高等数学同济第七版上册课后习题答案

习题1-1

L求下列函数的自然定义域：

(2)y=；

⑴y=&+2;1-x2

J4-£

(5)y=sinVx;(6)y=tan(x+1);

____i

⑺y=arcsin(x-3);⑻y=J3—x+arctan—；

(9)y=ln(x+l);X

1

(10)y=-

解：。

「2、

(l)3x+2>0=>x>-，即定义域为一,+oo

[I31

3

(2)1—厂w0=>xw±l,

即定义域为(—8,—1)U(-1,1)U(1,+8)

(3)xwO且l—f20=>xw0且xK1

即定义域为[—1,0)u(0,1]

2

(4)4-x>0^|x|<2即定义域为(—2,2)

(5)x20,即定义域为[0,+8)

(6)x+1w攵万+“(攵£Z),

f2i

即定义域为xR且xW(左+eZ

2

(7)|x-3|<1=>2<X<4,即定义域为[2,4]

(8)3—xNO且xwO,即定义域为(—8,0)u(0,3]

(9)x+1>0=>x>—1即定义域为(-1,+8)

(10)xw0,即定义域为(一8,0)u(0,+oo)

2.下列各题中，函数/(X)和g(x)是否相同？为什么？

⑴/(x)=lgx2,g(x)=21gx

(2)/(x)=x,g(x)

(3)/(x)=^(x4-x3),g(x)=xYx-1

(4)/(x)=l,g(x)=sec2x-tan2x

解：

(1)不同，因为定义域不同

(2)不同，因为对应法则不同，g(x)=,一x,x>0

77

-x,x<0

(3)相同，因为定义域，对应法则均相同

(4)不同，因为定义域不同

!匹

sinx,-<

3.设g)=]工3

I0,x>

I3

求以上77),彼一V7),以一一77),以一2),并指出函数y=0(x)的图形

644

/兀\•n1/万、.71V2

。(％)=sin

6二2，以4)=sin丁=

解:

奴-巧=sin(--)=产,。(-2)=0,

442

y二夕。）的图形如图1—1所示

4.试证下列函数在指定区间内的单调性:

x

⑴产

1一工’

(2)y=x+Inx,(0,+oo)

证明：

x1

⑴〉=/(X)=----=-1+----,(-00,1)

1-X1-x

设％1<%2<L因为

/巴人“由二//

(l-x)(l-x)>u

12

所以/(%)>/(&),即/(%)在(一8,1)内单调增加

(2)y=f(x)=x+Inx,(0,+oo)

设0<%]<兀2，因为

/(x)-/(x)=x-x+In2>0

2121—

X]

所以/(x2)>/(修)即f(x)在(0,+oo)内单调增加

5•设/(x)为定义在(一/,/)内的奇函数，若/(%)在(0,/)内单调增

加,证明f(x)在(_/,0)内也单调增加

证明：

设一/<为<%2<0，则0<一X2<-xx<l

由了(%)是奇函数，得)―/(再)=―/(%)+/(—王)

因为/(%)在(0,/)内单调增加，所以/(—4])—f(-x2)>0

即/(x)在(―/,0)内也单调增加

6.设下面所考虑的函数都是定义在区间(一/,/)上的。证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶

函数与奇函数的乘积是奇函数

证明：

⑴设工⑴/⑴均为偶数，则工(T)=工a)/(T)=f2(x)

令F(%)=」(%)+%(%)

于是产(―x)=f1(-x)+f2(T)=/(x)+上(x)=尸(X)

故尸(X)为偶函数

设gi(x),g2W均为奇函数，

贝吆|(T)=_g](X)，g2(-%)=S2W

令6(%)=81(%)+4。)

于是G(-X)=g](T)+g2(T)=_gG)+_g2(X)=-G(x)

故G(x)为奇函数

(2)设工⑴，力(x)均为偶数，则£(T)=的))(-%)=f2(x)

令/(%)=的)•力⑴

于是万(T)=工(T).f2(-x)=f{(X)f2(X)=F(X)

故尸(％)为偶函数

设g1(X)，&(X)均为奇函数，则g1(T)

二一glQ)，g2(-工)=~§2W令G(X)=

g](X)•&(%)

