硕士研究生招生考试试题数学二解析2019

2019年数学2019年数学（二）真题解析一、选择题）【答案】（.【解】方法一由li工_向=恤1_咯=_得_tan 工3（工一工 LO 3z 3 3故工一tan3即k=3.方法二由tanx—x+工3+o:）得z—tanx~x3z—0,«J o故％=3.）【】.【解】 f=xcosx一n，夕〃=—xnx?令=—xnx=0得工=工7,当z€O<0当工e0,7时0,；当工G冗2兀j/'02.）【（.【解】方法一r+°° f+8由 x_rc=2）=1得 x_rdj收；Jo J0由f+°°x 2 1 2I+°° 1 r+°° 2| djr----ex =百得| x £z收；Z Io / Joarctanx. 1. .,I" x2/曰°°arctanx. 比心-------1+- dx=2arctanc2Io ==得 ------ckz收敛，8 Jo 1+_z2~d（D.方法二qr r+8 nr由limx•-------1+工7=且=1W得广义积分 d发应选l+8 2 1+X4）【D.【解】 微分方/'+ar+by 的特征方程A2+«A+6=0,由y=Ci+x_J+e，i=入2=—1则a=2,b=；再由_y*=e为微分方程y"+ayr-Vby=c的特解得c=4D.（）【】.【解】 由/$0，n/£/得2WJx2 从而2V4；~I F ~~i F i Ftvi— ~r •2------》=o. x十------•-Jx》 91 cos\Jx+y=Zsin ------ 2sin------- ------•171•22nJx2+2=2si-------------•cos 2 ，由2+2W 2 W 0从而沖空£co空戸于是n；2+夕2$1一COSZ2+1故【3【，应选【解】 若lim ---- =0得(a)=g(a；— (x—a)由lim八：)_¥=0得lm；_g'")=0从而/'(a)=/(a；x~^a (X CL) x~^a u\X CL)由0=tln/◎=—/—()[=扛门a—g〃(泅2工—a x一a 2工-^|_ x一a x—a J Lf'\a)=g"(a即lim "貨=可得/e),gc在=a处相切且曲率相；—a (xa)反之，若/(a)=g(a)/(a)=g'(a),|f(a)|=|g"(a)，则不能保证lm ---- =0,a (z—a)故lim(O '严)=0是y=/(z),y=g(z)在=a对应点处相切且曲率相等的充分工一a (jc一a)不必要条件，应选(A).【答案】(A).【解】 因为AX=0的基础解系中含2个解向量，所以r(A)=2<4,r(A*)=0,应选(A).(8)【答案】(C).【解】 令AX=AX(X 0),由2+A=2EV+A—2E)X=入2+2)X=0,从而有入$+入一2=0,即入——2或入=1,因为|A|=4,所以入1=1,入2=入3=—2,故二次型y{-yl-y(C).二、填空题(9)【答案】4e2.「 ,-]20+2"-1) ””匚,2工小【解】lim(^+7lim(1+z+’一I* t ef0x-0 0=e2(1+ln2) =4e2.3TT案】 y+2.【解】t=罗对应曲线上的点为(罗1,1),斜率为学「，djf 1一COSt ckzIi=y•172•切线方程为厂切线方程为厂1一―37T令x=0得切线在y轴上的截距为y2.(11)【答案】【解】lj工了二+夕亍二 2v3OX dy(12【答案】 n-【解】 曲线段的长度为s=『7TT产= /1+ta2?djc= cxcLzJ0 Jo 0In|cx+tanx|I6=』彳+右)=1佔* 1113.0(13)【答案】 cos1一14• .2, mt2. 1X2 •x2【解】 /C)dj= -------dt -------& cLr0 t 0T x£ 1_COS1—1jcnx2 x2d(：)=—cosX2o 4 0 4【答案】一4.【解】1 _1 0 0-2 1 _1 1—A2=1XAn—1XAj2+O13+014=丨A丨=3 -2 2 10 0 3 41 0 0 0-1 —1 1 1 —1 1_ 2 -1 1 1 — 1 2 —1_ 0 1 0=—4.3 1 2 10 3 4 0 3 40 0 3 4三、解答题(15【解】当x>0，f&)=(宀/_(/2xInx7 2x (21nx+2)；X •当工V0：)=C+l)e°9limf(z)—f(0)=. 2jlnx—1=lim21nx=一00得在x=处不可limx0+ 工------工一()+ x zfo+于是有x2x(21nz+2)9 09(工+l)e°9 •z<0.•173•(j?)=0或/(jr的不可导的点为z=—1工=Ojc=，当工<1■'(#)<o；当1<工vo■'&)>；o<工v•V0当工,/7x)>0,e e故工=-1为极小值点，极小值为/(-1)1—丄;e工=f(0)=；2_X=+为极小值点，极小值为/■(+)=&)•人 3工+6 A B Cx+D(16【解】 -----------------------------------------------------------------—|--------------------------------------------------(JC—(j2 X+) X—\ JC—12 J72+JE+1AS—1)(/+1)+BQ2+1)+(Ch+D)(工一1)23+6得A+C=0,B-2C+D=0,_B+C—2D=39A+B+D=6,A2,E=3,C=2,D=1,故3«z6 —2 3 2+1厂—9—ckz(工一1)钦/+x+1) _x—\ (工一l)' 2+ +1_21n|x一1+ln(j2+x+1)+C.x1(17)【解】I)(£—。