高中数学导数压轴题训练

高中数学导数尖子生辅导(填选压轴)

选择题(共30小题)

1.(2013•文昌模拟)如图是f(x)=x3+bx?+cx+d的图象，则xf+xz?的值是()

y

-1/7、a/

/%:

A.2B.4C.8D.16

333T

考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化.

专题：计算题；压轴题；数形结合.

分析：先利用图象得：f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,求出其导函数，利用XI，X2是原函数的极值点，求

出X|+X2=Zx.・Xc=--＞即可求得结论.

3123

解答：解：由图得：f(x)=x(x+1)(x-2)=x3-x2-2x,

**.f(x)=3x2-2x-2

VX1,X2是原函数的极值点

所以有XI+X2=2,x.V„=--.

3123

X]2+X22=(X|+X2)2-2X1X2=-+-^=—.

9%9

故选D.

点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础

题.

2.(2013•乐山二模)定义方程f(x)=f(x)的实数根xo叫做函数f(x)的"新驻点"，若函数g(x)=x,h(x)

=ln(x+1),<t>(x)=x3-I的"新驻点”分别为a,p,v，则a,B，v的大小关系为()

A.a>P>yB.P>a>yC.v>a>BD.p>y>a

考点：导数的运算.

专题：压轴题；新定义.

分析：分别对g(x),h(x),4>(x)求导，令g，(x)=g(x),h1(x)=h(x),巾，(x)=e(x),则它们的根分别

为a,B，丫，即a=l,In(P+1)=---,y3-l=3y2,然后分别讨论B、丫的取值范围即可.

B+1

解解："."gz(x)=1,h'(x)=—―,巾'(x)=3x2,

x+1

由题意得：

a=l,In(P+1)=---,/-1=3丫2,

8+1

①,.,in(P+1)=--—,

P+1

**.(P+1)"i=e,

当p>l时,p+l>2,

P+12,

这与P>1矛盾，

/.0<p<l；

32

②vv-l=3v,且Y=0时等式不成立，

A3Y2>0

，丫3>1,

AY>1.

/.Y>a>p.

故选C.

点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是

一个难点.

1c2

3.(2013•山东)抛物线C|：y=J-x2(p>o)的焦点与双曲线C2：工-y2=]的右焦点的连线交C|于第一象

2p3

限的点M.若Ci在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=()

A.近B.近C.2A/3D.延

TT~3~~3~

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质.

专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数

y=J-x2(p〉o)在X取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到

2P

交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值.

解：'：解：由yc—Lx2(p>0),得x?=2py(p>0),

2p

所以抛物线的焦点坐标为F(0,]).

山当一y=i，得=网,b-1,c=Va2+b^=V3+r=2,

o

所以双曲线的右焦点为(2,0).

则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为已一丁二，

2-00-2

BIJ^x+2y-p=0@-

2

设该直线交抛物线于M(xc,-则Ci在点M处的切线的斜率为0.

02pP

由题意可知为=k=亚，得Xc哲D，代入M点得M(叵，卫)

pa3X03P36

把M点代入①得：亚』+&>-2P=0.

33

解得p=1/s

3

故选D.

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的

切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题.

4.(2013•安徽)已知函数f(x)nx'+ax,bx+c有两个极值点Xi,X2，若f(xi)=xi<X2，则关于x的方程3(f(x))

2+2af(x)+b=0的不同实根个数为()

A.3B.4C.5D.6

考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断.

专题：压轴题；导数的综合应用.

分析：由函数f(x)=x、ax2+bx+c有两个极值点X],X2，可得f'(x)=3x)+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有

22

△-4a-12b>0.而方程3(f(x))+2af(x)+b=0的△尸△>(),可知此方程有两解且f(x)=xi或x2.再

分别讨论利用平移变换即可解出方程f(X)=X1或f(X)=X2解得个数.

解答：解：,函数f(x)=x3+ax?+bx+c有两个极值点Xi，X2，

Af(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，

••-△=4a2-12b>0.解得x=-2a±J.a212b=一」±'02

X63

2-2

_a_^/a-3ba+^a-3b

•X]x[，••x：3X2=3

而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△尸△>(),.♦.此方程有两解且f(x)=xi或X2.

