2024年北京市丰台区高三二模数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京丰台高三二模数学2024.04本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合，，，则（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数对应的点为，则的共轭复数（A）（B）（C）（D）3．已知数列对于任意，都有，若，则（A）（B）（C）（D）4．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）5．若，且，则（A）（B）（C）（D）6．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是（A）（B）（C）（D）7．已知函数的导函数是，如果函数的图象如右图所示，那么的值分别为（A）（B）（C）（D）8．已知曲线与直线，那么下列结论正确的是（A）当时，对于任意的，曲线与直线恰有两个公共点（B）当时，存在，曲线与直线恰有三个公共点（C）当时，对于任意的，曲线与直线恰有两个公共点（D）当时，存在，曲线与直线恰有三个公共点9．已知等差数列的公差为，首项，那么“”是“集合恰有两个元素”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件10．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”.利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直.图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，，则椭圆的离心率为图1图2（A）（B）（C）（D）

第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．已知函数，，那么___．12．若，则___．13．如图,在正方形中,,点分别为的中点,点在上，则____.14．如图，正方体的棱长为2，分别为的中点，为过直线的平面．从下列结论①，②中选择一个，并判断该结论的真假.你选的结论是___（填“①”或“②”），该结论是___命题（填“真”或“假”）．①平面截该正方体所得截面面积的最大值为；②若正方体的12条棱所在直线与平面所成的角都等于，则．15．设函数给出下列四个结论：①当时，函数在上单调递减；②若函数有且仅有两个零点，则；③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为；④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则.其中所有正确结论的序号是___．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题14分）已知满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的一组条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．17．（本小题14分）在正四棱柱中，，为中点，直线与平面交于点.（Ⅰ）证明：为的中点；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.18．（本小题13分）激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送．在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．原始信息的单光子的偏振状态0123解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，30，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．（Ⅰ）若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；（Ⅱ）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较，，的大小关系．（结论不要求证明）19．（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，求的取值范围．

20．（本小题15分）已知两点，，曲线上的动点满足，直线与曲线交于另一点．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设曲线与轴的交点分别为（点在点的左侧，且不与重合），直线与直线交于点．当点为线段的中点时，求点的横坐标．21．（本小题15分）将正整数数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，此时数列中剩下的项构成数列；再将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列；…，如此操作下去，将数列中项数为平方数的项依次选出构成数列，剩下的项构成数列.（Ⅰ）分别写出数列，的前2项；（Ⅱ）记数列的第项为．求证：当时，；（Ⅲ）若，求的值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案第一部分（选择题共40分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案CACBDBACAD第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）1 （12）12（13）4（14）①，假；或②，真（15）②③④注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以．因为，所以．………………6分（Ⅱ）若选择①②，在ABC中，，因为，所以．由（Ⅰ）知，所以，所以，与矛盾，此时不存在符合题意的ABC．若选择①③，在ABC中，由余弦定理，得，解得，所以．所以．………………14分若选择②③，在ABC中，，因为，所以．又因为，，所以．在ABC中，由正弦定理可得，所以．………………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）连结．在正四棱柱中，，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．因为与平面交于点，所以平面平面．因为平面，所以．所以．在中，因为点是的中点,所以点是的中点．………………5分（Ⅱ）在正四棱柱中，建立如图所示空间直角坐标系．设，由，得,所以.设平面的一个法向量为，则,得.令，得，，所以.所以.因为与平面所成角为,所以，解得，所以平面的一个法向量为.由题可知，平面的法向量为.因为，由题可知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件A=“解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同”，则．………………3分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.，，，，所以，的分布列如下：0123P．………………10分（Ⅲ）．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）当时，，；，；故切线方程为． ………………4分（Ⅱ）函数的定义域为；．①当时，，的变化情况如下表：↘极小值↗所以极小值为．函数有两个零点的必要条件是，解得．当时，，，从而；当时，，，当自变量越来越大时，函数的增长速度相对函数的增长速度要慢，从而．所以时，函数有两个零点．②当时，，的变化情况如下表：↘极小值↗极小值为．函数有两个零点的必要条件是，解得．当时，，，从而；当时，，，当自变量越来越大时，函数的增长速度相对函数的增长速度要慢，从而．所以时，函数有两个零点；综上所述，的取值范围为．………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为动点满足，所以曲线为以点，为焦点的椭圆，且，，即，；又因为，故．所以曲线的方程为． ………………5分（Ⅱ）解法1：当直线斜率不存在时，，，可求得，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为；联立得，设，，，则，；直线方程为；直线方程为；联立得．解得，可得，所以点的横坐标为0．………………15分解法2：设直线方程为，联立得，设，，，则，；直线方程为；直线方程为；联立得；因为，所以；所以；得；即，代入，得，代入，得；即，得到，；得．所以点的横坐标为0．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列的前2项为3，8；数列的前2项为5，11；………………4分（Ⅱ）首先，当时，结论成立；当时，对于相邻的两个数列：因为都在数列中，且在之前，所以在数列中，必有，所以，所以所以构成首项为，公差为1的等差数列，所以………………9分（Ⅲ）由各个数列生成的规则知，中不可能有两个元素是同一数列的项．从上面的表格，我们猜想：集合中的每个元素，是且仅是数列中某个数列的项.具体地可概括成结论P：对任意，有下面用数学归纳法证明：(1)当时，由题意数列的首项分别是2,3，结论成立；(2)假设当时，结论成立，即对，