于是

G(—x)=&(—%)♦g2(-X)=—gi(x)•一g2(%)=g(%l)g(%2)=G(x)

故G(x)为偶函数

设/(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

则/(t)=/(x),g(-X)=-g(x)

令H(x)=

f(x)-g(x)

于是H(-x)=/(-x)•g(-x)

=/W[-gW]=-/W-g(x)=-H(x)

故H(x)为奇函数

7.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇

函数？

⑴y=f(12)；

(2)y=3x2-x3;

1-x2

(3)3^=-(4)^=x(x-l)(x+l);

1+x

ax-a~x

(5)y=sinx—cosx+l;⑹尸一一

解：

(1)因为/(一])=(一九)2「1一(一九)2]=尤2(1一/)=/⑴

所以/(X)为偶函数

(2)因为/(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3

/(T)W/(X),且f(—x)w-/W

所以/(x)既非偶函数又非奇函数

l-(-x)2_1-X2

(3)因为/(-X)==fM

1+(―x)~1+x~

所以/(X)为偶函数

(4)因为/(-%)=-%(%+1)(^-1)=-/(%)

所以了(%)奇函数

(5)因为/(一x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1,

/(T)W/(X)且7•(T)W—/(X)

所以/(x)既非偶函数又非奇函数

(6)

a~\ax

因为/(—X)=-------=/(x)

2

所以/(1)为偶函数

8.下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期

(1)y=cos(x-2);

(2)y=cos4x;

(3)y=l+sin〃x;

(4)y=xcosx;

(5)y=sin2x

解:

(1)是周期函数，周期/=2»

71

(2)是周期函数，周期/=—

2

(3)是周期函数，周期/=2

(4)不是周期函数

(5)是周期函数，周期/=〃

9.求下列函数的反函数

1—X

⑵y=;

⑴y=出+1;

1+X

1TC兀

(3)y=ax+b(gd—w°)；(韦)=2sin3x(__<x<_

cx+d66

(5)y=l+ln(x+2);2X

(6)y-

2¥+l

解：

(1)由y=飞x+1解得x=y3-l,既反函数为y=d—l

(2)由了=1—二解得,=1—y,既反函数为y=l—x

1+x1+yl+x

(3)由y=ax+A解得x=—dy+b,既反函数为y二一八十”

cx+dcy-aex-a

jljl1.y

(4)由y=2sin3x(-_<x<_)解得x=_arcsin_,

6632

]X

既反函数为y=_arcsin_

32

v

(5)由y=l+ln(x+2)解得x=log,

i-y

既反函数为y=log

,LJC

2xy

(6)由丁=-----解得％=iog2—,

2X+1l-y

x

既反函数为y=log----

2\—x

io.设函数/(%)在数集X上有定义，试证：函数/(%)在X上有界

的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界

解：

设/(x)在X上有界，既存在河>0,使得

/(x)<M,xeX,

故—eX,

既/(x)X上有上界〃，下界一M

反之，设/(x)在X上有上界储，下界(，即

</(%)<A：1，%eX

取M=max1|K\,\K211,则有

/(x)<M,xeX

即/(x)在X上有界

11.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别

对应于给定自变量值X]和的函数值

2—71

(l)y=u,〃=sinx,X]=,x="；

623

匹一匹.

(2)y=sinu,u=2x,x，%2=4；

]84

(3)y=fu,u=l+x2,x=l,x=2;

712

-e11,u=x2,x=0,x=1;

12

(5)y—ir,u=ex,x=l,x=—1

12

解：

_1_3

2==

(l)y=smx,yl-^2-

V2

(2)y=sm2x,必=亍/2—

⑶=/匕=石

2

(4)y=ex,y=l,y=e

12

(5)y=/\y=e2,y-2

I2—匕

12•设的定义域D=[0,1],求下列各函数的定义域：

(l)f(x2);⑵/(sinx)

(3)f(x+a)(a>0);(4)/(x+a)+f(x-a)(a>0)

解:

(1)0<x2<1=>xe[-l,l]

n

(2)0<sinx<1=>xG\ln7i,(2+1)〃],〃eZ

(3)0<x+a<xea]

