山西省忻州市定襄县闫徐庄学校高三数学理模拟试题含解析

山西省忻州市定襄县闫徐庄学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（理科）若函数,且,则下列不等式必定成立的是A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知函数y=f（x）（x∈R）上任一点（x0，f（x0）），且在该点处的切线斜率为k=a（x0﹣1）（x0+2）2（a＜0），则该函数的单调递减区间为（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣2，1） D．[﹣2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】令a（x0﹣1）（x0+2）2≤0，解关于x的不等式即可．【解答】解：由题意可知函数的导函数为a（x0﹣1）（x0+2）2（a＜0），函数的单调减区间，即函数的导函数小于0即可，因此使a（x0﹣1）（x0+2）2≤0，得x0≥1，故选：A．3.设集合，则（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：B4.已知＜x＜，则tan为A. B. C.2 D.参考答案：A，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A.5.设，则A.

B.

C.

D.参考答案：A6.中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为

（

）

A．2

B．

C．1

D．参考答案：A略7.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于

（

）（A）

（B）2

（C）3

（D）4参考答案：答案：A解析：∵＝，∴根据题意作出函数图象即得．选A．

8.若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为

（

）

A．8

B．9

C．10

D．13参考答案：B由可知函数的周期是2.由得，分别做出函数的图象，由图象可知两函数的交点有9个，所以函数的零点个数为9个，选B.9.已知||=2，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量投影的定义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小．【解答】解：记向量与向量的夹角为θ，∴在上的投影为||cosθ=2cosθ．∵在上的投影为，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量投影的定义与应用问题，基础题目．10.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C设,由有,解得,所以,选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列{an}是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列{an}有

个．参考答案：4设，由题意知，，，.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.12.设函数向左平移单位后得到的函数是一个偶函数，则φ=

．参考答案：﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角弦函数的奇偶性，求得φ的值．【解答】解：函数向左平移单位后得到的函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，根据所得函数是一个偶函数，则+φ=kπ+，k∈Z，可得φ=﹣，故答案为：．13.设A、B为在双曲线上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面积的最小值为______参考答案：略14.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 。参考答案：4或15.（5分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的单调增区间为，已知sinα=，且α∈（0，），则f（α﹣）=．参考答案：[2kπ﹣，2kπ+]，【考点】：正弦函数的图象；函数的值．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，∵sinα=，且α∈（0，），∴cosα=，f（α）=sin（α+）=sin（α+）=[sinαsin+cosαcos]=，故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如右图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为

.；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过

小时后，学生才能回到教室.参考答案：（1）

（2）17.已知复数的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_____.参考答案：2【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知数列的前项和为，且（为正整数）

（I）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若对任意正整数，是否存在，使得恒成立，若存在，求实数的最大值；若不存在，说明理由。参考答案：解析:因①时②由①－②得………………4分又得，故数列是首项为1，公比的等比数列………………………6分(Ⅱ)假设满足题设条件的实数k，则………8分由题意知，对任意正整数n恒有又数列单调递增所以，当时数列中的最小项为，则必有，则实数k最大值为1…………12分19.已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）

（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有．因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又．所以，解得．

所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以．

令，，，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．20.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.参考答案：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为.设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012数学期望.21.已知函数，设。（1）求F（x）的单调区间；（2）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值。（3）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。参考答案：解.(Ⅰ)

由。

------4分（Ⅱ）

当

…………8分（Ⅲ）若的图象与的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。

------------------------10分令，则。当变化时的变化情况如下表：(-1,0)(0,1)(1,)的符号+-+-的单调性↗↘↗↘由表格知：。-----12分画出草图和验证可知，当时，……14分。

略22.已知数列{an}的前n项和为．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）首先利用Sn与an的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1；结合已知条件等式推出数列{an}是等比数列，由此求得数列{an}的通项公式；（2）首先结合（1）求得bn=log2an=log22n=n，cn=an?bn=n?2n，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为，可得an﹣Sn﹣1=2，n≥2，相减可得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，即为an+1=2an，由a2﹣S1=