2016届《新步步高》高考数学大一轮总复习(人教A版-理科)配套课件-第十章-计数原理10.2

数学A〔理〕§10.2排列与组合第十章计数原理根底知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照

排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用

表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用

表示.所有不同组合3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)

n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(

)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(

)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)√××(

)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(

)√返回√(

)√题号答案解析1234

EnterCDA14∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).解析例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析先考虑甲的排法或先考虑中间位置排法.例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析解方法一(元素分析法)思维点拨解析例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析方法二(位置分析法)例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析方法三(等时机法)例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题思维点拨解析例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；题型一排列问题例1(2)甲、乙两人必须排在两端；思维点拨解析例1(2)甲、乙两人必须排在两端；先排特殊元素.思维点拨解析思维点拨解析解先排甲、乙，再排其余7人，例1(2)甲、乙两人必须排在两端；例1(3)男女相间.思维点拨解析思维升华插空法.例1(3)男女相间.思维点拨解析思维升华解(插空法)例1(3)男女相间.思维点拨解析思维升华此题集排列多种类型于一题，充分表达了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等时机法、插空法等常见的解题思路.例1(3)男女相间.思维点拨解析思维升华跟踪训练1由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？解不考虑0在首位，0,1,4,5先排三个位置，(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？题型二组合问题思维升华思维点拨解析可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.思维升华思维点拨解析例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？题型二组合问题思维升华思维点拨解析例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？题型二组合问题∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,那么先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,那么先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.思维升华思维点拨解析例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？题型二组合问题例2(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.思维升华思维点拨解析例2(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种.思维升华思维点拨解析例2(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,那么先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,那么先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.思维升华思维点拨解析例2(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？例2(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.思维升华思维点拨解析例2(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种.思维升华思维点拨解析例2(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,那么先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,那么先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.思维升华思维点拨解析例2(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？例2(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.例2(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析例2(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种.“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.例2(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.例2(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析例2(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法.例2(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.例2(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？思维升华思维点拨解析例2(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.思维升华思维点拨解析例2(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华思维点拨解析跟踪训练2从10位学生中选出5人参加数学竞赛.(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？解学生甲入选，再从剩下的9人选4人，(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？题型三排列与组合的综合

应用问题思维升华思维点拨解析例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思维升华思维点拨解析题型三排列与组合的综合

应用问题例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？解为保证“恰有1个盒不放球”，思维升华思维点拨解析题型三排列与组合的综合

应用问题例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，思维升华思维点拨解析题型三排列与组合的综合

应用问题例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.思维升华思维点拨解析题型三排列与组合的综合

应用问题例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.思维升华思维点拨解析题型三排列与组合的综合

应用问题例3

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？例3

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？思维升华解析例3

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？思维升华解析解

“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，例3

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？思维升华解析因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.例3

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？思维升华解析排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.例3

(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？思维升华解析其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空.思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.思维升华思维点拨解析例3

(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？跟踪训练3(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.假设每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，那么不同的放法共有()A.12种 B.18种 C.36种 D.54种B(2)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法种数是()A.72 B.120 C.144 D.168解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1,小品2,相声”,“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1,小品2”.同理，第三种情况也有36种安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.答案

B易

错

分

析解

析温馨提醒典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，假设从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种.易错警示系列16排列、组合问题计算重、漏致误易

错

分

析解

析温馨提醒上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复.解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，易

错

分

析解

析温馨提醒方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，答案

1136(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原那么，如特殊元素、位置优先原那么、先取后排原那么、先分组后分配原那么、正难那么反原那么等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.易

错

分

析解

析温馨提醒(2)“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.易

错

分

析解

析温馨提醒返回方法与技巧1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.方法与技巧2.排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；方法与技巧(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难那么反，等价条件.求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理做最后处理.失误与防范(2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决,分类标准应统一,防止出现重复或遗漏.失误与防范返回(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.2345678910123456789101.(2014·四川)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种12345678910所以共有120＋96＝216(种)方法.答案

B1345678910122.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(

)A.12种

B.10种

C.9种

D.8种34567891012由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种).答案

A456789101233.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数为()45678910123567891012344.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(

)A.36种

B.42种

C.48种

D.54种56789101234答案

B678910123455.如下图，要使电路接通，开关不同的开闭方式有()A.11种 B.20种 C.21种 D.12种67891012345所以共有14＋7＝21(种)方式.答案

C578910123466.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有___种.剩余A、B两人只有一种排法，607.(2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___.58910123467968.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为__.5910123467889.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有___种.510123467892410.有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？51234678910解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，51234678910那么选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：51234678910由分类加法计数原理，选派方法数共有6＋12＋8＋12＝38种.141516131211141516131211141516131211答案

D12.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有(

)A.12种

B.18种

C.24种

D.48种141516131211解析丙、丁不能相邻着舰，那么将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种.141516131211由分步乘法