(0<x+a<1i「

(4)Jn当0<〃(一时，xe\a,\-a\-,

[0<x-a<l2

当时定义域为0

2

13.设

I1,X<1

|

fMo,|x|=l,g(x)=ex

—1,x〉1

求/[g(X)]和g[/(x)],并作出这两个函数的图形

解：

1,x<0

，[g(x)]=/©)=<0,%=。

—1,x>0

e,x<1

g[fM]=efM=<l,|x|=1

e^],x>\

/[g(x)]与g[/(x)]的图形依次如图1—2,图1—3所示

14.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角0=40(图1-4).当过水

断面ABC。的面积为定值S0时，求湿周L(L=AB+BC+CD)

与水深。之间的函数关系式，并指明其定义域

解：

h

AB=CD=--------

sin40

又So=-h[BC+(BC+2cot40/)]

s

得5C=」_cot40-h

h

2-cos40

所以£=h

sin40

而。〉0且&-cot40•h>0,

h

因此湿周函数的定义域为（0,）

15.设xOy平面上有正方形。=｛（x,y）0«x«1,00yV1｝及直

线/:x+y=/«20）若5。）表示正方形。位于直线左下方部分的

面积，试求S（。与1之间的函数关系

解：

当OdVl时-，S（O=-r2

2

1212

当1<%«2时，S（0=l-_（2-0=-_t+2t-l

22

当？>2时-，S«）=l

f1.

2

故/+2z-l,l<t<2

1/〉2

16.求联系华氏温度（用户表示）和摄氏温度（用。表示）的转换公

式，并求

（1）90/的等价摄氏温度和一5。的等价华氏温度；

（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一

样的？如果存在，那么该温度值是多少？

解：

设厂二mC+4其中根,b均为常数

因为尸=32相当于C=0,F=212相当于C=100,

2i2—32

所以Z?=32,m-一说一=1.8

故尸=1.8C+32或C=_(/-32)

9

(1)F=90,C=|(F-32)«32.2

C=—5,b=1.8x(—5)+32=23

(2)设温度值f符合题意，则有

t=1.8f+2J=-40

即华氏-40恰好也是摄氏一40

17.已知RmABC中，直角边AC,的长度分别为20,15,动

点。从。出发，沿三角形边界按CfBfA方向移动；动点。从

。出发，沿三角边界按CfAf8方向移动，移动到两动点相遇

时为止，且点。移动的速度是点。移动的速度的2倍.设动点P移动

的距离为x,口。。。的面积为y,试求y与x之间的函数关系.

解：

因为AC=20,8C=15,所以,A3=,202+152=25

由20<245<20+25可知，点尸,。在斜边上相遇

令1+2%=15+20+25得x=20,即当x=20时，点P,Q相遇，

因此所求函数的定义域为(0,20)

(1)当0<x<10时，点P在C6上，点。在CA上(图1-5)

由=1，CQ=2%,得y=f

(2)15时点尸在CB上点Q在A8上(图1-6)

|CP|=x,|42)=2x-20

设点。到BC的距离为/z,则

h=忸0=45-2x

20X25

4

得力=-(45—2x),故

15249

y=_xh=_x(45-2x)=x2+18x

255

(3)当15cx<20时点尸，。都在AB上(图1-7)

BP=x-15,AQ=2x-2Q\PQ\=60-3x

设点。到AB的距离为“，则

得〉=:同卜”=—18x+360

综上可得

x2,0<x<10

4

<——x2?+18x,10<x<15

I5

-18x+360,15<x<20

18.利用以下美国人口普查局提供的世界人口数据以及指数模型来推

测2020年的世界人口

“伟人U数（百万）年增长率（%）

20086708.2L166

20096786.41.140

20106863.81.121

20116940.71.107

20127017,51.107

2OH7095.2

解：

由表中第3歹U,猜想2008年后世界人口的年增长率是1.1%,于是

在2008年后的第1年，世界人口将是

p（0=6708.2x（1.011/（百万）

2020年对应，=12,于是

p（12）=6708.2x（1.0H）%7649.3（百万）。亿

即推测2020年的世界人口约为76亿

习题1-2

1.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观

察｛五｝的变化趋势，写出甲门的极眄:

