专题26抛物线及其标准方程5种常见考法归类（原卷版）

专题26抛物线及其标准方程5种常见考法归类1、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：（1）定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．（2）在抛物线定义中，若去掉条件“l不经点F”，点的轨迹不一定是抛物线，当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F，且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：（1）四个标准方程的区分焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．（2）抛物线标准方程中的参数p的作用参数p称为焦准距或焦参数，是焦点到准线的距离．p确定了抛物线的焦点坐标和准线方程及抛物线的标准方程．（3）如何记忆抛物线的四种标准方程？①方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．②一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．（4）抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)与二次函数y＝ax2(a>0)区别：y2＝2px(p>0)与y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样．y2＝2px(p>0)：焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，对称轴为x轴，开口向右；y＝ax2(a>0)，即x2＝eq\f(1,a)y，焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，对称轴为y轴，开口向上．3、抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．4、求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；②直接根据定义求p，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程(组)求系数，其一般步骤为：5、求解抛物线实际应用题的步骤：6、圆锥曲线的共性探究动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq\f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．考点一抛物线定义及应用考点二求抛物线的标准方程考点三求抛物线的方程求参数考点四抛物线方程的实际应用考点五求抛物线的轨迹方程考点一抛物线定义及应用1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（）A．抛物线 B．直线C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确2．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知抛物线上有一动点，则与点距离的最小值为．4．【多选】（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）为抛物线上的动点，动点到点的距离为（F是的焦点），则（

）A．的最小值为 B．最小值为C．最小值为 D．最小值为5．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（

）A． B． C． D．6．（2024·全国·高三专题练习）设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为.7．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点在抛物线上，点在轴上的射影为点，点的坐标是，则的最小值是．8．（2023秋·陕西延安·高二校考期末）已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为.9．（2023·全国·高三专题练习）已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为．10．（2023·江苏·高二假期作业）若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，点，求的最小值，并求出点的坐标.11．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值.12．（2023秋·高二课时练习）（1）设P是抛物线上的一个动点.①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离.考点二求抛物线的标准方程13．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）焦点坐标为的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．14．（2023·全国·高一随堂练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上；(4)焦点在x轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5.15．（2023·全国·高二课堂例题）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点.求该抛物线的标准方程.16．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点在轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或17．（2023秋·高二课前预习）已知抛物线对称轴为坐标轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求抛物线的标准方程.18．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．考点三求抛物线的方程求参数19．（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（

）.A． B． C．2 D．420．（2003·江苏·高考真题）抛物线的准线方程是，则（

）A． B． C． D．21．（2023春·云南昭通·高二校考期中）设第四象限的点为抛物线上一点，为焦点，若，则（

）A．4 B． C． D．3222．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，正好与抛物线重合，则（

）A． B． C．2 D．223．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则.24．（2023秋·高二课时练习）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（

）A．1 B． C．2 D．325．（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则.考点四抛物线方程的实际应用26．（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）A． B． C． D．27．（2023·全国·高二随堂练习）一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.28．（2023·全国·高二课堂例题）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.(1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？(2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度.29．（2024·全国·高三专题练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为m.30．（2024·全国·高三专题练习）如图，某大桥中央桥孔的跨度为20m，拱顶呈抛物线形，拱顶距水面10m，桥墩高出水面4m.现有一货轮欲通过此孔，该货轮水下宽度不超过18m.目前吃水线上部分中央船体高16m，宽16m.若不考虑水下深度，该货轮在此状况下能否通过桥孔？试说明理由.考点五求抛物线的轨迹方程31．（2023·高二课时练习）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程．32．（2023·全国·高二随堂练习）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程，并画出图形.33．（2023·全国·高二课堂例题）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线．34．（2023·全国·高二课堂例题）已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．35．（2023·全国·高二假期作业）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的