大二轮高考总复习文数自检16概率

自检16：概率A组高考真题集中训练古典概型1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)解析：从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D．答案：D2．(2016·全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A．eq\f(8,15) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,30)解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).答案：C3．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq\f(1,10).故选C．答案：C4．(2013·全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：B5．(2014·全国卷Ⅱ)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2013·全国卷Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：从五个数中任意取出两个数的可能结果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中“和为5”的结果有(1,4)，(2,3)，共2个，故所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)几何概型1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故选B．答案：B2．(2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A．eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)解析：因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).答案：C3．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故选B．答案：B4．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2为事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3为事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，则()A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1解析：满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.答案：B5．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．解析：∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．(2017·江苏卷)记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)B组高考对接限时训练(十六)(时间：35分钟满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,5)解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B3．(2017·江门一模)某ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，AC1、BD1相交于O，在正方体内(含正方体表面)随机取一点M，OM≤1的概率pA．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3,π) D．eq\f(2,π)解析：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积23＝8，满足OM≤1的基本事件为O为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V＝eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，故概率P＝eq\f(\f(4,3)π,8)＝eq\f(π,6).故选A．答案：A4．(2017·莆田一模)从区间(0,1)中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数使得斜边长不大于1的概率是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：设两个直角边长为a，b，则由条件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1,0＜b＜1))，则斜边长不大于1的事件为，a2＋b2≤1，则由几何概型的概率可知所求的概率P＝eq\f(\f(1,4)π·12,1×1)＝eq\f(π,4)，故选B．答案：B5．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,10)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)解析：设2个红球分别为a，b,3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：D6．(2017·宁德一模)若在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于eq\f(e,3)的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,5)解析：∵区间[0，e]的长度为e－0＝e，x的点到区间两端点距离均大于eq\f(e,3)，长度为eq\f(e,3)，∴在区间[0，e]内随机取一个数x，则代表数x的点到区间两端点距离均大于eq\f(e,3)的概率为P＝eq\f(1,3)，故选C．答案：C7．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b＞0，即x－2y＞0，满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故选D．答案：D8．已知A(2,1)，B(1，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，动点P(a，b)满足0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤2，且0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤2，则点P到点C的距离大于eq\f(1,4)的概率为()A．1－eq\f(5,64)π B．eq\f(5,64)πC．1－eq\f(π,16) D．eq\f(π,16)解析：∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－2b，又0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤2，且0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2a＋b≤2，,0≤a－2b≤2))表示的区域如图阴影部分所示，点C在阴影区域内到各边界的距离大于eq\f(1,4).又|OM|＝eq\f(2\r(5),5)，∴所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2－π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝1－eq\f(5,64)π.答案：A9．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)解析：对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：D10．(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：如图所示，设点M是BC边的中点，因为eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故选C．答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．解析：从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则(a，b)的所有可能结果为(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)12．在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为_______