⑵J）」；

⑴<」；<一卜

L力

（“％

(3)'2+1

〈一〉；

2—小

n

⑹:Ej

⑺广卜；（8）<r（-i）«+ii--1

n

解：

⑴收敛，lim=0

"-2"一

jL

⑵收敛，lim(-l)--=0

??—>00n

⑶收敛，lim(2+-产

n-»oo〃

⑷收敛，lim"1一=1

sn+\

(5)｛〃(—1)"｝发散

2〃—1

⑹收敛，lim____=0

ns3

11〕

(7)<〃_发散

1

(8):「(一发散

4LE

2.(1)数列的有界性是数列收敛的什么条件？

⑵无界数列是否一定收敛？

⑶有界数列是否一定收敛？

解：

(1)必要条件

(2)一定发散

(3)未必一定发散，如数列｛(—1)〃｝有界，但它是发散的

3.下列关于数列的极限是的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是

对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例。

(1)对于任意给定的£>0,存在N£N,当〃〉N时，不等式

X〃一。<£成立

(2)对于任意给定的£>0,存在NWN,当〃〉N时、有无穷多

项乙，使不等式Xn-a<£成立

(3)对于任意给定的£〉0,存在NGN,当〃〉N时-，

不等式％—a<£成立，其中c为某个常数

(4)对于任意给定的m£N,存在NGN,当〃〉N时，

1

不等式氏一。|<一成立

m

解：

I〃11

(1)错误，如对数列〈(-1)=1,对任给的£>0(设£>1),

In

1.111〃1]

存在N=_,当〃>N时，（-1）+1«_<£但<（一1）+_卜

£母〃[勺

的极限不存在

n,n=2k-\,

（2）错误，如对数列入”<1keN+,a=l,对任给的

11----,ri—2k,

In

£〉0（设*1），存在N=j_,当〃>7\^且〃为偶数时时，

O

x-a=~L<£成立，但％的极限不存在

n

（3）正确，对任给的£>0,取1E〉0,按假设，存在NGN,

当〃>N时，不等式卜〃一<°.一£=£成立

C

（4）正确，对任给的£〉0,取〃2£N,使J_<£,按假设，

m

存在NEN,当〃>N时，不等式X<_L<£成立

n

m

4.设数列｛%〃｝的一般项x”=_cos,问lim\=?求出，使

22"一0°

当〃>N时-，当与其极限之差的绝对值小于正数£当£=0.001时，

求出数N

解：limx〃=。证明如下

〃一>8

11

0^-0|=-eos^<-,

要使|乙一0<£，只要即〃〉1,所以V£>0

n£

「11

（不妨设£<i）,=则当"〉N时，就有|居—o|<£

「11

当£=0.001时，WN=-=10。0，即若£=0.001,只要

£

〃〉1000,就有|Z—0]<0.001

5.根据数列极限的定义证明：

(2)1加加^

。2〃+12(4)