不妨取0(X]VX2，f(X])>0.

①把y=f(x)向下平移xi个单位即可得到y=f(x)-xi的图象，丁!*(xi)=xj,可知方程f(x)=x]有两

解.

②把y=f(x)向下平移X2个单位即可得到y=f(x)-X2的图象，Vf(xp=xpAf(xi)-X2〈O,可知

方程f(x)=X2只有一解.

综上①②可知：方程f(x)=X1或f(x)=X2.只有3个实数解.即关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0

的只有3不同实根.

故选A.

点评：本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结

合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.

5.(2013・湖北)已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x2(xi<x2)()

ABCD

-f(X1)>0,f(x2)-f(X1)<0,f(x2)-f(X1)>0,f(x2)-f(X1)<0,f(x2)

考点：利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件.

专题：压轴题；导数的综合应用.

分析：先求出F(x)>令f"(x)=0,由题意可得lnx=2ax-1有两个解xi，X2=函数g(x)=lnx+l-2ax有且只有

两个零点=g，(X)在(0,+OO)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.

解口：解：(x)=lnx-ax+x(--a)=lnx+l-2ax,(x>0)

X

令f7(x)=0,由题意可得lnx=2ax-1有两个解X],X2<=>函数g(x)=lnx+l-2ax有且只有两个零点

<=>gz(x)在(0,+°°)上的唯一的极值不等于0.

，/、11-2ax

g(x)=—-2a=-------

xx

①当avO时，g'(x)>0,f(x)单调递增，因此g(x)=f(x)至多有一个零点，不符合题意，应舍去.

②当a>0时，令g，(x)=0,解得x=工，

2a

VxC(0,―)，g'(X)>0,函数g(x)单调递增；x€(―,+8)时，g-(x)<0,函数g(x)

2a2a

单调递减.

.•.X=」是函数g(x)的极大值点，则g(A)>0,即iJ+1-k-in(2a)>0,

2a2a2a

Ain(2a)<0,/.0<2a<l,BPQ<a<l.

2

7°<X1<2^<X2,f(xi)=lnxi+l-2axj=0,f(X2)=lnx2+l_2ax2=0.

且f(X|)=xi(Inxi-axj)=xj(2axi-1-axi)=X|(axj-1)<xj(-axi)=-axj<0.

f(X2)=X2(Inx2-axj)=x2(ax2-I)>1X(aX—-1)=-△.(—^>p.

2a22a

故选D.

点评:熟练掌握利用导数研究函数极值的方法是解题的关键.

x2

6.(2013・辽宁)设函数f(x)满足x02:(x)+2xf(x)=二，f(2)=幺，贝ijx>0时，f(x)()

x8

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

考点:函数在某点取得极值的条件；导数的运算.

专题:压轴题；导数的综合应用.

分析:先利用导数的运算法则，确定f(X)的解析式,再构造新函数,确定函数的单调性，即可求得结论.

解答:_eX

解：••・函数f(x)满足x2f，(x)+2xf(x)—,

2

••­[xf(x)「金

X

2。时,号x

X

J，dx

X

••f(X)2

X

ex-2J

•••甘(x)=--------

X

令g(x)=eX-2J；8《dx，则g'(x)=eX-且eX(1-2)

uXXX

令g'(x)=0,则x=2,Axe(0,2)时，g'(x)<0,函数单调递减，xG(2,+<»)时，g'(x)>0,函

数单调递增

Ag(x)在x=2时取得最小值

22

Vf(2)=-5-,.*.g(2)=2-2X4X-5-^0

8e8

*'•g(x)>g(2)=0

X_nr+8B

e2JoTdx

"(x)--------------刍->o

3

X

即x>0时，f(x)单调递增

Af(x)既无极大值也无极小值

故选D.

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大.

7.(2013•安徽)若函数f(x)nx^+ax\bx+c有极值点xi，X2，且f(x])=xi，则关于x的方程3(f(x))?+2af(x)

+b=0的不同实根个数是()

A.3B.4C.5D.6

考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断.

专题：综合题；压轴题；导数的综合应用.

