三角函数论文

浅谈三角函数摘要三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。关键词：数学三角函数定义运用AbstractTrianglefunctionhastheformula,flexible,rich,changeideologicalcharacteristics,strongpermeability,describestheimportantmathematicalmodelperiodicphenomenon,Inteachingandotherareasitplaysanimportantrole.Thispaperwilltrigonometricfunctionofsomeabouttheapplicationinsolvingpracticalproblemsdosimplediscussion.Keywords:mathematicstrigonometricdefinitionuse2.1、引言三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上，也编制了所谓“弦表”，他藉助于几何知识，编制了弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。８－１２世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯﹐在这些国家里，不但提出“正弦”一词﹐还以几何方法定义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义﹐并编制了各种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献；阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasiral-Dinal-Tusi,1201-1274)在他的著作《论四边形》里，首先把三角学从天文学中分割出来，看作为一门独立的学科。１２－１５世纪，三角学传入欧洲，德国著名数学家列吉奥蒙坦(Regiomontanus,1436-1476)与纳速拉丁一样，也把三角学看作一门独立学科，着有《论各种三角形(Detriangulisomnimodis)》，其中重点讨论了三角形的解法，并编制了十分精密的“正弦表”，还创造了一些三角公式，对三角学理论提高到一定的水平，为三角学发展起到了不可忽视的作用。2.2、三角函数定义三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。2.2.1、锐角三角函数在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式：sinA=∠A的对边长/斜边长，sinA记为∠A的正弦；sinA＝a/ccosA=∠A的邻边长/斜边长，cosA记为∠A的余弦；cosA＝b/ctanA=∠A的对边长/∠A的邻边长，tanA＝sinA/cosA＝a/btanA记为∠A的正切；当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为“锐角三角函数”。sinA＝cosBsinB＝cosA2.2.2、常见三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：图一表一基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角θ的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角θ的斜边比对边2.2.3、非常见三角函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：表二函数名与常见函数转化关系函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθ半余矢函数hacoversθ=(1-sinθ)/2;余矢函数coversθ=1-sinθ外正割函数exsecθ=secθ-1半正矢函数haversθ=(1-cosθ)/2;外余割函数excscθ=cscθ-12.3实际应用在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。2.3．1停车场设计问题、如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长RP交AB于M。若直接设RP的长度为x，则PM=100－x,在Rt△APM中，AM=，从而得PQ=MB=100－，S=（100－）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积图二的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。解：如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00<θ<900），则AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，∴S=PQ·PR=（100－90cosθ）·（100－90sinθ）=10000－9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ。设sinθ+cosθ=t(1<t≤)，则sinθcosθ=。代入化简得S=（t－）2+950。故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2)2.3.2例2、如图，一条河宽km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？ACDB河θACDB河θ解：设∠CAD=θ（0<θ<900），则AD=secθ,CB=,BD=－tanθ,图三∴总费用为y=4secθ－2tanθ+2=+2问题转化为求u=的最小值及相应的θ值，而u=－2·表示点P（0，2）与点Q（cosθ,sinθ）斜率的－2倍（0<θ<900），有图可得Q在单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧切于点Q时，u取到最小值。此时KPQ=，∴umin=2，θ=。图四即水下电缆应从距B城（－）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值2+2（万元）。注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。.3.1、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。PABCO解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=cotθ,母线长l=，高h=Rtan2θ，θ∈（0，）。则S全=πRl+πR2=πR(+R)=πR2(+1)=πcot2θ(+1)=;图五PABCOV=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴当且仅当tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=时，能使S全和V同时取到最小值，此时R=，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是8π，体积是。.4.1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：10要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；20题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为（x,y），则θ∈[0，]。∴|AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinθ≤m2+n2+2mn=（m+n）2=900∵机艇中途东拐，∴x2+y2<900。…………①又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=msin(θ+)+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②图六满足不等式组①和②的点Q（x,y）所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。.5.1、在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽AB=a米，球门柱B到FE的距离BF=b米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角∠GEPCFBGEPCFBAD若直接在非特殊△APB中利用边来求∠APB的最值，显得比较繁琐，注意到∠APB=∠APF－∠BPF，而后两者都在Rt△中，故可应用直角三角形的性质求解。图七解：如图，设FP=x，∠APB=α，∠BPF=β（α、β为锐角），则∠APF=α+β，tg(α+β)=,tgβ=,tgα=tg[(α+β)－β]==。若令y=x+，则y≥=，当x=,即x=时，y取到最小值，从而可知x=时，tgα取得最大值，即tgα=时，α有最大值。故当P点距底线CD为米时，为射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型。另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的，如本例中的（21，0.99）。2.3.6、三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。图八如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，AST是一半径为AT=90m一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。解：设,,延长RP交AB于M，易得PQ=MB=AB—AM=100—90，RP=RM—PM=100—90，从而令，，则，故当时，有最小值；当时，有最大值[思维点拔]引进变量建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.一条河宽1km，两岸各有一座城镇A和B，A与B的直线距离是4kmACDBACDB解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C,若从A到C再到B的线路铺设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并