(3)lim归运=1；

limO.999

〃->8V

n•--94

/t->0

〃个

证明：

11

=

(1)因为要使二一°—只要〃〉一^,所以\/£〉0

nnJg

(不妨设£<1)取N=[上],则当〃〉N时・，就有4°<*

1

即lim—=0

,18fl31J3〃+1_3

(2)因为3〃+12―2(2〃+1)4〃，要使2〃+12

2n+l

111

只要__<8,即〃>一，所以V£〉0(不妨设£<一),取

4〃4e4

「113〃+13

N=h-L则当〃〉N时-，就有^------<£,

'[4^H2/1+12

3〃+13

即lim=

〃f002〃+12

(3)当〃=0时，所给数列为常数列，显然有此结论，以下设

就有

1

（4）因为二要使<£,

0.999---940—.999---94

〃个〃个

只要<£即〃>lg_,所以Ve〉0（不妨设£<1）,取

£

N=即当〃>N时，就有0.99J♦9—1<8

即

〃个

limO.999-9=1

co

〃个

6.若lim“〃=a,证明=并举例说明：如果数列｛k4｝

00〃98

有极限，但数列｛%｝未必有极限

证：

因为limK=a,所以VE〉0,3N,当w〉N时，有〃〃一a<£,

n—>oori

从而Ju\-6*4—Q<£

故二a

H-»00

但由卜/=卜并不能推得例如,n

limJ,limun=a,

n->ooH—>oo

虽然1吧1—1)[=1,但-―1)〃｝没有极限

7.设数列｛%〃｝有界，又lim笫=0,证明：limxy=0

证：因数列卜〃｝有界，故>0,使得对一切〃有

｛n｝<M,\/s>0,由于limy”=0,故对与=：>0JN,

77-»OOM

当"〉时,就有<与=从而有

Nyn/rone

£

xy-Q=x-y<M~=s

NNNNM

所以

limxn*y7n=0

n—>oo

0

8.对于数列｛%〃｝,若々JTa(k->oo),x2k->a(k0)，

证明：—〃（几—oo）

证：

因为%2人Ta(kf⑹，所以Ve>0,m&当Z>匕时-，

有「2%-1一。<£；又因为42左一>a(Z8)，所以对上述£>0,

当人>人2时、有12左一々3£

记K=max｛配伍｝,耳IN=2K,则当〃>N时，若几=2k-1,

则

若〃=2k,则攵>K2&n|4一〃=\xik~a<£

从而只要〃〉N,就有上一。|<£，即limx〃=a

:濡；8所示的函数小）’求下列极限’如极限不存在‘说明理

由

⑴lim/(%)

x—>-2

⑵lim/(x)

(3)lim/(%)

xfO

解：

(1)lim/(x)=0

x―2

⑵limf(x)=-1/(O+)。

x-»-l

(3)lim/(x)不存在，因为/(O-)

2.如图1-9所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？

(1)lim于(x)不存在

x->0

⑵lim，(x)=°

xf0

(3)lim/(x)T

x-^0

⑷lim/。)=°

x->l

◎)叫/(x)不存在

⑹对每个x°e(—1,1),lim/任)存在

解.

■ms匚/(0)的值无关，

(1)错，hm/QO存在与否，与

x―>0

事实上，lim/(x)=0

犬-0

(2)对，因为/(0+)=/(0一)=0

(3)错，崂/(X)的值与/⑼的值无关

(4)错，/(「)=0,但/(「)=_],故不存在

x->l

(5)对，因为/(「)wy(r)

(6)对

3.对图1-10所示的函数，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的

FS1-io

(1)lim/(X)=1

(2)limf(x)不存在

(3)limf(x)=0

10

(4)lim/(x)=1

x—>0

(5)lim/(x)=1

(6)lim/(x)=0

(7)limf(x)=0

x—>2

(8)lim/(x)=0

x—>2

解:

(1)对

/(X)无定义

(2)对，因为当X<—1,

(3)对，因为/(0+)=/(03=0

(4)错，四;/(X)的值与/(0)的值无关

(5)对

(6)对

(7)对

(8)错

X=忖，当X—0时的左右极限，并说明它们

4.求/(x)二一，9(元)

XX

在x->0时的极限是否存在

解：

limxx

一°*/(x)=lim—=Lhmy(x)=lim-=1

k-x%-0龙一>°x

因为limf(x)=1=lim/(x),所以lim/(x)=1

x->0*x-»0-xf0

lim叭x)=lim出=lim)=1,lim(p(x)=nmW=lim士=—1

Xf0,x->0+xXf0+Xx->0-Xf(TXxf(TX

因为lim0(1)wlim°(x)所以lim9(x)不存在

Xf0+xf(Tx-»0

5.根据函数极限的定义证明:

(l)lim(3x-l)=8;(2)lim(5x+2)=12;

