福建省宁德市南阳寿宁县高级中学高三数学理联考试题含解析

福建省宁德市南阳寿宁县高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，则D（2，1），设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=，∴y=，∴S===，∴向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是=，故选：D．2.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－∞，＋∞)参考答案：B3.在等差数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=4，则公差d的值为(

) A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1参考答案：D考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：已知两式相减可得d的方程，解方程可得．解答： 解：∵在等差数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=4，∴两式相减可得（a4+a6）﹣（a1+a3）=6d=4﹣10=﹣6，解得d=﹣1故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4.已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0且a≠1）对?x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，]∪（1，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，转化为loga≤loga，分类讨论即可．【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x∴f（﹣x）=﹣f（x），设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣x，∴f（x）=x2+x，∵不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，∴x2+x﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，∴x2≤logax2，∴（）2≤loga（）2，∴loga=≤loga，当a＞1时，≤，解得a≤，此时无解，当0＜a＜1时，≥，解得a≥，此时≤a＜1，综上所述a的取值范围为[，1）．故选：B．5.定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A.

B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）

D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：6.设函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C． D．参考答案：C试题分析：因,故,应选C.考点：导数及运用．7.已知点P在直线x=﹣1上移动，过点P作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=1的切线，相切于点Q，则切线长|PQ|的最小值为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心（2，2）到直线x=﹣1的距离为d=3＞r=1，可得直线和圆相离．再根据切线长|PQ|的最小值为，运算求得结果．【解答】解：圆心（2，2）到直线x=﹣1的距离为d=3＞r=1，故直线和圆相离．故切线长|PQ|的最小值为=2，故选：B．8.数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n

≥1），则a6=（A）3×

44

（B）3×

44+1

（C）44

（D）44+1参考答案：A由an+1=3Sn，得an=3Sn－1（n

≥

2），相减得an+1－an=3(Sn－Sn－1)=3an，则an+1=4an（n

≥

2），a1=1，a2=3，则a6=a2·44=3×44，选A．9.函数的导数为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A函数,求导得:,故选

10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（

）A．46,45

B．45,46

C．46,47

D．47,45参考答案：A由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).参考答案：略12.在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos=，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为14分）解：∵cos=，∴cosC=2cos2﹣1=2（）2﹣1=；…∵acosB+bcosA=2，∴a×+b×=2，∴c=2，…∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab，∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立）…由cosC=，得sinC=…∴S△ABC=absinC≤××=，故△ABC的面积最大值为…13.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域

的面积等于2，则的值为_____________.参考答案：3略14.（5分）已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为弧AB的中点，点D、E分别在半径OA、OB上．若CD2+CE2+DE2=，则OD+OE的最大值是．参考答案：【考点】：向量在几何中的应用；余弦定理．【专题】：计算题．【分析】：设OD=a且OE=b，由余弦定理加以计算，可得CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=，配方整理得3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣，结合基本不等式建立不等关系，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，最后以a+b为单位解一元二次不等式，即可得到OD+OE的最大值．解：设OD=a，OE=b，由余弦定理，得CD2=CO2+DO2﹣2CO?DOcos60°=a2﹣a+1．同理可得CE2=b2﹣b+1，DE2=a2+ab+b2从而得到CD2+CE2+DE2=2（a2+b2）﹣（a+b）+ab+2=∴2（a2+b2）﹣（a+b）+ab﹣=0，配方得2（a+b）2﹣（a+b）﹣3ab﹣=0，即3ab=2（a+b）2﹣（a+b）﹣…（*）又∵ab≤[（a+b）]2=（a+b）2，∴3ab≤（a+b）2，代入（*）式，得2（a+b）2﹣（a+b）﹣≤（a+b）2，设a+b=m，代入上式有2m2﹣m﹣≤m2，即m2﹣m﹣≤0，得到﹣≤m≤，∴m最大值为，即OD+OE的最大值是．【点评】：本题给出扇形AOB的中心角为120°，弧AB中点为C，半径OA、OB上的点D、E满足CD2+CE2+DE2=时，求OD+OE的最大值．着重考查了余弦定理、用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．15.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果的值是

参考答案：7

略16.已知则等于___________

参考答案：17.在平面直角坐标系xOy中已知△ABC的顶点B在双曲线的左支上，顶点A、C为双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率等于_____参考答案：答案:

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知数列，当时满足， （1）求该数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和．参考答案：（1）当时，，则， 作差得：，． 又， 知，， 是首项为，公比为的等比数列， ． （2）由（1）得：， ， ， ，

．19.是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．

（Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。参考答案：．

略20.已知函数（1）求的值域；（2）若解不等式参考答案：（1）的值域为

（2）时，

时，

时，

略21.已知．（1）解关于的不等式；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．参考答