同济高等数学第七版第5章习题解答

PAGEPAGE279教材习题同步解析习题5-14.利用定积分的几何意义，求下列积分：解根据定积分的几何意义，定积分表示由直线、及轴所围成的直角三角形的面积，故有根据定积分的几何意义，定积分表示由上半圆周以及轴围成的半圆的面积，故有8.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力.已知闸门上水的压强与水深存在函数关系，且有若闸门高宽，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力解在区间上插入个分点取并记得到闸门所受的水压力的近似值为根据定积分的定义可知闸门所受的水压力为由于被积函数连续，因此积分值与积分区间的分法和的取法无关.为方便计算，对区间进行等分，则取于是故10.估计下列各积分的值：分析求出被积函数在积分区间上的最大、最小值.解在区间上，因此有在区间上，函数是单调增加的，因此即故有11.设在上连续，证明证明记则由定积分性质，得即由此结论成立.12.设及在上连续，证明若在上，，且，则若在上，，且，则在上，若在上，，且，则在上，证明由条件知，存在使得由函数在连续可知，存在使得当时因此有由定积分的性质得到：故得结论用反证法假设在上，则由上面结论(1)知,这与假设矛盾，所以在上，.令，则在上，，且，由上面的结论(2)知，，即在上，.13.根据定积分的性质及第题的结论，说明下列各对积分哪一个值较大：还是?还是?分析根据定积分的性质,比较同一个积分区间上的两个定积分的大小可转化为比较两个被积函数的大小.解在区间上且，因此比大.由于当时，故此时有因此比大.习题5-22.求由参数表达式所确定的函数对的导数解3.求由所确定的隐函数对的导数解方程两边分别对求导，得故注意：解这类题目的方法有两种.第一种是先将隐函数显化，然后再求导数，但是对于多数情况隐函数的显化非常复杂，所以这种方法的局限性较大.第二种方法是方程两边直接分别对求导，此法需要注意的是在求导时，应把看作的函数.4.当为何值时，函数有极值.解令，得当时当时故时，函数有极小值.5.计算下列各导数:解.注意:式中是连续函数，皆可微.6.证明在上是单调增加函数，并求证当时,在上是单调增加函数.当时7.设具有三阶连续导数，的图形如图所示.问下列积分中的哪一个积分值为负？;解由定积分的几何意义知故选8.计算下列各积分:，其中解注意被积函数出现根式、绝对值、分段函数等形式时,首先去掉根式、绝对值记号或分段记号，这时特别要注意被积函数在不同区间上的正负号或不同表达式，以免导致错误.10.设且证明:证其中由上一题知11.求下列极限:解12．设求在上的表达式，并讨论在内的连续性.分析由于的定义域被分成两段，故的表达式也要相应地分成两段来讨论.解当时，；当时，=+.所以,在内连续.13．设,求在内的表达式.分析由于的定义域被分成三段，故的表达式也要相应地分成三段来讨论.解当时，；当时，；当时，=+所以14.设在上连续，在内可导，且，，证明在内有.证方法一(因为所以)方法二(因为所以)15.设,求解16.设在内连续，且.证明函数满足方程，并求.证,所以满足方程.由,存在当时,有.因此.故当时,,由洛必达法则习题5-31.计算下列定积分:;;.解令则因此由于被积函数是奇函数,因此由于被积函数是偶函数,因此由于被积函数是偶函数,因此由于被积函数是奇函数,因此由于是以为周期的周期函数,因此上式注意换元积分中，新的变量不写出，则上、下限不能变；新的变量一旦写出，则上、下限一定要变.3.证明：.分析本题由上、下限易看出所作的变量代换为.证令，则4.证明：证令则5.设在上连续，证明：证令，则因此由教材本节例知因此结论成立.6.若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数.分析记，要证明是偶函数，只要证,即（所需变换由上、下限易看出）.证记，则若为奇函数，则所以是偶函数；若为偶函数,则所以是奇函数.7.计算下列定积分:解.所以所以令，则所以由教材本节的例6(2),可得：.从而.又当时,习题5-41.判定下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值:解..为暇点，,即为暇点，由于即反常积分发散，所以反常积分发散.常见错解.错误原因忽略是的无穷间断点，而把它误认为定积分来计算，结果是错误的.为暇点，2.