考研数学三(微积分)模拟试卷68(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷68(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A．y”‘一y”一y’+y=0B．y”‘+y”一y’一y=0C．y”‘一6y”+11y’一6y=0D．y”‘一2y”一y’+2y=0正确答案：B解析：根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为(λ一1)(λ+1)2=λ3+λ2一λ一1=0，故所求微分方程为y”‘+y”一y’一y=0，故选(B)．或使用待定系数法，具体为：设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是y”‘+ay”+b’+cy=0．由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是上述方程的解，所以将它们代入方程后得解得a=1，b=一1，C=一1。故所求方程为y”‘+y”一y’一y=0，即选项(B)正确．知识模块：微积分2．微分方程y”+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为()A．e-x(Acosx+Bsinx)B．e-x(Acosx+Bxsinx)C．xe-x(Acosx+Bsinx)D．e-x(Axcosx+Bsinx)正确答案：C解析：特征方程r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根为r1.2=一1±i，而λ±iω=一1±i是特征根，特解y*=xe-x(Acosx+Bsinx)．知识模块：微积分3．微分方程y”+y’+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()A．B．C．D．正确答案：C解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为r1,2=是特征根，所以特解的形式为知识模块：微积分4．设f(x))连续，且满足f(x)=+ln2，则f(x)=()A．exln2B．e2xln2C．ex+In2D．e2x+ln2正确答案：B解析：原方程求导得f’(x)=2f(x)，即，积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2xln2．知识模块：微积分5．已知y1=xex+e2x和y2一xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为()A．y”一2y’+y=e2xB．y”一y’一2y=xexC．y”一y’一2y=ex一2xexD．y”一y=e2x正确答案：C解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y1-y2=e2x-e-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e-x，故特征根r1=2，r2=一1．对应齐次线性方程为y”一y’一2y=0．再由特解y*=xex知非齐次项f(x)=y*”一y*’一2y*=ex一2xex，于是所求方程为y”一y’一2y=ex一2xex．知识模块：微积分填空题6．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为________．正确答案：y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2为任意常数解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．y1一y2与y2～y3均是式①对应的线性齐次方程y”+p(x)y’+q(x)y=0②的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使k1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．③设k1≠0，又由题设知y2一y3≠0，于是式③可改写为矛盾。若k1=0，由y2—y1≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1一y2与y2—y3线性无关．于是Y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)④为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1⑤为式①的通解．知识模块：微积分7．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且其反函数存在，记为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt+∫0xf(t)dt=xex—ex+1，则当一∞＜x＜+∞时f(x)=________．正确答案：解析：未知函数含于积分之中的方程称积分方程．现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对x求导数化成微分方程解之。注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之．将所给方程两边对x求导，有g(f(x))f’(x)+f(x)=xex．因g(f(x))≡x，所以上式成为xf’(x)+f(x)=xex．以x=0代入上式，由于f’(0)存在，所以由上式得f(0)=0．当x≠0时，上式成为知识模块：微积分8．微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是________．正确答案：tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数解析：方程分离变量得积分得ln(tany)=3ln(ex一1)+lnC．所以方程有通解为tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数．知识模块：微积分9．微分方程的通解是________．正确答案：y=C1e3x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数解析：原方程是二阶常系数齐次线性微分方程．其特征方程为r2一5r+6=0，即(r一3)(r一2)=0．解出特征根r1=3，r2=2，即得上述通解．知识模块：微积分10．微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)曲的通解是________．正确答案：其中C为任意常数解析：知识模块：微积分11．