分析：求导数f*(x),由题意知X|,X2是方程3x?+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3(f(x))2+2af(x)

+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案.

解答：解：F(x)=3x?+2ax+b,xj,X2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设X2>xi，

由3(f(x))2+2af(x)+b=0,则有两个f(x)使等式成立,xj=f(x(),X2>x)=f(x(),

如下示意图象：

如图有三个交点，

故选A.

点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想.

8.(2014•海口二模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0.当x>0时，有些~~⑴jf(x)■亘

X

成立，则不等式x2f(X)>0的解集是()

A.(-2,0)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)C.(--2)U(2,+«>)D.(--2)U(0,2)

考点：函数的单调性与导数的关系：奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法.

专题：综合题；压轴题.

首先根据商函数求导法则，把好'一包)_；f(X)<0ft为也然后利用导函数的正负性，可

X2X

判断函数y='*)—(0,+8)内单调递减；再由f(2)=0,易得f(x)在(0,+°°)内的正负性；最

X

后结合奇函数的图象特征，可得f(X)在(-8,0)内的正负性.则x2f(x)>0«f(x)>0的解集即可

求得.

解：因为当x>0时，有些_(x).f.)_<0但成立,即［f(X)_］，<0恒成立,

x2x

所以f(三)一在(0,+8)内单调递减.

X

因为f(2)=0,

所以在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2,+8)内恒有f(x)<0.

又因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以在(-8,-2)内恒有f(x)>0；在(-2,0)内恒有f(x)<0.

又不等式x2f(x)>0的解集，即不等式f(x)>0的解集.

所以答案为(-8,-2)U(0,2).

故选D.

点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征.

9.(2014•重庆三模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a*0),给出定义：设F(x)是函数y=f(x)的导数，f"

(x)是F(x)的导数，若方程『(x)=0有实数解x(),则称点(x(),f(x()))为函数y=f(x)的"拐点某同学

经过探究发现：任何一个三次函数都有"拐点"；任何一个三次函数都有对称中心，且"拐点"就是对称中心.设函数

g(x)--x2+3X-->则g(—-—)+g(——)+…+g(W)=()

3X2X12201382013g2013

A.2011B.2012C.2013D.2014

考点：导数的运算；函数的值；数列的求和.

专题：压轴题；导数的概念及应用.

分析：正确求出对称中心，利用对称中心的性质即可求出.

解答：解：由题意，g(x)=x2-x+3,.'.g(x)=2x-l,

令g（x）=0,解得x」，

x2

又g0)=1，・•・函数g(x)的对称中心为1）-

（需）+g（篇）=2g（^）二2,（__^―）+（±2UL）2,

・・gg§2013§g2013=

Ag+(-2-)+…+g(2012_X=20］2.

2013g、2013，gk2013

故选B.

点评：正确求出对称中心并掌握对称中心的性质是解题的关键.

10.(2014•上海二模)已知f(x)nalnx+L?(a>0),若对任意两个不等的正实数X1,X2，都有-----------------——

2X]-X2

>2恒成立，则a的取值范围是()

A.(0,I]B.(1,+8)C.(0,1)D.11,+8)

考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性.

专题：计算题；压轴题.

分析：f(x)-f(x)

先将条件"对任意两个不等的正实数XI,X2,都有■——--------二一>2恒成立"转换成当x>0时，f(X)

X1-x2

>2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可.

解答：f(X)-f(X)

解：对任意两个不等的正实数XI，X2,都有一---------二->2恒成立

X1"x2

则当x>0时，f(x)22恒成立

f(x)=3+xW2在(0,+8)上恒成立

x

2

则a>(2x-X)max=l

故选D.

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题.

11.(2012•桂林模拟)已知f(x)=]在(-8,+8)上是增函数，则

x3-(a-1)x+a2-3a-4(x<0)

实数a的取值范围是()

A.(一，1]B.[-1,4]C.[-1,1]D.(…，1)

考点：利用导数研究函数的单调性.

专题：计算题；压轴题.

分析：要是一个分段函数在实数上是一个增函数，需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，当x小

于0时，要使的函数是一个减函数，求导以后导函数横小于0,注意两个端点处的大小关系.

