第一章 三角形的证明（单元小结）-2023-2024学年八年级数学下册北师大版

单元复习数学（北师大版）第一章三角形的证明要点梳理一、等腰三角形的性质及判定

1.定理:等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角

）

（一）等腰三角形的性质CBA符号语言：

∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C2.推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重（三线合一）CBAD12要点梳理（二）等腰三角形的判定方法ABCCBA几何语言:在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；在△ABC中，

∠B=∠C，∴AB=AC（△ABC是等腰三角形）①

定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形②定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）要点梳理二、等边三角形的性质及判定性质：1.具有等腰三角形的一切性质；2.等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都等于60°CBA（一）等边三角形的性质等腰三角形等边三角形边两边相等三边相等角两角相等三角相等（60°）轴对称一条(三线合一)三条(三线合一)性质等边对等角内角都相等要点梳理判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．符号语言：∵在△ABC中，∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．CAB判定定理2:有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形∵在△ABC中,BC=AC,∠C=60°(或∠A=60°)∴△ABC是等边三角形．定义法：三边相等的三角形是等边三角形.（二）等边三角形的判定方法CAB要点梳理1.定理：有两个角互余的三角形是直角三角形（二）直角三角形的判定ABC要点梳理2.勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言：∵在△ABC中,AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.acbABC要点梳理3.定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”表示）几何语言:∵在△ABC和△A′B′C中,

∠C=∠C′=900BC=B′C′,AB=A′B′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）ABCA′B′C′“HL”是直角三角形所独有的判定三角形全等的定理，直角三角形全等的判定,除了“HL”外,还可用SAS，ASA，SSS，AAS.要点梳理四、垂直平分线的性质及判定（一）线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.ACBPMN符号语言：∵直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点.（P是线段AB垂直平分线上的一点）∴PA=PB.要点梳理ABCPabc符号语言：∵如图,在△ABC中,a,b,c分别是AB,BC,AC的垂直平分线;∴a,b,c相交于一点P,

且PA=PB=PC称点P为三角形的外心三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。要点梳理几何语言描述：∵如图,PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上ABP（二）线段垂直平分线的判定定理

应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点梳理五、角平分线的性质及判定应用:常用来证明两条线段相等符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,（角平分线）P是OC上任意一点，

（角平分线上的点）

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.（垂直距离）

∴PD=PE（一）角平分线的性质定理三个条件缺一不可角平分线上的点到这个角的两边距离相等要点梳理B

C

P

E

DF定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.符号语言：∵如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F∴∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.A

要点梳理几何语言：∵点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,PD=PE,∴点P在∠AOB的平分线上（二）角平分线的判定定理

应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.考点专练考点一等腰（等边）三角形的性质与判定例1如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点专练ABCD))12E证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.考点专练考点二直角三角形例2

在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b＝4，求BD的长．解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，则在Rt△ABC中，由勾股定理，得又∵S△ABC＝b•BD＝ac，考点专练例3已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，

c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，

从而a2＋b2＝c2，

故可以判定△ABC是直角三角形．考点专练考点三线段的垂直平分线解：∵AD

是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD.∵点C在AE

的垂直平分线上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例4

如图，AD是BC的垂直平分线，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE考点专练例5如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE

≌Rt△CDF.考点四角平分线的性质与判定二、等边三角形的性质及判定1.性质⑴定义;⑵等边三角形的三个内角都等于60°;⑶是轴对称图形；⑷有3个“三线合一”.(5)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.类比等腰三角形2.判定⑴定义.⑵三个角都相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形性质定理

直角三角形的两个锐角______.互余判定定理

有两个角______的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形D

勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，.

四、勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的

.即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c

，那么一定有

.平方

注意：只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时注意区分直角边和斜边．a2＋b2＝c2勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足：a2＋b2＝

，那么这个三角形是直角三角形．到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)三角形中有一个角是

；(2)三角形中有两边互相

；(3)用勾股定理的逆定理．直角直角垂直c2方程思想1．互逆命题在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的

，和

，那么这两个命题叫做互逆命题．2．逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成

，并将结论改成

，便可以得到原命题的逆命题．结论条件结论条件五、逆命题和互逆命题3．逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的

定理．[注意]每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理．逆A1.性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.3.六、线段的垂直平分线基本尺规作图(1)过已知点作已知直线的

；(2)作已知线段的垂直

线．垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.A1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.七、角平分线的性质与判定拓展延申数学思想方法1.分类讨论思想5或6【例2】

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将