上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试（二模）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试（二模）数学试卷一､填空题1.已知，则________；〖答案〗〖解析〗因为，所以故〖答案〗为：.2.已知球的表面积为,则该球的体积为______.〖答案〗〖解析〗设球半径为，∵球的表面积为，∴，∴，∴该球的体积为．故〖答案〗为．3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________.〖答案〗〖解析〗抛物线的准线方程为，设，，则，所以，所以.故〖答案〗为：.4.已知集合，则__________.〖答案〗〖解析〗，，所以.故〖答案〗为：.5.已知随机变量，且，则__________.〖答案〗12〖解析〗随机变量，，，则.故〖答案〗为：126.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________.〖答案〗144〖解析〗先将3个男孩站成一排，有种方法，将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法，故一共有：种.故〖答案〗为：1447.已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为__________.〖答案〗〖解析〗不妨设中，，，由余弦定理，即，解得，又，所以，由正弦定理，即这个三角形外接圆的直径为.故〖答案〗为：8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.〖答案〗3〖解析〗因为成等差数列，故，即，解得：或.因为等比数列是严格减数列，且，故.所以.故〖答案〗为：39.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗如图，设，因为，所以，故，如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示两点间的距离，所以的最大值为.故〖答案〗为：.10.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________．〖答案〗〖解析〗设圆O半径为r，双曲线方程为因为，所以由题意可知，，代入方程，得解得，所以故〖答案〗为：11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.〖答案〗〖解析〗取的中点，连接、、、，因为点为棱的中点，所以，又且，所以为平行四边形，所以，所以，即、、、四点共面，连接，，则，，因为底面为菱形，且，所以，所以，所以，所以，即，所以，将绕翻折，使得平面与平面共面，连接交于点，则，又，在中，即，所以，即线段、的长度和的最小值为.故〖答案〗为：12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗因为关于的不等式对任意均成立，①当对任意均成立时，可得对任意均成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，又由对任意均成立，可得对任意均成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以.②当且对于任意均成立时，结合①可知且，此时无解.综上可得，实数实数的取值范围为.故〖答案〗为：.二､多选题13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由欧拉公式得，因此化为，则，即，所以.故选：A14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（）A.函数偶函数B.函数的图像关于直线对称C.函数在上是严格增函数D.函数在上的值域为〖答案〗D〖解析〗因为，将函数的图像沿轴向右平移个单位得到，又，所以为奇函数，故A错误；因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误；当时，因为在上单调递减，所以函数在上是严格增减函数，故C错误；当时，所以，则，即函数在上的值域为，故D正确.故选：D15.给出下列4个命题：①若事件和事件互斥，则；②数据的第百分位数为10；③已知关于回归方程为，则样本点的离差为；④随机变量的分布为，则其数学期望.其中正确命题的序号为（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④〖答案〗C〖解析〗对于①：因为事件和事件互斥，所以，故①错误；对于②：因为，所以第百分位数为从小到大排列的第个数，即可为，故②正确；对于③：因为，当时，所以样本点的离差为，故③正确；对于④：，故④错误.故选：C16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.则下列判断正确的是（）A.①②都是假命题 B.①②都是真命题C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题〖答案〗B〖解析〗，故在上递增，对于①，设，，设，，，单调递减，单调递增，，即，，即，故，故①是真命题.对于②，由①知，，即，，故.且在上递增，故，，故的值域为所以，即，故，②是真命题.故选：B.三､解答题17.已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设数列前项和为，且，若，求正整数最小值.解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，故；（2）由（1）可得，则，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，故，因为，所以，所以，所以或，因为，所以，所以的最小值是．18.如图，在三棱柱中，，为的中点，，.（1）求证：平面；（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：连接，交于点，连接，为的中点，在平行四边形中为的中点，是的中位线，可得，平面，平面，平面；（2）解：因为平面，平面，所以，，又，故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则设点的坐标为，则，，因为平面，平面，所以，所以，解得，经检验符合题意.所以，则，又，，设平面的一个法向量为，则，即，取得，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为.19.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5457606366件数（单位：件）52146253（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.（i）求抽取的零件为废品的概率；（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量，则.解：（1）由题意可知，则，所以；（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则，，，，所以；（ii）因为，所以，所以．20.已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.解：（1）由已知条件可知，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）因为直线为的法向量为，所以直线的斜率为，方程为，联立，得，解得（舍去），从而，因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，同理可得点的坐标为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，即；（3）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，联立，得，解得（舍去），因为直线的斜率之积为1，所以直线的方程为，同理可得，故直线的斜率，当为直角三角形时，只有或，于是或，若，由，可得，从而，若，由，可得，从而，所以存在，直线的斜率为.21.若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.（1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由；（2）设函数具有性质，求实数的取值范围；（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.（1）解：不具有性质，理由如下：取，有.具有性质，理由如下：对任意，，有.（2）解：函数定义域为，又，所以是奇函数，函数具有性质，故对，，都有，又为奇函数，故，即是严格增函数，恒成立.若，则，解得；若，则恒成立；若，则，解