解答：解：•••要是一个分段函数在实数上是一个增函数.

需要两段都是增函数且两个函数的交点处要满足递增，

当x〈0时，y=3x2-(a-1)>0恒成立，

.'•a-1<3x2

Aa-l<0

••1，

当x=0时，a2-3a-4<0

/--l<a<4,

综上可知-ISaSl

故选C.

点评：本题考查函数的单调性，分段函数的单调性，解题的关键是在两个函数的分界处，两个函数的大小关系一

定要写清楚.

12.(2012•河北模拟)定义在[1,+8)上的函数f(x)满足：①f(2x)=cf(x)(c为正常数)；②当24x"时，

f(x)=1-(x-3)2,若函数f(x)的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于()

A.1B.2C.1或2D.4或2

考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用.

专题：计算题；压轴题.

分析：由已知可得分段函数f(x)的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定

的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案.

解答：解：当2Sx“时，f(x)=1-(x-3)2

当1SXV2时,2<2x<4,

则f(x)=lf(2x)=111-(2x-3)2]

cc

此时当x=5时，函数取极大值工

2c

当24x44时，f(x)=1-(x-3)2

此时当x=3时，函数取极大值I

当4<x«8时，2<lx"

2

贝ijf(x)=cf(L)=c(l-(.lx-3)2,

22

此时当x=6时，函数取极大值c

•••函数的所有极大值点均落在同一条直线上,

即点(心，工)，(3,1),(6,c)共线，

2c

3-6-3

3-2

解得c=l或2.

故选C

点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据己知分析出分段函数f(x)的解析式，进而求出三

个函数的极值点坐标，是解答本题的关键.

13.(2012•桂林模拟)设a€R,函数f(x)=eX+a・e'的导函数是「(x),且f(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的

一条切线的斜率是则切点的横坐标为()

2

A.In2B.-ln2C.ln2D._ln2

~Y~~2

考点：简单复合函数的导数.

专题：压轴题.

分析：已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，

我们可从奇函数入手求出切线的方程.

解答：解：

对f(x)=e'+a・e-*求导得

f(x)=e*-aex

又？(x)是奇函数，故

f(0)=1-a=0

解得a=l,故有

f(x)-ex,

设切点为(xo，yo),则

XX

f'(x0)=e°-e-°=|

得6*0=2或/°=-工(舍去)，

得x()=ln2.

点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0,则一定过原点.

14.(2012•太原模拟)已知定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，且x€(-叼0)时，f(x)

+xF(x)V0成立，(其中f\x)是f(x)的导函数)，a=(3°°)f(3°3),b=(logn3).faogQ,c=(lo§3-^)f(10g)

则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的乘法与除法法则.

专题：计算题；压轴题.

分析：由“当xE(-8,0)时不等式f(x)+xf(x)V0成立"知xf(x)是减函数，要得到a,b,c的大小关系，

只要比较3。.3,log-,log出的大小即可・

°9

解答：解：:•当xG(-8,o)时不等式f(x)+xf(x)<0成立

即：(xf(x))*<0,

，xf(x)在(-8,o)上是减函数.

又•.•函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，

二函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，

；・函数y=f(x)是定义在R上的奇函数

...xf(x)是定义在R上的偶函数

；.xf(x)在(0,+8)上是增函数.

又•:3°'，》log„3>0>log^-2，

3

2=-log3-1>3°->l>logn3>0.

303

•••(-10g3-1)-f(-10g3|)>3°-.f(3-)>(logn3).f(logn3)

303

即(log.-)-f(log.-)>3°-.f(3-)>(logn3)“(log”)

J9

即：c>a>b

故选C.

点评：本题考查的考点与方法有：1)所有的基本函数的奇偶性；2)抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思

想；3)导数的运算法则：(uv)/=u,v+uv,；4)指对数函数的图象；5)奇偶函数在对称区间上的单调性：奇

函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.本题结合已知构造出h(x)是正确

解答的关键所在.

