广西示范性高中2023-2024学年高一下学期3月调研测试数学试卷（含答案解析）

2024年广西示范性高中高一3月调研测试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，可得，又由，所以.故选：B.2.在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由，可得成立，即必要性成立；反之：若，可得或，即充分性不成立，所以是的必要不充分条件．故选：B．3.函数且的图象恒过定点，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令上的指数为0即可得到答案.【详解】对于函数，令，可得，则，所以，函数且的图象恒过定点坐标为．故选：A4.命题“”的否定是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可.【详解】命题“”为全称量词命题，其否定是“”．故选：D5.若函数是定义在上的偶函数，则（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，列出方程，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称，可得，所以，由，可得，解得，所以．故选：A6.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由对数函数、指数函数以及正弦函数单调性即可得解.【详解】因为，而，所以，所以.故选：C.7.已知，且，则的最小值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：C．8.已知函数，则（）A.2020 B.2021 C.2022 D.2023【答案】D【解析】【分析】依题意可得，再倒序相加即可得解.【详解】因为，所以，所以．所以．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是实数，则下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质以及特殊值检验求解.【详解】对于选项，当时，，故A错误；对于选项B，当时，两边同乘得，则B正确；对于选项，当，则，显然成立，则C正确；对于选项，若，当，所以，则D错误．故选：.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.点是图象的一个对称中心D.函数在区间上单调递减【答案】AC【解析】【分析】根据函数的图象读取周期信息即得A项，根据周期确定值，根据图象经过的点确定，推得函数解析式，对于B,C,D项只需将看成整体角，结合正弦函数的图象逐一验证其对称性和单调性等性质即得.【详解】设的最小正周期为，由图象可知，解得，故A选项正确；因为，所以，解得，如图可知：，故．将代入解析式得，因为，则，得，故．当时，，则点是函数的对称中心，即直线不是其对称轴，故B选项错误；当时，，则点是函数的对称中心，故C选项正确；因当时，取，而在上单调递增，故在区间上单调递增，故D选项错误．故选：AC．11.已知函数，若方程有四个不同的零点，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】在同一个平面直角坐标系内作和的图象，结合图象可判断A，由图可知，且、，再结合各选项一一判断即可.【详解】如图所示，在同一个平面直角坐标系内作和的图象，从图象可知：要使方程有四个不同的零点，只需，选项A错误；对于B，因为，，，且函数关于对称，由图可得，且，，所以，所以，则，所以令，当且仅当时取最小值，所以，故B正确；对于C，是的两根，所以，即，所以，所以；由是的两根，所以，所以，即不成立，故C错误；对于D，由得令，函数在在上单调递增，所以，即，故D正确．故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数是幂函数，则______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得.【详解】因为函数是幂函数，所以，解得，，.故答案：13.已知扇形的圆心角为，其周长是，则该扇形的面积是______．【答案】2【解析】【分析】根据扇形的弧长和面积公式，即可求解.【详解】设扇形半径为，弧长为，因为扇形的圆心角为，其周长是，所以，解得：，所以该扇形的面积．故答案为：214.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_________.【答案】【解析】【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，由为奇函数，可得（1），结合（3），可求得，的值，从而得到，时，的解析式，再利用周期性和奇偶性推导出，进一步求出的值．【详解】为奇函数，（1），且，偶函数，，，即，．令，则，，．当，时，．（2），（3）（1），又（3），，解得，（1），，当，时，，．故答案为：．【点睛】关键点点睛：关键是利用条件推导出函数的奇偶性与周期性，再求值．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.化简，求值（1）；（2）若求的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用分数指数幂和对数运算性质化简计算即得；（2）利用诱导公式化简，再运用同角的三角函数基本关系式即可求得.【小问1详解】；【小问2详解】.当时，原式．16.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（1）；（2）和．【解析】【分析】（1）当时，，时，由即可得解；（2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可.【小问1详解】依题意，函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，又是奇函数，，∴的解析式为．【小问2详解】依题意可知当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，，所以在区间上的最小值和最大值分别为和．17.已知函数，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）把的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值为3，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由正弦型函数的周期公式可得其周期，将看成整体角，利用正弦函数的单调区间解不等式即得；（2）根据平移变换求出，取，由求得，作出函数在区间上的图象，须使解之即得.【小问1详解】的最小正周期．由得的单调递增区间是【小问2详解】把的图象向右平移个单位得到，再向上平移2个单位长度，得到的图象.由，得，取，则，因为在区间上的最大值为3，所以在区间上的最大值为1.作出在区间上的图象，可知须使，即，所以的取值范围为．18.已知函数是定义在R上的偶函数．（1）求的值，并证明函数在上单调递增；（2）求函数的值域．【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由偶函数的定义即可得关于的恒等式，由此即可求得，根据单调性的定义证明即可；（2）通过换元法，结合指数函数、对勾函数性质即可将原问题转换为闭区间上的二次函数最值，由此即可得解.【小问1详解】因为函数在R上为偶函数，所以，解得恒成立，即．所以，对任意的，因为，所以在区间上是单调递增函数．【小问2详解】函数．令，因为，所以，所以，令，故函数在单调递增，当时，；当时，．则函数的值域为．19.已知函数，(1)判断的奇偶性并证明；(2)令①判断在的单调性（不必说明理由）；②是否存在，使得在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）①单调递减，②【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义，即可证出．(2)①求出，由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减；②根据在上单调递减，可以得到，然后转化得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在上有两个交点，观察图象，可求出的取值范围．【