专题07 平面直角坐标系与一次函数、反比例函数（讲义）（原卷版）

专题07平面直角坐标系与一次函数、反比例函数核心知识点精讲⒈结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想；⒉会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个变量之间的关系；⒊理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题.【知识网络】考点1：平面直角坐标系1.平面直角坐标系平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标.在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来.2．各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限；点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等；点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.5.关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征点P与点p′关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数；点P与点p′关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；点P与点p′关于原点对称横、纵坐标均互为相反数.6.点P(x,y)到坐标轴及原点的距离（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；（3）点P(x,y)到原点的距离等于.要点诠释：（1）注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限；（2）平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标.考点2：分式的运算函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.2.自变量的取值范围对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义.对于纯数学问题，自变量取值应保证数学式子有意义.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶图象法.4．画函数图象（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.要点诠释：（1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量；（2）确定自变量取值范围的原则：①使代数式有意义；②使实际问题有意义.式的通分．考点3：几种基本函数式1.正比例函数及其图象性质（1）正比例函数：如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的正比例函数．（2）正比例函数y=kx（k≠0)的图象：过（0，0），（1，K）两点的一条直线．（3）正比例函数y=kx（k≠0)的性质①当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；②当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小.2.一次函数及其图象性质（1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数．（2）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象（3）一次函数y=kx+b（k≠0)的图象的性质一次函数y＝kx＋b的图象是经过(0，b)点和点的一条直线．①当k>0时，y随x的增大而增大；②当k<0时，y随x的增大而减小．要点诠释：（1）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例；（2）确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.3.反比例函数及其图象性质（1）定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.三种形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数，等号右边是一个分式.分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1；②比例系数；③自变量的取值为一切非零实数；④函数的取值是一切非零实数.（3）反比例函数的图象①图象的画法：描点法列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）；描点（由小到大的顺序）；连线（从左到右光滑的曲线）.②反比例函数的图象是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.③反比例函数的图象是轴对称图形（对称轴是和）和中心对称图形（对称中心是坐标原点）.④反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意点引轴、轴的垂线，所得矩形面积为.（4）反比例函数性质：反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.（5）反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图象上一个点的坐标即可求出）（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系.要点诠释：（1）用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）；（2）利用一次（正比例）函数、反比例函数的图象求不等式的解集.【题型1：与坐标平面有关的计算】【典例1】已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．(1)点P的纵坐标比横坐标大3；(2)点P在过点且与x轴平行的直线上；(3)横、纵坐标的乘积等于0．1．在平面直角坐标系中，点P的横坐标是，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（

）A．或 B．或C． D．2．如图，表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示中福海商店的点的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知点P在第四象限内，且点P到x轴的距离是，到y轴的距离是，则点P的坐标是(

)A． B． C． D．【题型2：与正比例函数有关的计算】【典例】1.已知和成正比例，当时，．(1)求关于的函数表达式；(2)若点是该函数图象上的一点，求的值．【典例】2．如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8(1)求正比例函数的解析式．(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．已知函数是正比例函数，那么的取值是（

）A． B． C． D．任意实数2．若函数是正比例函数，则m的值为（

）A．1 B． C． D．3．如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①，②，③，则a、b、c的大小关系是（）

A． B． C． D．4．若点在第二象限，则正比例函数的图象经过()A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、四象限 D．第二、三象限【题型3：与反比例函数有关的计算】【典例】1.如图，点,在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，．(1)求的值并写出反比例函数的表达式；(2)点在反比例函数的图像上，且在点右侧，连接，，若的面积为，请求出点的坐标．【典例】2.如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，．(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由；(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．1．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（

）A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小C．图象也经过点 D．当时，2．若反比例函数的图象经过点，则它的图象一定还经过点（

）A． B． C． D．3．如图所示（图像在第二象限），若点在反比例函数的图像上，轴于点，的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．4．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．5．如图，B、C两点分别在函数和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（）A．9 B．6 C．3 D．46．如图，已知点，点在双曲线上，点，点双曲线上，四边形为平行四边形若轴，则平行四边形的面积等于（

）A． B． C．5 D．10【题型4：与一次函数有关的计算】【典例】1.如图，点A（1，0），点B在y轴正半轴上，直线AB与直线l：y=相交于点C，直线l与x轴交于点D，AB=.（1）求点D坐标；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求△ADC的面积.【典例】2.如图，直线y=kx-6经过点A(4,0),直线y=－3x+3与x轴交于点B,且两直线交于点C.(1)求k的值.(2)求△ABC的面积.（3）在直线y=kx-6上是否存在异于点C的另一点P，使得△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．1．一次函数和正比例函数在同一直角坐标系中的函数图象可能是（

）A． B．C． D．2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像大致是（

）.A． B． C． D．3．已知直线经过点A（-1,2）且与X轴交于点B，点B的坐标是（

）A．（-3,0） B．（0,3） C．（3,0） D．（0，-3）4．若一次函数的函数值随自变量的减小而增大，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．若点，在正比例函数图象上，且时，则m的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．2．已知一次函数满足，且y随x的增大而减小，则一次函数的大致图象是大致是（

）A．

B．

C．

D．

3．如图，下列结论中错误的是（

）

A．方程的解为，B．当时，有C．，，D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4．点在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离相等，则m的值是．5．在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是，，，则第四个顶点的坐标是．6．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，则点关于y轴的对称点的坐标为．1．一次函数和是常数且都不为与一次函数和是常数且都不为的图象如图所示，下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．2．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（）A． B． C． D．3．如图，已知点位于第三象限，点位于第二象限，且点Q是由点P向上平移4个单位长度得到的，

（1）若点P的纵坐标为，则a的值为（2）在（1）的条件下，点Q的坐标为．4．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移使得一个端点与点重合，已知点，，，则线段平移后另一个端点的坐标为．

三、解答题5．已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为．(1)若点M在y轴上，求a的值；(2)若轴，并且点N的坐标为．①求点M的坐标及线段的长；②P为y轴上一点，当的面积为20时，直接写出点P的坐标．6．小红帮弟弟荡秋千（如图①），秋千离地面的高度与摆动时间之间的关系如图②所示．

(1)根据函数的定义，变量h（填“是”或者“不是”）关于t的函数，变量h的取值范围是．(2)结合图象回答：①当时，h的值是，它的实际意义是；②秋千摆动第一个来回需多少时间？答：．7．已知函数是正比例函数．(1)若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m的值．8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点、、坐标分别是、、，顶点在函数（）的图像上．

(1)求的值；(2)将沿y轴向上平移，当顶点落在（）的图像上时，边与该函数图象相交于点，连接，求此时的面积．一、单选题1．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（

）．

A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，坐标平面上直线L的方程式为，直线M的方程式为，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（

）

A． B． C． D．3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（

）A． B． C． D．4．（2023·上海·统考中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减