当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，这反常积分发散？又当为何值时，这反常积分取得最小值？.解当时，当时，故当时，反常积分发散；当时，反常积分收敛.收敛时反常积分的值为则，令，得唯一的驻点.当时，;当时，，所以当时，最小.3.利用递推公式计算反常积分.解时，；时，由洛必达法则：.因而，故.4.计算反常积分解总习题五1.填空函数在上有界是在上可积的条件,而在上连续是在上可积的条件;对上非负连续的函数,它的变上限积分在上有界是反常积分收敛的条件;函数在上有定义且在上可积,此时积分存在.设函数连续，则.解必要,充分.充分必要.不一定.，所以原式2.以下两题中给出了四个结论,从中选出一个正确的结论：设则估计值的大致范围为设是连续函数的一个原函数，则必有是偶函数是奇函数是奇函数是偶函数是周期函数是周期函数是单调函数是单调函数解当时，所以即故选，是偶函数是奇函数.故正确；如偶函数它的一个原函数非奇非偶.故错误；如周期函数，它的一个原函数不是周期函数.故错误；如单调函数，它的一个原函数不是单调函数.故错误.3.回答下列问题:设函数及在区间上连续,且那么在几何上表示什么?设函数在区间上连续,且那么在几何上表示什么?如果在时刻以的流量(单位时间内流过的流体的体积或质量)向以水池注水,那么表示什么?如果某国人口增长的速率为那么表示什么?如果一公司经营某种产品的边际利润函数为那么表示什么?解表示由曲线以及直线所围成的图形的面积.表示面上,由曲线以及轴所围成的图形绕轴旋转一周而得到的旋转体的体积.表示在时间段内向水池注入的水的总量.表示该国在时间段内增加的人口总量.表示从经营第个产品起一直到第个产品的利润总量.4.利用定积分的定义计算下列极限:；.分析由定积分定义知，由此可求一些和式的极限.解5.求下列极限:；.解.6.下列计算是否正确,试说明理由:因为所以解不对,因为在上有间断点不符合换元法的要求.事实上,不对.原因与相同.事实上,不对.因为当时极限不存在,故发散,也就得到发散.注意：反常积分要化成上、下限只有一个是无穷大或无穷间断点的反常积分之和讨论.和式中每一个反常积分收敛，则原反常积分收敛；否则原反常积分发散.7.设证明证记则当时,有由拉格朗日中值定理的推论,得而8.设，证明.分析关键是将两边的式子变形为定积分，注意到，所以，只要证明时，即可.证因为当时，，所以及，两边同除得，因此而，所以9.设在区间上均连续，证明：(柯西-施瓦茨不等式)；(闵可夫斯基不等式).分析将看作是二次多项式根的判别式.则相应的二次多项式为因为，所以只要证明.两边平方整理得，由的结论知上式成立.证因为，，即.上式左端是关于的二次多项式，并且从而有判别式，即，所以.由的结论知，即，于是，，即10.设在区间上连续，且证明证根据上一题所证的柯西-施瓦茨不等式,有11.计算下列积分:;;;;;;;;;.解.分析本题考虑用变量代换使得原积分再现，即将上、下限分别为的积分化为上、下限分别为的积分.由积分上、下限知所作变换应满足.令，则.所以.作变换，则，.注意当时,当时,当时,因此12.设为连续函数，证明.证方法一由分部积分公式得.所以.方法二令，则，，所以(常数).所以，即.13.设在区间上连续，且证明:方程在区间内有且仅有一个根.证由闭区间上连续函数性质可知在区间内必有零点.根据可知函数在区间上单调增加,从而零点唯一,即方程在区间内有且仅有一个根.14.求,其中.解令，则15.设在区间上连续，在区间上连续且不变号，证明至少存在一点，使下式成立：（积分第一中值定理）分析时,所以只要证明.其中分别为在上的最大、最小值.证由于在上连续，故可设分别为在上的最大、最小值.不妨设，则若，则由上式知，故结论成立；若则有由介值定理的推论知，必存在，使得故结论成立.五、自测题（满分100分，时间120分钟）填空题（每小题3分,共15分）1.设在上连续，则+；2.，则；3.；；4.设，且，则；5.设是连续函数，且，则.选择题（每小题3分,共15分）1.=（）.（A）；（B）；（C）；（D）2.（）.（A）；（B）；（C）；（D）发散3.（）.（A）；（B）；（C）；（D）4.设连续，且则（）.（A）；（B）；（C）；（D）5.设则当时，是的（）.（A）等价无穷小；（B）同阶但非等价无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小.计算下列积分（每小题6分,共36分）1.；2.；3.；4.；5.；6..（8分）求极限.（9分）设其中