空间直角坐标系课件高二上学期数学人教A版选择性

1.3空间向量及其运算的坐标表示空间直角坐标系第一章空间向量与立体几何1课前预习素养启迪1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做

,通过每两条坐标轴的平面叫做

,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.[问题1]空间直角坐标系的三个要素是什么?答案:原点、坐标轴方向、单位长度.坐标向量坐标平面2.空间直角坐标系中点的坐标横纵竖(x,y,z)[问题2]如果点P不在三个坐标平面内,如何确定它的坐标?答案:如图,过点P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点A,B,C.设交点A,B,C在x轴、y轴和z轴上的坐标分别代表唯一的实数x,y,z,将这三个实数按顺序排成一组(x,y,z),那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z).即得到点P的坐标.[问题3]给定一点P的坐标,即P(x,y,z),如何在空间直角坐标系下确定这个点?答案:给定点P(x,y,z),在x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为x,y,z的点A,B,C,过这三点分别作一个垂直于x轴、y轴和z轴的平面,则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x,y,z)所确定的点P.空间中的点P与有序实数组(x,y,z)之间可以建立一一对应关系.1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(

)A.y轴上 B.Oxy平面上C.Ozx平面上 D.第一象限内C解析:点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在Ozx平面上.2.已知点A(-2,3,4),则点A关于原点的对称点的坐标为(

)A.(2,3,4) B.(-2,-3,4)C.(-2,3,-4) D.(2,-3,-4)D解析:因为点A(-2,3,4),所以点A关于原点的对称点的坐标为(2,-3,-4).3.(多选题)关于点P(1,-1,2),下列说法正确的是(

)A.点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,-1,-2)B.点P关于x轴的对称点P2的坐标为(-1,-1,2)C.点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(-1,-1,2)D.点P关于y轴的对称点P4的坐标为(-1,-1,-2)ACD解析:求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标,其规律是“关于谁对称,谁不变”,如点(x,y,z)关于y轴的对称点为(-x,y,-z),关于平面Oyz的对称点是(-x,y,z),点(x,y,z)关于x轴的对称点为(x,-y,-z),关于平面Oxy的对称点是(x,y,-z),A选项,点P关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,-1,-2),故A正确;B选项,点P关于x轴的对称点P2的坐标为(1,1,-2),故B错误;C选项,点P关于Oyz平面的对称点P3的坐标为(-1,-1,2),故C正确;D选项,点P关于y轴的对称点P4的坐标为(-1,-1,-2),故D正确.4.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),则线段AB中点的坐标为

.

(4,0,-1)5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则向量a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k的坐标分别是

.

(3,2,-1),(-2,4,2)解析:因为{i,j,k}是单位正交基底,故根据空间向量坐标的概念知a=(3,2,-1),b=(-2,4,2).2课堂探究素养培育空间直角坐标系[例1]长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为AB=8,AD=3,AA′=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标.解:如图,以A为原点,分别以直线AB,AD,AA′为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则点A,B,C,D都在平面Axy内,因而其竖坐标z都为0,因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内.又AA′=5,所以这四点的竖坐标z都是5.又过A′,B′,C′,D′分别作Axy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y相同.因此A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).建系确定点的坐标的原则(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时,一般先找这一点在某一坐标平面的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.[针对训练]在空间直角坐标系中,描出下列各点:A(0,0,4),B(3,-3,0),C(1,2,3).解:根据坐标与点的对应关系,描出各点,如图所示.空间中点的对称问题[例2](1)点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy及x轴的对称点的坐标分别是

.

;解析:(1)如图所示,过A作AM⊥平面Oxy交平面于点M,并延长到C,使AM=CM,则A与C关于坐标平面Oxy对称且点C的坐标为(1,2,1).过A作AN⊥x轴于点N并延长到点B,使AN=NB,则A与B关于x轴对称且点B的坐标为(1,-2,1).所以点A(1,2,-1)关于坐标平面Oxy对称的点C的坐标为(1,2,1),点A(1,2,-1)关于x轴的对称点B的坐标为(1,-2,1).(1,2,1),(1,-2,1)(2)已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为

.

解析:(2)点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1).(2,-3,1)[针对训练]在空间直角坐标系中,点(2,-1,3)关于平面Ozx的对称点的坐标是(

)A.(-2,-1,-3) B.(2,1,-3)C.(-2,-1,3) D.(2,1,3)解析:点P(x0,y0,z0)关于平面Ozx的对称点Q的坐标为(x0,-y0,z0).故选D.求向量的坐标[例3]在长方体ABCD-A′B′C′D′中,已知AB=4,AD=2,AA′=4.(1)建立适当的空间直角坐标系,并求点C′的坐标;用坐标表示空间向量的步骤1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是(

)A.(1,0,0) B.(1,0,1)C.(1,1,1) D.(1,1,0)C解析:点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1).2.点A(0,-2,3)在空间直角坐标系中的位置是(

)A.在x轴上 B.在Oxy平面内C.在Oyz平面内 D.在Ozx平面内C解析:因为点A的横坐标为0,所以点A(0,-2,3)在Oyz平面内.3.(多选题)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下说法正确的是(

)ABD4.设{i,j,k}是单位正交基底,已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=