以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是________．正确答案：y”+4y一0解析：由特解Y—COS2z+sin2z知特征根为r1,2=±2i，特征方程是r2+4=0，其对应方程即y”+4y=0．知识模块：微积分12．微分方程y”=的通解为________．正确答案：+C1+C2，其中C1，C2为任意常数解析：由y”=知识模块：微积分13．微分方程y”一2y’一x2+e2x+1由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是________．正确答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x解析：特征方程为r2—2r=0，特征根r1=0，r2=2．对f1=x2+1，λ1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)．对f2=e2x，λ2=2也是特征根，故有y2*=Dxe2x．从而y*如上．知识模块：微积分14．特征根为r1=0，r2，3=的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：解析：特征方程为即r3-r2+=0，其相应的微分方程即所答方程。知识模块：微积分15．满足f’(x)+xf’(-x)=x的函数f(x)=________．正确答案：(1+x2)+x—arctanx+C，其中C为任意常数解析：在原方程中以(一x)代替x得f’(一x)一xf’(x)=一x．与原方程联立消去f’(一x)项得f’(x)+x2f’(x)=x+x2，所以f’(x)=积分得(1+x2)+x—arctanx+C，其中C为任意常数．知识模块：微积分16．已知∫01f(tx)dt=+1，则f(x)=________．正确答案：Cx+2，其中C为任意常数解析：将所给方程两边同乘以x，得令u=tx，则上式变为|f(u)du=两边对x求导得用线性方程通解公式计算即得f(x)=Cx+2，其中C为任意常数．知识模块：微积分17．微分方程xdy一ydx=ydy的通解是________．正确答案：其中C为任意常数解析：原方程化为是齐次型．令y=xu，则dy=xdu+udx，方程再化为=C代入y=xu即得通解其中C为任意常数．知识模块：微积分18．微分方程的通解是________．正确答案：y=C1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C1，C2，C3，C4，C5为任意常数解析：令则方程降阶为u的一阶方程积分四次即得上述通解．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．已知曲线y=y(x)经过点(1，e-1)，且在点(x，y)处的切线方程在y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．正确答案：曲线y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x)，令X=0，得到截距为xy=y-xy’，即xy’=y(1-x)，此为一阶可分离变量的方程，于是，又y(1)=e-1，故C=1，于是曲线方程为解析：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式．知识模块：微积分20．用变限积分表示满足上述初值条件的解y(x)；正确答案：初值问题可写成由上述变限积分形式的通解公式，有：涉及知识点：微积分21．讨论是否存在，若存在，给出条件；若不存在，说明理由．正确答案：解析：一般认为，一阶线性微分方程y’+p(x)y=g(x)的计算公式为y=e-∫p(x)dx(∫e∫p(x)dx.q(x)dx+C)，而本题是要求写成变限积分形式y(x)=e-∫x0x(∫x0xe∫x0xp(s)dsq(t)dt+C)．请考生仔细分辨这里的变量表达形式．由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论，故本题对于考生是一道难题．知识模块：微积分22．求微分方程xy’+y=xex满足y(1)=1的特解．正确答案：由通解公式得当x=1，y=1时，得C=1，所以特解为涉及知识点：微积分23．求微分方程的通解．正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程．方程两边同除以x，得涉及知识点：微积分24．求微分方程y”+4y’+4y—e-2x的通解．正确答案：特征方程r2+4r+4=0的根为r1=r2=一2．对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-2x．设原方程的特解y*=Ax2e-2x，代入原方程得因此，原方程的通解为y=Y+y*=(C1+C2x)e-2x+涉及知识点：微积分25．求微分方程(3x2+2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解．正确答案：原方程化为3x2dx+(2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0，即d(x3)+d(x2y—xy2)=0，故通解为x3+x2y—xy2=C，其中C为任意常数．涉及知识点：微积分26．求解y”=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．正确答案：代入y(0)=0，得C1=一ln2，所以，该初值问题的解为y—ln(1+ey)=x—ln2．涉及知识点：微积分27．求方程的通解．正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应先化成标准型：涉及知识点：微积分28．求y”一y=e|x|的通解．正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y”=y+e|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为y”一y=ex求得通解此y在x=0处连续且y’连续．又因y”=y+e|x|，所以在x=0处y”亦连续，即是通解．涉及知识点：微积分29．利用变换y=f(ex)求微分方程y”一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．正确答案：令t=ex，y=f(t)y’=f’(t).ex=tf’(t)，y”=(tf’(t))’x=exf’(t)+tf”(t).ex=tf’(t)+t2f”(t)，代入方程得t2f”(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t