导数的四则运算法则

第五章《一元函数的导数及其应用》导数的四则运算法则[核心素养·学习目标]课程标准课标解读1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．通过本节课的学习，要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.课前预习课前预习1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即.知识讲解知识讲解导数运算法则(1)fx拓展：fx记忆：函数的和差的导数等于函数导数的和差；(2)fx记忆：两函数积的导数等于“前导后不导+后导前不导”；特别：C∙fx证明[cf(x)](3)fx记忆：两函数商的导数等于“分母平分，子导母不导减母导子不导”.【大招总结】大招1初等函数求导【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与lnx”，“ax’与logax”，“sinx与cosx”的导数区别.大招2求切线方程【方法总结】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解。大招3在一点的切线方程【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤大招4过一点的切线方程【方法总结】过点“P”处的切线：(1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．(2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤①设切点为Q(x0，y0)；②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．典型例题典型例题【例1】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）；（2）；（3）.（4）；（5）.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）∵，∴.（5）∵，∴.【例2】设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【详解】因为f′(x)＝[(ax＋b)sinx]′＋[(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx．又因为f′(x)＝xcosx，所以解方程组，得因此f(x)的解析式为f(x)＝xsinx＋cosx．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关导数的计算，在求解过程中，熟记求导公式和导数的运算法则是正确解题的关键.【例3】设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为，求a，b的值．【答案】【详解】f′（x）=aex﹣，∴f′（2）=，∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=x，∴=，f（2）=+b=3，又a＞0，解得．【点睛】本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【例4】曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程．【答案】．【详解】由已知得点与点均在曲线C上，，由导数的几何意义得，，，解得：．所以曲线C的方程为：．【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．【例5】函数的导函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∴，∴为奇函数，故选：C.【例6】已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由题得切线的斜率为2，所以因为,所以“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的必要不充分条件.故答案为B强化训练强化训练一、单选题1．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】求导函数，当时，，∴曲线在点处的切线方程为：，即.故选：A.2．已知函数，则等于（

）A．1 B．1 C．2 D．0【答案】A【分析】根据导数的定义及导数的运算法则即可求解.【详解】由，得..故选：A.3．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据求导公式依次判断选项即可.【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，，故B正确.对选项C，，故C错误.对选项D，，故D错误.故选：B【点睛】本题主要考查导数的求导公式和求导法则，同时考查了符合函数的求导公式，属于简单题.4．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点处的函数值，即可求得答案.【详解】由得，故，而，故曲线在点处的切线方程为，即，故选：C.5．若函数，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，计算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=1,即可得答案．【详解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x4，∴f′（1）＝6,又，∴故选C．【点睛】本题考查求函数的导函数值，先求出导函数，给导函数中的x赋值是解题的关键．6．已知函数，其中为函数的导数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.【详解】，所以，，，函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因此，.故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.7．设,那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数乘积的导数运算法则即可求出．【详解】因为，所以．故选：B．8．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数的四则运算法则，求导即可得出答案.【详解】对于A项，因为，故A项错误；对于B项，因为，故B项错误；对于C项，因为，故C项错误；对于D项，因为，故D项正确.故选：D.二、多选题9．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．是奇函数【答案】AC【分析】对于A，直接求导判断，对于BC，通过计算判断，对于D，由奇偶函数的定义判断【详解】解：对于A，，所以A正确，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为，所以是偶函数，所以D错误，故选：AC10．下列求导数运算正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】直接根据导数的运算法则及求导公式求解即可.【详解】解：，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：AD.11．已知是函数的一条切线，则实数的值可以为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】ABD【分析】根据的切线过原点求得切点的横坐标，结合导数求得的可能取值.【详解】设是函数图象上的一点，，所以在点的切线方程为①，直线过原点，由①令得，，所以或，当时，，当时，，综上所述，的可能取值为.故选：ABD12．已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【答案】AB【分析】由可得是增函数，且对于任意，满足，所以关于对称，可得AB正确；利用指数函数值域易得函数的值域为，即C错误；令，整理可得，易知，可得，即方程无解，因此曲线不存在斜率为的切线，即D错误.【详解】根据题意可得，易知是减函数，所以是增函数，即A正确；由题意可得，所以，即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；由指数函数值域可得，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因为，即，所以，即，因此；即关于的一元二次方程无实数根；所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选：AB三、填空题13．函数的图象在点处切线的方程为.【答案】【分析】利用导数求得切线方程.【详解】切点为，，故切线方程为，即.故答案为：14．函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为【答案】【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为，由函数可得，因为函数有一条斜率为2的切线，所以，解得，所以切点坐标为，故答案为：.15．已知函数，则过点与曲线相切的直线有条.【答案】2【分析】先判断不在曲线上，求函数的导数，设切点为，根据导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，将点代入切线方程求出进而可以求出切线方程，得出结论．【详解】曲线方程为，点不在曲线上，设切点为，则点的坐标满足，由，得，由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为，故切线的方程为，因为点在切线上，所以联立得，解得或，故所求切线方程为或，则过点与曲线相切的直线有2条.故答案为：2.16．若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案.【详解】，设切点，则切线的斜率为，故切线方程为，取，代入，得，∵，∴有两个不等实根，故，解之，得或，故答案为：或四、解答题17．求下列函数的导数：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）【分析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则计算可得；【详解】解：（1）因为所以，即（2）因为所以，即18．求下列函数的导数．(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求导公式，计算即可得答案.（2）根据求导公式，结合四则运算法则，计算即可得答案.【详解】（1）（2）．19．已知是一次函数，，求的解析式．【答案】【分析】分析可知，函数为二次函数，可设，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数的解析式.【详解】由为一次函数可知为二次函数．设，则．所以，，即，所以，，解得，因此，.20．求下列函数的导数:(1)f(x)=(x+1)2(x1);

(2)f(x)=22s