x-^2

工-A

3X2-4l-4x2

(3)lim-------=-4;(4)lim=2

x+2X+2f：2x+l

解：

(1)因为

(3x-l)-^=|3x-9|=3|x-^,

£S

要使|(3x—l)_8|<£,只要所以V£〉0,取3=

则当0<|x—3|<b时，就有|(31_1)_8|<£，BPlim(3x-1)=8

(2)因为

|(5X-2)-12|=^_10|=5^_^

要使|(5X+2)gl2卜£

只要[x—2]<—，所以D£>0，取"=—,则当°<x—2<5时,

就有|(5九+2)—12<g

即lim(5x+2)=12

x—>2

(3)因为九一》—2,xw—2,

f-4—(―4)=|x-2-(-4)|=|x+2|=|x-2)|,

x+2

f—4

要使-(-4)<£,

x+2

只要卜一(一2)|<£,所以\/£〉0,取£=5,

则当0<卜_（_2）<5时,

12-4

就有-X------（—4）<£,

x+2

f—4

即lim-—-=-4

xf-2x+2

11

（4）因为X——,XW——

22

1-4?一1

2x+l2=1-2x—2—2x—（一）

2

加/士1一4厂二

要使--------2<&

2x+l

只要X—（—二）<刍，所以V£>0,取b=_,

222

1

则当0<%一（一5）<§时，

2

就有^1—-4%—~2<£,

2x+l

1-4X2

即lim--------=2

2x+l

6.根据函数定义证明:

⑴lim占L=J；（2）lim占:=0

证:

1+x3=-----1+x3

⑴因为才223‘要使=5

1

>巨占，所以VE〉0，取X1

只要——工<£，即则

2x'H恒

1+入311+VL

当网〉X时,就有1+X-_<g即hm-----二

2?2X—82x'2

(2)

因为

sinx

于°

sinx八11

要使<£,只要<£,即X>——，所以Ve>0,

sinx八.sinx

取X―,则当X>XH寸，就有—-0<£,即nrih1m=0

JXX—>+8

7.当Xf2时，y=_?—4问5等于多少，使当上一2<5时,

y-4|<0.001?

解：

由于xf2,

x—2190,不妨设1―2]<1，即l<x<3

要在¥抬_4卜|x+2||x-2|<5|x-2|<0.001,只要

cl0.001八iC

x—2<-------=0.0002

15

取5=0.0002,则当0<x—2<。时，就有/一4<0,001

x2-l

8.当％Too时，y~----—>1问X等于多少，

X2+3

使当Fpx时,y-\<0.01?

解：

-T-1<0.01,

2

因为X—1—1=_d—<土，要使f+3

X2+3X2+3x2

4

只要二<0.01,即工〉20,取X=20,

则当网>X时，就有1]<0.01

9.证明函数/a)=x当1->0时极限为零

证：

因4工一0=x=%—0,所以VE〉0,取5=

则当0<x-0<b时、就有x-0<£,即lim=0

x->0

10.证明：若XT+00及X->—00时，函数/W的极限都存在且都

等于A,则lim/(x)=A

X-»oo

证：

因为lim/(x)=A,所以\/e>0,mX]>0,当x>X1时，

X-»+OO

就有「(、)一A卜£

又因为lim/(%)=A,所以对上面的g>0,mX。>0,当Y<—X2

X—>一00乙乙

时,就有/任)_®<£，mX=max|X1,X2p则)>X当,

即X或x<—X时-，就有/W-A<£即lim/(x)=A

11.根据函数极限的定义证明:函数/(%)当％T与时极限存在的充

分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等

证：

必要性，若lim/(x)=A，则\/£>0习5>0当0<卜_/|<5

时，就有

特另U,当0<x—/<5时，有|/(工)一臼<£,即lin"(x)=A；

当0</一时，有|/(x)—A|<e,即lim/(x)=A

'Xf石

充分性，若!典/(X)=A=!山/(X),则\/£>0,3^>0,

00

当0<%—/<5用，就有|/(X)—A|<£；又地〉0

当0</-x<5时一，就有f(x)-A<£即lim/(x)=A

XTXo

12.试给出Xfoo时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明

解：

局部有界性定理，如果lim/(x)=A，那么存在常数M>0和

X->00

X>0,使得当#|〉X时，有|/(x)归M

证明如下：因为lim/(x)=A,所以对£=1>OJX>0,

X—>00

当网>X时,就有|/(%)_川<1，从而

|/«|<|/(x)-A|+|A|<l+|4|

mM=|A+l|,即有当N>X时，|/(x)|<M

习题1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。

解：

不一定，例如。(x)=2x与，(x)=3],都是当％—>0时的无穷小,

a{x)2

但-----二—却不是当XT0时的无穷小

伙X)3

2.根据定义证明：

X2-9

(Dy=—1为当3时的无穷小

x+3

1

(2)y=xsin_为当xf0时的无穷小

证：

(1)

