江苏省淮安市洪泽县第二中学高三数学理期末试题含解析

江苏省淮安市洪泽县第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是(

)A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=﹣﹣x3参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．故选：A．【点评】本题主要考查了识图能力，数形结合的思想，属于基础题2.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C集合，，则.故选C.

3.已知m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题中是真命题的是（）A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m⊥n，则n∥α D．若m⊥α，n⊥m，则n∥α参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，m∥n，则n∥α或n?α，假命题；对于B，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质，可得m∥n，真命题；对于C，若m∥α，m⊥n，则n与α位置关系不确定，假命题；对于D，若m⊥α，n⊥m，则n∥α或n?α，假命题，故选：B．4.如图,,点在线段的延长线上,分别为的边上的点.若与共线,与共线,则的值为A． B．0 C．1 D．2参考答案：B略5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：C略6.函数在区间[－3,3]的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（

）

A、11

B、10

C、9

D、8

参考答案：B略8.已知a=log0.34，b=log43，c=0.3﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log0.34＜0，0＜b=log43＜1，c=0.3﹣2＞0.30=1，∴a＜b＜c．故选：D．9.在△ABC中，A、B、C为其三内角，满足tanA、tanB、tanC都是整数，且，则下列结论中错误的是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先判断出A、B、C均为锐角，根据tanA、tanB、tanC都是整数，求得tanA、tanB、tanC的值，进而判断出结论错误的选项.【详解】由于，所以B、C都是锐角，又tanB、tanC都是正整数，这样，可见A也是锐角.这时，，，.有，即.但是，，比较可知只可能，，.由可知，选项B是正确的.至于选项C和D，由，可知，又，故选项C正确；又由，选项D正确、A选项错误.故选：A.【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查三角形内角和定理，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.10.已知函数f（x）＝｜x＋｜－｜x－｜，若关于x的方程f（x）＝2m有四个不同的实根，则实数m的取值范围是A．（0，2）

B．（2，＋∞）

C．（1，＋∞）

D．（0，1）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若，则的取值范围是：

.参考答案：12.如右图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为，高为，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记，梯形面积为．则关于的函数解析式及定义域为

．参考答案：，13.ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量＝（a＋b，sinC），

＝（a＋c，sinB－sinA），若∥，则角B的大小为_____________．

参考答案：略14.若函数的图像为C，则下列结论中正确的序号是__________．①图像C关于直线对称；②图像C关于点对称；③函数f(x)在区间内不是单调的函数；④由的图像向右平移个单位长度可以得到图像C．参考答案：①②对于①：若函数的对称轴方程为，当时，，故①正确；对于②，若函数的对称中心为，当时，对称中心为，故②正确；对于③，函数的递增区间为，所以函数在区间单调递增，故③错；对于④，的图像向右平移个单位长度后得到的函数解析式为，故④错．所以应填①②．15.定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为．参考答案：30【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求出函数周期，并求得方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．然后结合中点坐标公式求得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．当0＜x≤1时，f（x）=log3x≤0，当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），则f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．=﹣＜0．∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．故答案为：30．16.函数的单调递减区间是__________.参考答案：（0，+∞）略17.设函数f（x）=，g（x）=，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数分离法将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值，利用导数法求出函数g（x）的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）=，则的最大值为=，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．参考答案：【考点】不等式的证明；基本不等式．【专题】选作题；不等式．【分析】（Ⅰ）利用f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2求函数f（x）的最小值m；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|≥|x﹣5+3﹣x|=2，…（2分）当且仅当x∈[3，5]时取最小值2，…（3分）∴m=2．…（4分）（Ⅱ）证明：∵（+）[]≥（）2=3，∴（+）×≥（）2，∴+≥2．…（7分）【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．19.已知平面四边形MNPQ中，MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM．（Ⅰ）若PQ＝，求NQ的值；（Ⅱ）若∠MQN＝30°，求sin∠QMP的值．参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由题意可得∠QMN＝150，根据余弦定即可求出，（Ⅱ）∠QMP＝θ，由题意可得QM，∠MNQ，在△MNQ中，由正弦定理结合三角恒等变换整理可得tanθ，再根据同角三角函数的基本关系，即可求出【详解】解：（Ⅰ）如图：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM，∴PQ＝＝，∴sin∠QMP＝＝，∴∠QMP＝60°，∴QM＝PM＝，∴∠QMN＝150°，由余弦定理可得NQ2＝QM2+MN2﹣2MN?QM?cos∠QMN＝+3﹣2×××（﹣）＝，∴NQ＝，（2）：∵MN＝，MP＝1，MP⊥MN，PQ⊥QM设∠QMP＝θ，由题意可得QM＝cosθ，∠MNQ＝60°﹣θ，在△MNQ中，由正弦定理可得＝，即＝2，整理可得tanθ＝，∵sin2θ+cos2θ＝1，∴sinθ＝，故sin∠QMP＝．【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及正弦定理余弦定理的应用.20.（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．（I）当k=e时，求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值．参考答案：【考点】：函数恒成立问题．【专题】：计算题；综合题；探究型；分类讨论．【分析】：（Ⅰ）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．解：（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），h（x）=lnx﹣，当k=e时，，若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，故h（x）min=h（e）=2﹣e，故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2﹣e，无极大值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，故只需h（x）min=h（k）=lnk﹣k+1≥0．令u（x）=lnx﹣x+1（x＞0），，当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．【点评】：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用函数的导函数判断函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，是有一定难度题目．21.（14分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值．参考答案：解析：（1）设椭圆C的方程为，

抛物线方程化为，其焦点为，

椭圆C的一个顶点为，即，……………3分

由，得，

∴椭圆C的方程为．……………………6分

（2）由（1）得，…………7分设

，，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，并整理得，

………9分∴．………10分又，

，由，，得，，∴，

………………12分∴．

………………14分

22.由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A、B两个地区的100名观众，得到如下的2×2列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是B地区当中“非常满意”的观众的概率为0.35.

非常满意满意合计A3015

Bxy

合计

（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”的、地区的人数各是多少.0.0500.0100.0013.8416.63510.828

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为X，求X的分布列和期望.附：参考公式：.参考答案：（1）A抽6人，B抽取7人；（2）没有的把