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文档简介
山东省临沂市兰陵县第四中学2023-2024学年高考数学三模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.复数的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知与之间的一组数据:12343.24.87.5若关于的线性回归方程为,则的值为()A.1.5 B.2.5 C.3.5 D.4.53.下列函数中,在区间上为减函数的是()A. B. C. D.4.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()A.3 B.-3 C.2 D.-26.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若线段中点的横坐标为3,且,则抛物线的方程是()A. B. C. D.8.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.已知集合,则()A. B. C. D.10.已知向量,,则与共线的单位向量为()A. B.C.或 D.或11.在很多地铁的车厢里,顶部的扶手是一根漂亮的弯管,如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧,已知弯管向外的最大突出(图中)有,跨接了6个坐位的宽度(),每个座位宽度为,估计弯管的长度,下面的结果中最接近真实值的是()A. B. C. D.12.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆Г:,F1、F2是椭圆Г的左、右焦点,A为椭圆Г的上顶点,延长AF2交椭圆Г于点B,若为等腰三角形,则椭圆Г的离心率为___________.14.现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是________.15.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺,术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”,这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”,就是说:圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),则由此可推得圆周率的取值为________.16.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角所对的边分别为,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.18.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.(1)求矩阵;(2)求矩阵的特征值.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,.(1)求cosC;(2)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为,求sin∠ADB.20.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圆半径,求的周长.21.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和22.(10分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念,属于简单题.2、D【解析】
利用表格中的数据,可求解得到代入回归方程,可得,再结合表格数据,即得解.【详解】利用表格中数据,可得又,.解得故选:D【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.3、C【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性,进而可得出结果.【详解】对于A选项,函数在区间上为增函数;对于B选项,函数在区间上为增函数;对于C选项,函数在区间上为减函数;对于D选项,函数在区间上为增函数.故选:C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断,熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键,属于基础题.4、C【解析】
讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则不恒成立,不符合题意,若时,要使得恒成立,则,即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出是的充分条件;若,则推出是的必要条件.5、A【解析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【详解】,若,,在单调递增,且,在不存在零点;若,,在内有且只有一个零点,.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.6、D【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;【详解】函数在内都有两个不同的零点,等价于方程在内都有两个不同的根.,所以当时,,是增函数;当时,,是减函数.因此.设,,若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.设其解为,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.因为,方程在内有两个不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因为,所以,代入,得.设,,所以在上是增函数,而,由可得,得.由在上是增函数,得.综上所述,故选:D.【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题7、B【解析】
利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程.【详解】设抛物线的焦点为F,设点,由抛物线的定义可知,线段AB中点的横坐标为3,又,,可得,所以抛物线方程为.故选:B.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.8、A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.9、A【解析】
考虑既属于又属于的集合,即得.【详解】.故选:【点睛】本题考查集合的交运算,属于基础题.10、D【解析】
根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【详解】因为,,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得或所以与共线的单位向量为或.故选:D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.11、B【解析】
为弯管,为6个座位的宽度,利用勾股定理求出弧所在圆的半径为,从而可得弧所对的圆心角,再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示,为弯管,为6个座位的宽度,则设弧所在圆的半径为,则解得可以近似地认为,即于是,长所以是最接近的,其中选项A的长度比还小,不可能,因此只能选B,260或者由,所以弧长.故选:B【点睛】本题考查了弧长公式,需熟记公式,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.12、A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意可得等腰三角形的两条相等的边,设,由题可得的长,在三角形中,三角形中由余弦定理可得的值相等,可得的关系,从而求出椭圆的离心率【详解】如图,若为等腰三角形,则|BF1|=|AB|.设|BF2|=t,则|BF1|=2a−t,所以|AB|=a+t=|BF1|=2a−t,解得a=2t,即|AB|=|BF1|=3t,|AF1|=2t,设∠BAO=θ,则∠BAF1=2θ,所以Г的离心率e=,结合余弦定理,易得在中,,所以,即e==,故答案为:.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用,属于中档题.14、【解析】
由题意容积,求导研究单调性,分析即得解.【详解】由题意:容积,,则,由得或(舍去),令则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点,此时.故答案为:【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用,考查了学生数学建模,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.15、3【解析】
根据圆堡瑽(圆柱体)的体积为(底面圆的周长的平方高),可得,进而可求出的值【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知,解得.故答案为:3.【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.16、【解析】
设出两点的坐标,结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程,解方程求得的坐标.【详解】设,由于在抛物线上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化为,可得,所以,解得,则.所以.故答案为:【点睛】本题考查抛物线的方程和运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】(1)因为,所以.在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因为,所以.(2)由(1)得,在中,,所以.因为,所以,所以当,即时,有最大值1,所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算,是一道容易题.18、(1)(2)特征值为或.【解析】
(1)先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.(2)令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值.【详解】解:(1)设矩阵由题意,因为,所以,即所以,(2)矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或.【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.19、(1);(2).【解析】
(1)根据诱导公式和二倍角公式,将已知等式化为角关系式,求出,再由二倍角余弦公式,即可求解;(2)在中,根据面积公式求出长,根据余弦定理求出,由正弦定理求出,即可求出结论.【详解】(1),,;(2)在中,由(1)得,,由余弦定理得,,在中,,.【点睛】本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.20、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长.【详解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3.【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.21、(1);(2)【解析】
(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【详解】(1)可以化为,,,,又时,数列从开始成等差数列,,代入得是首项为,公差为的等差数列,,.(2)由(1)得,,,两式相减得,,.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.22、(1);(2)
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