正切函数的图象和性质

正切函数的图象和性质1在直角坐标系中，如图，如果满足：yo的终边P(a,b)MxA1α∈R,那么角α的终边与单位圆交于点P（x,y)，唯一确定的比值.根据函数的定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作:其中α∈R,根据正切函数与正弦函数、余弦函数的的定义，不难看出：（α∈R,）由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数,我们统称它们为三角函数.1.正切函数的定义图12三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MPyxxO-1

PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT余弦线OM正切线AT3三角函数线yxo

MPA(1,0)TMP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxo

MPATyxoMPATyxoPMAT4α在第

象限时，tanα>0α在第

象限时，tanα<0一、三二、四思考5由于3.正切函数的周期所以

是正切函数的周期.是它的最小正周期.p6回顾探究用正弦线作正弦函数图象第一步：画出正弦函数在一个周期内的图像1、选择一个周期3、方法：平移正弦线4、用光滑的曲线连接正弦线的交叉点2、利用单位圆，作正弦线,把单位圆分成若干(12)等分71-1yox第二步：将图像拓展到整个定义域内8-1100’作法:2、利用单位圆作正切线3、平移正切线4、用光滑的曲线连接正切线的交叉点把单位圆右半圆分成8等份。，，，，，，，，，，AT1、选择一个周期画一个周期内正切函数图像类比、实践，展示成果9渐近线渐近线得到正切函数的图象，并把它叫做正切曲线根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右平移，（每次平移个单位长度)···三点两线作一个周期图象，然后有周期性左右平移得到整个定义域内的图象正切曲线被无穷多支相互平行的直线隔开的无穷多支形状相同曲线组成的10Oπ/2-π/2-3π/23π/2π-πyx-π/4π/41-1正切曲线简图的画法：“三点两线法”11探究互动⑷奇偶性：奇函数，⑵值域：⑶周期性：R(6)单调性：⑴定义域：},2|{ZkkxxÎ+¹pp

在每一个开区间

上是增函数正切函数y=tanx的性质P(x,y)·P′(-x,-y)

·图象关于原点对称。(5)对称性：无对称轴对称中心：0xy(7)渐近线方程：12例1：不求值比较下列各组两个正切值的大小又∵

内单调递增比较两个正切值大小，在同一单调区间内，利用单调递增性解决。巩固应用xy013把相应的角化到的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。解:∵∴即又∵内单调递增14巩固提高比较下列各组两个正切值的大小15xy画函数的图像，并通过图像讨论其的性质动手实践：16例题分析解:值域:R例2.17求（1）定义域：（2）单调区间：有减区间吗？xy0变式提高18例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。（1）tanx>0（2）tanx<1（k，k+/2）kz（k–/2，k+/4）kzxy0–/2/2–/2xy01/2–/2/419解：0yx解法1解法2例４例题分析20解：解法1解法2例题分析例４yxTA0212、求满足下列式子的取值范围：

变式提高xy0·22求函数的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性；提高练习答案:23练：求函数的定义域

小结：注意正切函数y=tanx自身的定义域。24解：0yx例1.（2）求函数的定义域25例3

求下列的单调区间：这个题目应该注意什么26例4

求下列函数的周期：由上面两例，你能得到函数y=Atan(ωx+Ф)的周期吗（提示：利用正切函数的最小正周期来解）27小结：正切函数的图像和性质2、性质:⑷奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。⑶周期性：⑵值域：R(5)单调性：xyo⑴定义域：},2|{ZkkxxÎ+¹pp

在每一个开区间

上是增函数1

、正切函数