专题10 解答压轴题：几何综合（原卷版）

专题10解答压轴题：几何综合1．（2023•上海）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．（1）如果，求证：四边形为平行四边形；（2）如图（2）所示，联结，如果，，，求边的长；（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．2．（2022•上海）如图，在中，是线段中点，联结交于点，联结．（1）如果．ⅰ．求证：为菱形；ⅱ．若，，求线段的长；（2）分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．3．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点．（1）当点在上，①求证：；②若，求的值；（2）若，，求的长．4．（2020•上海）如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．（1）求证：；（2）当是等腰三角形时，求的大小；（3）当，时，求边的长．5．（2019•上海）如图1，、分别是的内角、的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．6．（2023•徐汇区二模）已知：如图1，四边形中，，．（1）求证：四边形是等腰梯形；（2）边的垂直平分线交于点，交对角线于点，交射线于点．①当时，设长为，试用表示的长；②当时，求的值．7．（2023•杨浦区二模）已知是的直径，弦，垂足为点，点在直径上（与、不重合），，连接并延长与交于点．（1）如图1，当点与点重合时，求的度数；（2）连接交弦于点，如果，求的值；（3）当四边形是梯形时，且，求的长．8．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形，点在边上，，交对角线于点．（1）求证：；（2）如图2，联结．①当为直角三角形时，求的大小；②如图3，联结．当时，求的值．9．（2023•浦东新区二模）已知：的直径，是的中点，是上的一个动点（不与点、、重合），射线交射线于点．（1）如图1，当时，求线段的长；（2）如图2，当点在上运动时，连接、，中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出这个角并求其度数；如果不存在，请说明理由；（3）联结，当是以为腰的等腰三角形时，求与面积的比值．10．（2023•杨浦区一模）已知在正方形中，对角线，点、分别在边、上，．（1）如图，如果，求线段的长；（2）过点作，垂足为点，与交于点．①求证：；②设的中点为点，如果，求的值．11．（2023•黄浦区二模）如图，在菱形中，，是边上一点，过点作，垂足为点，点在边上，且，连接，分别交、于点、．（1）已知，①当时，求的面积；②以点为圆心，为半径作圆，以点为圆心，半径为1作圆，圆与圆有且仅有一个公共点，求的值；（2）延长交边于点，当设，请用含的代数式表示的值．12．（2023•虹口区一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，满足．点是延长线上一点，且．（1）当点是的中点时，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的长．13．（2023•嘉定区二模）在中，，点在线段上，，交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．（1）如果，①如图1，当点与点重合时，求证：；②如图2，当点在线段上，且不与点、点重合时，问：①中的“”仍成立吗？请说明你的理由；（2）如果，如图3，已知为常数），当点在线段上，且不与点、点重合时，请探究的值（用含的式子表示），并写出你的探究过程．14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形中，，是边上一动点，是线段延长线上一点，且，与矩形对角线交于点．（1）当点与点重合时，如果，求的长；（2）当点在线段的延长线上，①求的值；②如果，求的余切值．15．（2023•宝山区一模）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足．（1）求证：；（2）如图2，当时，求的长；（3）当是等腰三角形时，求的值．16．（2023•静安区二模）如图1，扇形的半径为，圆心角，点是上的动点（点不与点、重合），点、分别在半径、上，四边形为矩形，点在线段上，且．（1）求证：；（2）如图2，以为顶点、为一边，作，射线交射线于点，联结、．①当时，求与的面积之比；②把沿直线翻折后记作，当时，求的正切值．17．（2023•崇明区二模）如图，在中，，，．点是边上一动点（不与、重合），联结，过点作，分别交、于点、．（1）当时，求的正切值；（2）设，，求关于的函数解析式，并写出的定义域；（3）联结并延长，与边的延长线相交于点，若与相似，求的值．18．（2023•长宁区一模）已知：在中，，，点、分别在射线、射线上，且满足．（1）当点在线段上时，如图1．①如果，求的长；②设、两点的距离为，，求关于的函数关系式，并写出定义域．（2）当时，求的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）19．（2023•杨浦区三模）已知在矩形中，，，点是边上的一点（不与点重合），以点为圆心，长为半径作圆，交射线于点．（1）如图1，当与直线相切时，求半径的长；（2）当与的三边有且只有两个交点时，求半径的取值范围；（3）连接，过点作，垂足为点，延长交射线于点，如果以点为圆心，长为半径的圆与相切，求的正切值．20．（2023•金山区一模）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，联结．（1）如图1，当点与点重合时，证明：；（2）如图2，点在的延长线上，当时，求的长；（3）当是以为底的等腰三角形时，求的长．21．（2023•松江区一模）已知梯形中，，，，，是线段上一点，联结．（1）如图1，如果，且，求的正切值；（2）如图2，如果，且，求的长；（3）如果，且是等腰三角形，求的面积．22．（2023•虹口区二模）如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为．（1）如图2，当时，联结，求证：；（2）延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长；（3）当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围．23．（2023•松江区二模）如图1，是半圆的直径，是半圆上一点，点与点关于直线对称，射线交半圆于点，弦交于点、交于点．（1）如图2，恰好落在半圆上，求证：；（2）如果，求的值：（3）如果，，求的长．24．（2023•青浦区一模）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）当与相似时，求的长．25．（2023•长宁区二模）如图1，在中，，以点为圆心、为半径的交边于点，点在边上，满足，过点作交于点，垂足为点．（1）求证：；（2）延长与的延长线交于点，如图2所示，求的值；（3）以点为圆心、为半径作，当，时，请判断与的位置关系，并说明理由．26．（2023•宝山区二模）如图，已知半圆的直径，是圆外一点，的平分线交半圆于点，且，联结交于点．（1）当时，求的长；（2）当时，求的值；（3）当为直角三角形时，求的值．27．（2023•奉贤区一模）如图，在平行四边形中，点在边上，交对角线于点，．（1）求证：；（2）如果．①求的长；②如果，求值．28．（2023•金山区二模）如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点．（1）求证：；（2）设的中点为点，①如果为经过、、三点的圆的一条弦，当弦恰好是正十边形的一条边时，求的值；②经过、两点，联结、，当，，时，求的半径长．29．（2023•崇明区一模）已知中，，，．点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，联结．（1）如图，当点在线段上时，与交于点，求证：；（2）在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，，求关于的函数解析式，并写出定义域；（3）当时，求的长．30．（2023•普陀区二模）如图，半圆的直径，点是上一点（不与点、重合），点是的中点，分别联结、．（1）当是圆的内接正六边形的边时，求的长；（2）设，，求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长、相交于点，联结．是的中腰线，求的长．31．（2023•青浦区二模）如图，半圆的直径，点在半圆上，，，垂足为点，点是弧上一点．（1）若点是弧的中点，求的值；（2）连接交半径于点，交于点，设．①用含的代数式表示线段的长；②分别以点为圆心为半径、点为圆心为半径作圆，当这两个圆相交时，求取值范围．32．（2023•奉贤区二模）在梯形中，，，，，过点作对角线的垂线，垂足为，交射线于点．（1）如图，当点在边上时，求证：；（2）如图，如果是的中点，求的值；（3）联结，如果是等腰三角形，求的长．33．（2023•静安区校级一模）在等腰直角中，，，点为射线上一动点（点不与点、重合），以为腰且在的右侧作等腰直角，，射线与射线交于点，联结．（1）如图所示，当点在线段上时，①求证：；②设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；（2）当时，求的长．34．（2023•浦东新区模拟）已知：如图，在半径为2的扇形中，，点在半径上，的垂直平分线交于点，交弧于点，联结、．