专题11 勾股定理及其逆定理（讲义）（解析版）

专题11勾股定理及其逆定理核心知识点精讲1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【题型1：勾股定理在图形翻折中的应用】【典例1】如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．【详解】∵，∴，∴根据勾股定理得，根据折叠可得：，∴，设，则，在中：，即，解得：，故答案为：B．1．如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C．3.5 D．4【答案】B【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，设，则，根据折叠得到，由勾股定理列得，代入数据得到方程求出x的值即可．【详解】解：设，则，由折叠得，∵，∴，∴，解得，故选：B．2．如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（

）A．24 B．30 C．40 D．80【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边性质，由折叠结合矩形的性质先证明，设，则，再利用勾股定理求解，从而可得的面积．掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：长方形，，，由对折可得：设，则，∵∴．故选：C．3．如图，将长方形纸片的边沿折痕折叠，使点落在上的点处，若，则的长为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，长方形的性质，先由长方形的性质得到，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出，则，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故选B．4．如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设，则，由折叠性质可知，，，求出，，在中，，即，即可求解．【详解】解：设，则，由折叠性质可知，，，在中，，，，，在中，，即，解得．故选：C．【题型2：勾股定理及其逆定理在求图形面积中的应用】【典例2】有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A． B． C．2023 D．2024【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，故选：D．1．如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（

）

A．169 B．144 C．30 D．25【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理，在由勾股定理得到，由题意得，，则，在中，根据勾股定理得出：，则阴影部分面积．【详解】解：如图所示：

在中，根据勾股定理得出：，由题意得，，，在中，根据勾股定理得出：，阴影部分面积．故选：D．2．如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，.若．则图中阴影部分的面积为（

）A．6 B． C．5 D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．【详解】解：由勾股定理得：，即，，，由图形可知，阴影部分的面积为，阴影部分的面积为，故选：B．3．李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和．【详解】解：连接，则在中，

，，在中，，，，，（平方米），故答案为：C．4．如图，四边形中，E为中点，于点E，，，，，则四边形的面积为（）

A． B． C． D．无法求解【答案】C【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：连接，

为的中点，，是的垂直平分线，，，，，，，，，是直角三角形，，∴四边形的面积，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．【题型3：勾股定理及其逆定理的综合应用】【典例3】暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_________km．【答案】10【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离.考点：勾股定理1．两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的△和△，点B、C、D依次在同一条直线上，连接．若，,则点A到直线的距离为______．

【答案】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，首先根据等边三角形的性质得，，，，进而可得出，据此可依据“”判定和全等，从而得出，进而得，然后过点A作于点H，在中，利用勾股定理可求出的长．【详解】解：∵和均为等边三角形，∴，∴，∴，即：，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，过点A作，垂足为H，

∵是等边三角形，∴，，在中，，由勾股定理得：．∴点A到直线的距离为．故答案为：．2．如图，已知，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为（），当点D恰好落在的边上时，的长为．【答案】3或或【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案．【详解】作斜边上的高，，，，，，，，，，当点D落在边上时，如图1，；当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合，；当点D落在边上时，如图3，；综上所述，的长为3或或．3．在中，，，．以为底在内部作等腰，连接，若，则的长为．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质；过点D作，垂足分别为E，F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得的长，再证明，可得的长，再由勾股定理即可求得长．【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为E，F，则；∵是等腰三角形，∴；由勾股定理得；∵，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，由勾股定理得．故答案为：．4．如图，在中，，，点是边上的点，将沿折叠得到，点是点的对称点．若为，则的长是．【答案】2或4/4或2【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．先求得，分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：作于点，∵，，∴，∴，∴，当点在直线的下方时，如图，由折叠的性质得，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴；当点在直线的上方时，如图，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴．综上，的长是2或4．故答案为：2或4．1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键．由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：，，，，，，由折叠得，，，，，解得，，故选：B．2．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，，则（）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．先根据正方形的面积求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后根据勾股定理求出的长，然后即可求出直角三角形的面积．【详解】∵四边形是正方形，又∵，在中，点是斜边的中点，即，在中，，，，故选：B．3．如图，在Rt中，，用圆规在上分别截取，，使，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的面积是（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到平分，过G作于H，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，则，然后根据勾股定理求得即可求解．【详解】解：∵在Rt中，，∴，由作图过程得平分，过G作于H，则，∴，又，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得，解得，∴的面积是，故选：C．4．如图，在中，，，于点，点为的中点，连接，若，则的长为（

）A． B．8 C． D．【答案】C【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角得出，从而得出，进而是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：在中，，点为的中点，，，，，，是等腰直角三角形，，，，故选：C．1．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：其中正确的有（