15.(2012•广东模拟)已知f(x)为定义在(-8,+8)上的可导函数，且f(x)<f(x)对于x€R恒成立，且

e为自然对数的底，则()

A.f(1)>e»f(0).f(2012)>e2()12»f(0)B.f(1)<e*f(0),f(2012)>e2()l2«f(0)

C.f(1)>e«f(0),f(2012)<e2012«f(0)D.f(1)<e»f(0),f(2012)<e20l2»f(0)

考点：导数的运算.

专题:计算题；压轴题.

分析:

构造函数y=f°)的导数形式,并判断增减性，从而得到答案.

x

e

解答:

解：Vf(x)<f(x)从而f(x)-f(x)>0从而匚!^_(、x)-f3]>o

2x

e

即[f(x))>0)所以函数y=f(x)单调递增,

XJX

ee

故当x>0时，,⑹--f(0),整理得出f(x)>exf(0)

x0

ee

当x=l时f(1)>e*f(0),

当x=2012时f(2012)>e2(,l2»f(0).

故选A.

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力.

xz

16.(2012•无为县模拟)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足一-—--a,且？(x)g(x)<f(x)g(x),

g(x)

f

+一一?金若有穷数列，”(n€N*)的前n项和等于1则n等于()

g(1)g(-1)2g(n)32

A.4B.5C.6D.7

考点：导数的运算；数列的求和.

专题：压轴题.

分析：利用导数研究函数的单调性得到a的范围，再利用等比数列前n项和公式即可得出.

<63..「f(x)JfZ(x)g(x)-f(x)gZ(x)//、

解：•［——---］=-------------------------------------------------------，f(X)g(x)<f(x)g(x),

g(X)g2(x)

.rf(x)、，f'(x)g(x)-f(x)g(x)-HnN物f(X)田甲..

即函数一X一二又单倜递减，・・

••r-g(1x)」=----------------------g-2----(-x---)-----------------------<0,g(x)8.0<a<l

(1)f(-1)5an-15BnaJQ,解得a=2(舍去)或a」,

又g⑴7(-1)F即a+a下即

a22

:•土契_=(A)x,即数列马可Y)n是首项为@,二，公比qJ的等比数列，

g(x)2g(n)312口2

=L0)'

1-2

由1-(工)n/l解得产5,

232

故选B.

点评:熟练掌握导数研究函数的单调性、等比数列前n项和公式是解题的关键.

17.(2012・福建)函数六*)在m,可上有定义,若对任意*1r2€口,可，有£(±1卢)<l［f(Xj)+f(xp］

则称f(x)在［a,b］上具有性质P.设f(x)在［1,3］上具有性质P,现给出如下命题：

①f(x)在［1,3］上的图象是连续不断的；

0f(x2)在［1,我］上具有性质P；

③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,xe［l,3］；

④对任意XI，X2,X3,X44I,3］,有f(X止X.X』乂)《机(XI)+f(X2)+f(X3)+f(X4)］

其中真命题的序号是()

A.①②B.①③C.②④D.③④

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；抽象函数及其应用；函数的连续性.

专题：压轴题；新定义.

分析：根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的.

解答：(*

1K

解：在①中，反例：f(x)='l,x<3在"，3］上满足性质P,

2,x=3

但f(x)在［1,3］上不是连续函数，故①不成立；

在②中，反例：f(x)=-*在[1,3]上满足性质P,但f(X?)=-*2在[1,丁巨]上不满足性质P,

故②不成立；

在③中：在[1,3]±,f(2)=f('+-X))寺f(x)+f(4-x)]>

'f(x)+f(4-x)>2

•••.if(x)<f(x)max=f(2)=1，

f(4-x)<f(x)max=f(2)=1

故f(x)=1,

.•.对任意的xi，X2€[l,3],f(x)=1,

故③成立；

在④中，对任意X],X2，X3，X46[1,3],

)

后一X1+X2+X3+X4、i(X1+x2)+|(X3+x4、

有f——£_2_i)=f(±------------------±----------------)

42

1/X[+x?、/x+x、_

3r压(-2+f(324^)]

[-1(f(X[)+f(X2))+—(f(X3)+f(X4))]

=」f(X])+f(X2)+f(X3)+f(X4)],

故④成立.

故选D.

点评：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可.说明一个结论正确时，

要证明对所有的情况都成立.

