程。#

解注二：接（13）式

kk

-Csinka+Dcoska=Ceoska+-^-Dsinka

22M2k]2

kk

Csink°a+Dcosk.a=——-Ccosk.a+—Dsink^a

K2kl

-cos^a+sinAr«-sinfca-cos^«

%22k、22

=0

k?k2

—cosk2a+sinA2a-(—sinfc2a-cosA：2a)

无i%

-(—coska+sinka)(—sinka-coska)

kj22k।22

k)k

—(—cosfc2a+sinfc2a)(—sinA：2a-cosk2a)=0

k[kt

(—cosA:2«+sinA：2«)(—sinfc2a-cosA:2a)=0

*kx

22

与sinA2。cosA2。+—sinAr2a--cos-sinfc2acosAr2a=0

k।k、k।

A22k

(—1H—~)sin2k2a------cos2k=0

*%

(k\-fcf)sin2k2a-2k/2cos242a=0

#

解法三；

lca

(U)-(13)=>2k2Dsink2a=kle~'(B+F)

-k,a

(10)+(12)n2Dcosk2a=e(B+F)

(11)-(13)...

------------=>ktgka=k,(a)

(10)+(⑵22—9।

⑴)+(⑶n2七CeosJt2a=-占(尸一B)e-ik,a

-ik|a

(12)-(10)n2Csink2a=(F-B)e

3回nkctgka=-k

(12)-(10)，，1

令=k2a,T]=k2a9则

&tg&=〃(c)

或JctgJ=T7(d)

长+〃2=(丫+内)=警里

(f)

n

合笄(a)、(b)/

2k[k22tgka

利用tg2k2a=2

'g2。=E?2

JV2»v]l-tgk2a

#

解法旧；（狼笥方法-4•移出标抽法）

力2

1：一丁晒+UoW、=EW\（X

2〃

(0<x<2a)

111

--登+(X>2a)

24

'„2^(UO-E)

%--------Ti---%=。

n

匕+了­犷2=°

2mU0E)

h2

%"-k»=0(1)k；=2〃(U°-E)/方2

川+kM-0(2)k；=2〃E/%2束德态0<ECU

M—kM=o(3)

+kxk>x

y/}=Ae'+Be-

W?=C^nk2x+DCOSA:2X

%=Ee*3+F@T、X

%(-°0)有限=>3=0

k3)有限=>E=0

因此

/.匕=Aek,x

3FeT"

由波曲剧的遵掾件，<

%(0)="2(0),nA=D(4)

次(0)=必(0),nk1A=k2c(5)

2ka

必(2a)=切(2a),=>k2Ccos2k2a-k2Dsin2k2a=-k,Fe_'(6)

-2ka

(2a)=%(2a),nCsin2k2a+Dcos2k2a=Fe'(7)

(7)代人(6)

kk、

Csin2左2a+Deos2ka=——-Ccos2ka+—Dsin2ka

2M2%2

利用⑷、(5),得

-Asin2k?a+Acos2k/=-Acos2k9a+-Dsin2koa

k.k

A[(--------)sin2ka+2cos2ka]=0

k2ki22

・・・Aw0

kk

/.(-------)sin2k2a+2cos2k2a=0

k?I

两边乘上(-k«2)即得

(k；-k；)sin2k2a-2k]k2cos2k2a=0

23今孑间的蕊德瓦耳斯力所产幺的势犍可越近饵表示名

x<0,

0<x<af

U(x)=〈

a<x<b9

b<x,

求束博志的怩极所满足的方程。

解；势犍曲拨电囹宗，今鼠四个区域求解。

定.态S-方程为

什(x)+U(x)^(x)=Ei//(x)

2〃dx2

对各区域的具体形式名

叫+U(x)W\=EW\(x<0)

n/—即『Ew?(o<%<(2)

(a<x<h)

IV/———^4+0=EI//A(b<x)