）①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由和都是等腰直角三角形，可证，根据得证.①正确；由全等得，，，于是，可证，从而．故②正确；中，，于是；④正确；由的顶点A在的斜边上，得，从而，故③错误．【详解】解∵和都是等腰直角三角形，∴,，.∴.∴.①正确；∴，，．∴；∵，∴．∵，∴．故②正确；中，而∴；④正确；∵的顶点A在的斜边上，∴．而∴，故③错误．故选：C【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键．2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解．【详解】解：，，，．在和中，，，，．，．，，故①②正确；梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，，，，故③④正确故选：A．3．如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积是（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】连接，在中得到的值，然后再根据：，可得是直角三角形，最后求得和的面积和就是所求四边形的面积．【详解】解：连接，∵，，在中，，∴，，又∵，，∴，，在中有：，∴是直角三角形，，∴四边形的面积，故选：C．【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形，使面积的求解过程变得简单．4．如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为（

）

A．24 B．36 C．48 D．12【答案】A【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论．【详解】解：如图，连接．

在中，，即，，，∴．∵，，，∴，∴是直角三角形，∴．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出是直角三角形是解答此题的关键．5．如图，中，，分别以为边作等腰直角三角形，，若的面积是3，的面积是4，则的面积是（

）

A． B．10 C．7 D．5【答案】B【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理．根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式分别求得，，再根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∵的面积是3，∴，∴，∵的面积是4，∴，∴，∴，故选：B．6．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（

）A．12 B．6 C． D．【答案】D【分析】连接，根据已知条件以及旋转的性质可得，进而可得是等边三角形，可得旋转角为60°，即可得是等边三角形，即可求解．【详解】解：如图，连接，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，，，又，是等边三角形，旋转角，，是等边三角形，，在中，，，，，，，点与点B之间的距离为，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，找到旋转角是解题的关键．7．如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】B【分析】利用证明，可判断①；由与不一定相等，可判断②；由，在中，，可判断③；利用勾股定理判断④．【详解】解：在中，，∴°，，∵，∴，∵将绕点顺时针旋转后，得到，∴，∴，，，，∴，∴，，在与中，，∴，故结论①正确；∴，在中，，∴，故结论③错误；在与中，，，但与不一定相等，∴与不一定全等，故结论②错误；∵，∴在中，，∴，故结论④正确，∴正确的结论是①④．故选：B．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理等知识，证明是解题的关键．

8．如图，所在的直线是的对称轴，，则的面积为．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，对称的性质，如果三角形的两边的平方的和等第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：，是直角三角形，，是的对称轴，，，故答案为：．9．如图，中，，，，是边上的中线，．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用，先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论，先判定为直角三角形是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，又∵，∴，∴是以为直角的直角三角形，∵是边上的中线，∴．故答案为：．10．如图，在等边中取点使得，，的长分别为3，4，5，则．【答案】【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝．【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60得到线段AD，连接PD∴AD＝AP，∠DAP＝60，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC，AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60，∴△ADP为等边三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝×32＋×3×4＝．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为.【答案】6【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵AB=5，AC=4，∴，S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积======6.【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键．12．如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是．

【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答．【详解】解：由题意知，，，，设，则，因为于A，于B，所以在与中，由勾股定理得，，∴，解得，∴，故答案为：．1．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．【详解】∵，∴．∵，∴．∴a，b是直角三角形的直角边，∵，是互质的奇数，∴A．，∴当，时，，，，∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B．，∴当，时，，，，∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C．，，∵，是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D．，∴当，时，，，，∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．2．（2023·广西·中考真题）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分情况讨论，当△ABC是一个直角三角形时，当△AB1C是一个钝角三角形时，根据含30°的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．【详解】如图，当△ABC是一个直角三角形时，即，，；如图，当△AB1C是一个钝角三角形时，过点C作CD⊥AB1，，，，，，，，，，综上，满足已知条件的三角形的第三边长为或，故选：C．【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30°的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2023·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（

）

A．点 B．点 C．点 D．点【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．【详解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴选B．【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．4．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点M，于点J，于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，设正方形JKLM边长为m，根据正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，得AF=AB=m，证明△AFL≌△FGM（AAS），可得AL=FM，设AL=FM=x，在Rt△AFL中，x2+（x+m）2=（m）2，可解得x=m，有AL=FM=m，FL=2m，从而可得AP=，FP=m，BP=，即知P为AB中点，CP=AP=BP=，由△CPN∽△FPA，得CN=m，PN=m，即得AN=m，而tan∠BAC=，又△AEC∽△BCH，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设CF交AB于P，过C作CN⊥AB于N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