18.(2013•文昌模拟)设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则|MN|的最小值为

()

A.1、B.1C.1、D.In3-1

z(l+ln3)^ln3尚z(17n3)

000

考点：利用导数求闭区间上函数的最值.

专题：计算题；压轴题.

分析：构造函数F(x)=f(x)-g(x),求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于

0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值.

解答：解：画图可以看到IMNI就是两条曲线间的垂直距离.

设F(x)=f(x)-g(x)=x3-Inx,

2

求导得：F'(x)=3X---

X

令F(x)>0得*>上；令F(x)<0得0<x<上，

病源

所以当x=」」寸，F(x)有最小值为F(近)=1+Jjn3=1

(l+ln3),

加3333

故选A

点评：求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值.

19.(2011•枣庄二模)设F(x)是函数f(x)的导函数，有下列命题：

①存在函数f(x),使函数y=f(x)-f(x)为偶函数：

②存在函数f(x)f(x)w0,使y=f(x)与y=F(x)的图象相同；

③存在函数f(x)f(x)#0使得y=f(x)与y=F(x)的图象关于x轴对称.

其中真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

考点：导数的运算；函数奇偶性的判断.

专题：计算题；压轴题.

分析：对于三个命题分别寻找满足条件的函数，三个函数分别是f(x)=0,f(x)=ex,f(x)=e\从而得到结

论.

解答：解：存在函数f(x)=0,使函数y=f(x)(x)=0为偶函数，故①正确

存在函数f(x)=ex,使y=f(x)与y=F(x)的图象相同，故②正确

存在函数f(x)=e“使得y=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称，故③正确.

故选D.

点评：本题主要考查了函数的奇偶性以及函数图象的对称性，解题的关键就是寻找满足条件的函数，属于基础题.

20.(2011•武昌区模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(-4)1,f(x)的导函数f(x)的图象如图所

示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则亘性的取值范围是()

b+2

C.(-1,10)D.(-8,-1)

考点：函数的单调性与导数的关系；斜率的计算公式.

专题：计算题；压轴题；数形结合.

分析：先由导函数f(x)是过原点的二次函数入手，再结合f(x)是定义域为R的奇函数求出f(x)；然后根据

a、b的约束条件画出可行域，最后利用总琢几何意义解决问题.

b+2

3

解答：解：由f(x)的导函数f(x)的图象，设f(x)=mx2,则f(x)=lmx+n.

Vf(x)是定义域为R的奇函数，(0)=0,即n=0.

又f(-4)=.lmx(-64)=-1,；.f(x)(义x.

3644

3

且f(a+2b)=(a±2b)<1,.”+2b<],即a+2b<4.

44

又a>0,b>0,则画出点(b,a)的可行域如下图所示.

而这可视为可行域内的点(b,a)与点M(-2,-2)连线的斜率.

b+2

又因为kAM=3，kBM=工，所以工＜包2＜3.

22b+2

故选B.

点评：数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到工二上的代数式要考虑点(X,

x-a

y)与点(a,b)连线的斜率.这都是由数到形的转化策略.

21.(2011•雅安三模)下列命题中：①函数，f(x)=sinx+__2_(xe(0,n))的最小值是2、历；②在△ABC中,

sinx

若sin2A=sin2B,则4ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a,b,c满足a+b＞c则」-+上＞上；④如

1+a1+b1+c

果y=f(x)是可导函数，则？(xo)=0是函数y=f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件.其中正确的命题是

()

A.①②③④B.①④C.②③④D.②③

考点：函数在某点取得极值的条件；不等关系与不等式；三角函数中的恒等变换应用.

专题：常规题型；压轴题.

分析：根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos(A+B)=0

或sin(A-B)=0,推断出A+B=&U=B,则三角形形状可判断出.构造函数y=1，根据函数的单调

21+x

性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错.

解"解：@f(x)=sinx+—2,^2A/2＞当sinx=加时取等号，而sinx的最大值是1,故不正确；

sinx

(2)Vsin2A=sin2B/.sin2A-sin2B=cos(A+B)sin(A-B)=0

Acos(A+B)=0或sin(A-B)=0；.A+B=2L^A=B

2

.•.三角形为直角三角形或等腰