导数及其应用 07 导数与三角函数 突破专项训练-2022届高三数学解答题

临澧一中2022届高三数学解答题突破专项训练导数及其应用07（导数与三角函数）1．已知函数，，．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，讨论的零点个数．2．已知，．（1）当时，求证：对任意，；（2）若是函数的极大值点，求的取值范围．3．已知函数，．（1）当时，求证：；（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．4．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在，上有两个极值点，求实数的取值范围．5．设函数，．（1）证明：当，时，；（2）判断函数在上的零点个数．6．已知函数，且函数与有相同的极值点．（1）求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．7．已知函数与．是自然对数的底数，（1）讨论关于的方程根的个数；（2）当，时，证明：．8．已知函数，，，．（1）当时，求证：；（2）若函数有两个零点，求的取值范围．9．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．10．已知函数，．（1）证明：当时，；（2）若，求．11．已知函数．（1）若，，证明：在区间内存在唯一零点；（2）若，，（ⅰ）证明：时，；（ⅱ）证明：（其中，且．12．函数．（1），求的单调区间；（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）令函数，求证：．参考答案1．（1）当时，，，．．当在区间，上变化时，，的变化如下表0000极大值极小值1极大值的单调增区间为，；的单调减区间为，．（2）任取，．，是偶函数．又．当时，在，上恒成立，，时，．在，上单调递增．又，在，上有0个零点．又是偶函数，在，上有0个零点．当时，令，得．由可知存在唯一使得．当，时，，递增；当，时，，递减．，，．①当，即时，在，上有0个零点．由是偶函数知在，上有0个零点．②当，即时，在，上有1个零点．由是偶函数知在，上有2个零点．综上，当时，有2个零点；当时，有0个零点．2．（1）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，所以对任意，，（2），令，的正负与的单调性有关，且，所以，令，所以，所以当，时，，当，时，，，所以，时，，所以在，上单调递增，，①当，即时，时，，，所以在上单调递增，又因为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增，不合题意，所以舍去，②当时，即，，使得在，恒为负，所以在，上成立，所以在，上单调递减，且，所以，时，，，单调递增，时，，，单调递减，所以在处取得极大值，所以，综上所述，的取值范围为．3．（1）令，，①当时，，因为，所以在，上单调递增，且，当时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，所以；②当时，则，所以．综上所述，当时，．（2）令，，则，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，下证当时，在，上恒成立，因为，令，只需证明在，上恒成立，①当时，，，因为在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以；②当时，．综上所述，实数的取值范围是，．4．（1）当时，，则，因为，所以当时，，即在此区间上单调递减，当时，，即在此区间上单调递增，所以的增区间为，减区间为；（2）设函数，令，则在，上有两个不同的零点，，故当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，又在，上有两个不同的零点，所以，即，解得，故实数的取值范围为．5．（1）证明：令，，在，上单调递增注意到，存在唯一的使且当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；注意到，，，．（2），，当时，，单调递减．，在上有一个零点当时，由（1）知，，无零点当时，令，且当时，，单调递增；当时，，单调递减．，当时，也无零点综上：在上有唯一的零点．6．（1）令，解得，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，故实数的值为1；（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，又，且，当时，（1），（3），①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，，又，此时的取值范围为；②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，，又，此时的取值范围为，综上，实数的取值范围为，，；（3）证明：所证不等式即为，下证：，即证，设，则，，易知函数在上单调递减，且，故存在唯一的，使得，即，，且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，，在单调递减，又时，，故，即；再证：，即证在上恒成立，设，，在单调递增，则，故，综上，，即得证．7．（1）令，，，当时，不满足当时，，，，，在区间上单调递增，又（1），在区间上单调递减，又，，根据零点定理，在上存在唯一零点．当，，，而，，，，在上单调递增，又（1），（e），根据零点定理，在上存在唯一零点，因此，根的个数为2个．（2）设，，，在，上单调递减，在，上单调递减，，所以，，要证明，仅需要证明，设，，当，，在该区间上单调递增，所以，，所以，，综上所述，当，时，．8．（1）当时，，则，，因为，，所以，，因此，所以在，上单调递增，于是，因此在，上单调递增，所以．（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，此时仅有1个零点，当时，因为，所以，，当，时，，单调递增，当，时，，因为，，所以，所以单调递增，又，，因此在，上存在唯一的零点，且．当时，，所以单调递减，当，时，，所以单调递增，又，，，因此在，上存在唯一的零点，且，，当时，，所以递减，当，时，，所以递增，又，，，所以在，上存在唯一零点，因此在，上有两个零点，综上，的取值范围是，．9．（1）的定义域为，，，令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；当时，单调递增，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递减，，单调递增；当时，单调递减，，单调递减．当，时，，，于是，单调递减，其中，．于是可得下表：000单调递减0单调递增大于0单调递减大于0单调递减小于0结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，当，时，，则恒成立，因此函数在，上无零点．综上，有且仅有2个零点．10．（1）∵，，，考虑到，，∴①当，时，，此时，②当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递减，，③当，时，，所以单调递增，所以，所以函数单调递增，，当，时，，综上所述，当时，．（2）构造函数，考虑到，，，，由（1）可知：在时恒成立，所以在，上单调递增，①若，则在，为负，为正，在，单调递减，递增，所以，而当时，，故满足题意．②若，，因为，所以，由零点存在定理，必存在，，使得，此时满足时，，单调递减，所以，矛盾，舍去，③若，，因为当时，，∴当时，，此时必存在，使得，此时满足，时，，递增，所以，矛盾，舍去，而当时，当，所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去．综上所述，．11．（1）若，，则，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又，在区间内存在唯一零点；（2）若，，则，（ⅰ），令，易知在上单调递增，，即，在上单调递减，，即得证；（ⅱ）当，时，，又，故，则，由（ⅰ）知，时，，令，，，，以上各式相加得，，即，即，即得证．12．（1），，，当，时，，当，时，，所以的单调递增区间是，，的单调递减区间是，．（2）不等式恒成立等价于，令，则由，可得