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文档简介
第二节利用直角坐标计算二重积分二重积分的计算法第九章1一、积分区域的描述2二、利用直角坐标计算二重积分方法：将重积分化成累次积分按照二重积分的几何意义，等于曲顶柱体的体积3设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作4同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作5且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-
型区域则若D为Y-型区域则当被积函数在D上变号时,结论仍成立。6说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y
-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则7例1.
计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x
所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,
则8例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则9例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:
由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:
有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.10例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则11例5.交换积分顺序计算解.积分域如图.12例6.求抛物线所围区域
D的面积A.解:如图所示注:则也可利用上述方法简化计算.上可积,13三、利用二重积分计算曲顶柱体的体积按照二重积分的几何意义，等于曲顶柱体的体积思路：找出底，找出顶，然后积分。14例7.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为15内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:
若积分区域为则
若积分区域为则16(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•确定积分序•写出积分限•计算要简便积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式充分利用对称性17解：原式思考题1.给定改变积分的次序.182.计算二重积分在第一象限部分.解:(1)两部分,则其中D为圆域把D分成作辅助线19(2)
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