概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性的分布及其关系概率论中几种具有可加性的分布及其关系②取自然数的时候，有1.4.1伽玛分布的定义定义1.4如果随机变量的密度函数为就称作服从伽玛分布，记为且的值均大于0.为伽玛分布的形状参数，为其尺度参数.当时，为严格单调递减的函数，在处取得奇异点；当时，亦严格单调减，且时有当时，为单峰函数，先上凸然后下凸；当时，先下凸再上凸，最后下凸.而且随着的增大，逐渐接近于正态分布的密度函数.1.4.2伽玛分布的可加性定理1.4.1设随机变量且和彼此独立，则证明知且与彼此独立，所以此即为的特征函数，根据惟一性定理则可知结论得证！如正态分布，对于伽玛分布，我们同样可以利用连续场合的卷积公式对其可加性进行证明，详见文献[5];1.5柯西分布[4]1.5.1柯西分布的密度函数柯西分布是几个常见的连续分布之一.它的密度函数为时的柯西分布密度函数称为标准柯西分布密度函数，即为方便起见，往后我们分别记这两类密度函数为和对于柯西分布的数学期望和方差，因所以不收敛，故柯西分布的数学期望与方差均不存在.1.5.2柯西分布的可加性定理1.5.1设随机变量且彼此独立，则有证明因均服从于柯西分布，且的特征函数分别是又因彼此独立，所以这恰好就是参数为的柯西分布的特征函数，所以即证！1.6卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定义及密度函数定义1.6[7]设独立同分布与标准正态分布分布则称所服从的分布为自由度为的卡方分布，记为卡方分布的密度函数为1.6.2卡方分布可加性卡方分布密度函数的图像是一个只取非负值的偏态图像.它的图像随着自由度的增加而逐渐趋于对称，当自由度时，其图像趋于正态分布的图像.这也从另一个侧面告诉我们，卡方分布是由其自由度决定的，不同的自由度对应了不同的卡方分布.由1.6.1，我们可以知道卡方分布即伽玛分布的一个特例，所以由伽玛分布的可加性我们易知卡方分布亦满足可加性定理，即定理1.6.1[5]设且彼此独立，则有证明由卡方分布的定义，设且彼此独立.则有，从从卡方分布的定义，因此即证！2具有可加性的概率分布间的关系2.1二项分布的泊松近似[4]当的取值很大时，二项分布的计算是令人头疼的.这里介绍了泊松分布的一个十分有用的特性，我们可利用泊松分布作为二项分布的一种特殊近似，即二项分布的泊松近似.下面我们来看泊松定理，当取值较大，而取值偏小的情况下使用泊松定理，可大大减小二项分布的计算量.定理2.1[8]（定理)在重伯努利试验中，记事件在每次试验中发生的概率为它与试验发生的次数有关，若当时，有即则对任意给定的（为非负整数），有证明设则有所以由已知有，则对于给定的值，有且；所以有即证！因定理的条件之一为所以在二项分布的计算中，若值很大，的值却很小，且的大小适中时（一般认为当且时），二项分布可以使用参数为的泊松分布来做近似，即有此即为二项分布的泊松近似，而且的值应尽可能的大，这样计算结果才能更精确.二项分布的泊松近似经常被用于稀有事件（即每次试验中事件发生的概率很小）的研究中，大量实例表明，一般情况下概率时，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2二项分布的正态近似这正是时的柯西分布的密度函数，所以结论得证！正态分布与卡方分布的关系如下：定理2.4.2若随机变量则定理证明见文献[10].这说明了标准正态分布与自由度为1的卡方分布之间的关系.若且彼此独立，记，根据卡方分布的定义，我们知服从自由度为的卡方分布.对于伽玛分布，当其参数时即为自由度为的卡方分布，记为3小结文章第一部分我们讨论了六种具有可加性的分布以及它们的简单性质，上述分布的可加性均可利用卷积公式或者特征函数进行证明.正态分布是概率论中最重要的分布，一般地，如果某个数量指标受到大量随机因素影响，而每一因素起的作用很小，则这个数量指标就近似服从正态分布.在第二部分里研究了二项分布、正态分布与泊松分布的关系，从此处我们可以知道二项分布不仅可以用泊松分布近似，同样也可由正态分布来近似.参考文献[1]罗建华.卷积公式的应用注记[J].中南林业科技大学学报，2007年，第27卷，第1期：152页.[2]李贤平，沈崇生，陈子毅.概率论与数理统计[M].上海：复旦大学出版社，2003.5：221-231.[3]唐玲，徐怀.复合泊松分布和泊松过程的可加性[J].安徽建筑工业学院学报，2007.05：83页.[4]郭彦.对柯西分布性质的进一步讨论[J].淮阴工学院学报，2005.05：12页.[5]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.7:155-160;[6]王梓坤.概率论基础及应用[M].北京：北京师范大学出版社，1996.3:61-64.[7]宋立新.概率论与数理统计[M].北京：人民大学出版社，2003.9:176-177.[8]于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系[J].《企业科技与发展》，2008年第20期：120页.[9]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等