2•丿 dr+)e皿=石+C)e2,y(1)=7eC09jy(z)\!~xe2TT 7TII)V= 2(\x=TT xedjc=^ =~z(4—e)(18)【解】 由对称性得『—也d『一 d.d,令$7込0,仔学owYsige),则『乂+》…czdv=TddnJnr=+[池皿勺好寸 J7 J。 2Ji19— n i生T o o COS(J=t 2“ °、八=— (1—cos9)d(cos6) ------ (1—t)2J专 /」Tc匹 逕= 2(l-2Ydt= 2(1-22+?)dz43120•174•nn1 r兀19)【解”1“ enxdzk=0 Jn1 兀-r sinx+cosx) kn-1=：>4 kn一1 1+厶k=0 / 2 l-e~liS”=lim* +=-e-l|+"f8匕 1—e u c—1(20【解】 =^十+avax+by, 竺=丫严®+bvex+by,OX ox dy dyd2u d2v ,, dz) ,, „ ,,r=+2aax+hy+®,djc 3x 3xd2u 32i d ,7=—ax+by+26—x+by+bveby,3y 32 dy代入已知等式得□2 ? 2 2~^eax+/,y+4a$®+2vax+by一2—^eax+by-46ax+by—2b2vax+hy+ox dy dy3~ax+by+3avax+hy+3ax+by+3bvaj:+hy=0,ox dy整理得32V 3277 dy dv 9 922一2+(4a+3)(3—4b)(2a一2b+3a+36)77=0,dx dy dy由题意得m二解得a=—和=#21【证】（令（）= fdt9则（）=* （乂9J0由拉格朗日中值定理得1=|jdjc=1）—0）=，l—）=f）0<Zc<Z1^J0c）=1ec,c0,1使得F®=0.n）（=/（j+,申0)9 (p(c)=/(c)+2=1 2卩(1)=，由拉格朗日中值定理存在刃（o,c26a,使得1+C?爭5_ _--------C+-C C C，（ 卩⑴―0（_2一1—2 1 1卩（处） — 1一C 1十存在°G小，加U0,1使得_爭（乃—卩）_ °（卩J)"2一71 恥—71 72 71•175•1 1 1 \ /! 1 1 \(22)【解(aL,2,3)=> 0 2 r»0 1 14 /+3/ '0 0 /—1'当a=—1时，向量组a19a29a3的秩为2,0 1\ /I 00190，0）=12 0 1 1得P^2P3的秩为2,2 0 0/I 1 1 1 0 /I 1 1 1 0 1\a19a29af290) ] 0 2 1 2 3卜0 1 1 0 2 24/ o''4 4 4 2 2 0 0 -2 21，2,）Ha1a?a，02），所以两个向量组不等价;Z1 1 1 1 0 1\ /! 1 1 1 0 1\当a=1时（么19。。01,02903）1 0 2 1 2 3-»0 -1 1 0 2 2'4 4 4 4 0 'o 0 0 0 0 o'因为厂(a]9(^29(/301902903=r(a9a2,a39019卩2903)=29所以两个向量组等价.令1t1 J：2U2+3。3=03,1 1 * 11 1 1 /I 0 2 3\再(CL19U2。3，卩=h 0 2 卜（） 1 1 - 1 —1 2得4 4 4 J \） 0 0 ' 0 0 0/'0方程组41+2+ 33=/h的通解为/-2 /—2k+3Xk 1 + k-2 Ck为任意常数）,1 k03(—2k+3)ot]+(怡一2)(X2ka3(b为任意常数).当aH士，a],a2,a,的秩为3,1 0 1 \ /I 0 1 /I 0 1由（0，02，03）= 1 2 3 0 1 1 0 1 1 a+3 1—a 2+3 0 1—a a2一a 0 0 a21向量组01,02,03的秩为3,/I 1 1 1 0 1 \再由(Ct]9OC2901902903)=• 0 2 1 1 2 34 4 a2+31a+3 1一a 2+3/I1 1 1 1 0 10 1 1 0 2 2 得'00 2_1a一1 1-a a2一 1ra、ici2，®)rfti,020=r(aja29a390i02，03）=3,故两个向量组等价.令215+x2a2+工303=03,•176•1 11 1 1 1 1 1 1 1ai,a2,a，0Q=11 0 2 3 0 —1 1 2-1 4 a2+3 2+3 0 0 a2一1ia2F/I 1 1 1 /I 1 00\ 1 0 0: 1\0 1 1 2 0 1 0 1一0 1 0 1得0 0 1 1 0 0 111''0 0 11 11P3 a]—a2+a32【解（I因B所以trA=trB,即z 4*+1或J=x—-5,再由|A|=|B|得一2—jc+）=一2y即y=一2x+4,解得x =—2.厂2 2 1\ /2 1 0\nA= 2 3 -2,B=0 -1 or'0 -2丿 'o 0 一2/0B的特征值为A=一2入2=一1入3=29丄/O -2 0 I由2E+A-*2 1 1 心=—2的特征向量为0 70'4/41 2 —1 /I 2 由E+At 0 1 一0 0 1得A的属于特征值入2=—1的特征向量为'o 0 0 'o 0」0的属于特征值入3=2的特征向量为02 — -2 0 01 2贝iJjAP] 0 1 0'4 0 0' 0 0 24 1 °\ 1 0 °\由2EB=0 1 0- 1 得的属于特征值右-的特征向量为01=0'o0 'o