>0,取b

因为X2-9

二x—3,所以VE

x+3

则当U<

X2-9<s

<5时,就有

x—3x+3

2

X-9

即------为当xf3时的无穷小

x+3

(2)

1

因为xsin—所以\/£>0,取b=则当0<口<5时一，

就有xsin_<£

x

1

即xsin—为当xf。时的无穷小

x

1+2x

3.根据定义证明：函数y=为当xf0时的无穷大，问x应

满足什么条件，能使卜|〉104?

证:

11

只要——2〉M,即卜<,所以VM>0,取5=-----

M+2M+2

则当0<,一0|<b时，就有

1+2x

即------为当xf0时的无穷大

x

令用=1()4,取5=一!一当0<x—0<一1一时,

104+2104+2

1+2x

就能使>104

x

4.求下列极限并说明理由

⑴lim±];(2)limll三

Xf8xXf°X

解：

(l)lim2x+1=lim(2+J)=2

x->ooxxfooL%

1

理由：由定理2,—为当X->8时的无穷小;

X

再由定理ilim(2+—)=2，

ZOOX

1-x2

(2)lim------=lim(l+x)=1

xf°1—Xx-0

理由：由定理1,lim(l+x)=l

x->0

5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:

/U)T4/(«)—•«/(x)—»♦«

Vff>0,36>0,VW>0.3«>0,VW>0.36>0.Vw>0.36>0,

使当Ovlx-/l使当0<Is-%l使当0vlx-x.l使巧0<1X-X,1

1分

(6时.即有<6时,即有<6时,即有<6时.即有

1/(x)-A1<<.1/(«)1>,V./(1)>.V./(1)<-V.

Vr>0,35>0.vw>o.aa>o.Vif>0,3^>o.VV>0.3^>0.

使与0<x-*.<使当0<x-x.<使与0<A・2<使当O(x・*o<6

B时,即有6时.即有s时.即仃时.即有

l/X«)—A1<g.1/(x)1>.W./(4)>W.f(x)<-W.

Vr>0,34>0.Vv>0.3^>o9VM>0.3A>0.Vw>o.3^>0.

使与0>x-*.>便当0>M-X.>使叶0>工-%>使与。>X-、•>

nJ

・6时.岬有・6时,即有-6时,即有・6时,即〃

1/(«)-41v，.l/U)1/(«)>V./(1)<-W.

Vr>0,3X>0tVW>0,3X>yv>o.3x>Vw>0t3X>ot

便当1相>X时.0,便'J1>X0,使当J1>ttt!ul111>l时.

寓一♦00

即标时,即有时,即“即“

1/(«)-A1<r.1/(1)1>M.[{»)>"/*(!)<—,l/»

Vr>0.3.V>0.VW>0,3*>VV>0.3X>Vw>0.31>0.

使**>X时.。,使当■>1时.。,使HK>1时.便与，>1时.

«—♦♦to

即“即神UPll即“

1/(«)--41<1/(x)1>M.fix)>V./(«)<-W.

V*>0,3X>0.VW>0.3X>VV>03.t>

<VV>0.3X>0,使

使与x<-X时.0.ftM11<・'。.使与X«-X

1-♦-toT»<-1时,卿“

即“时,即“时,即W

/(a)<-w»

1/(«)-41<r.1/(«)1>M,/(«)>V.

6.函数y=COSX在(-00,+8)内是否有界？这个函数是否

为％->+8时的无穷小？为什么？

解：因为V"〉0,总有/£(知，+00),使COS%0=1,

从而y=x()cosxo=x0>A/,所以y=cosx在(—oo,+oo)内无界

又因为VM〉o,x〉0，总有/e(X,+8),使cos/=0,

从而y=/cosx0=0<M,所以y=/(x)=xcosx,

不是当x-»+8时的无穷大

1.1

7.证明：函数y=—sin—在区间（0』］内无界，但这函数不是

Xf。十时的无穷大

证：

1.1

先证函数y=_SH1_在区间（0,1］内无界

因为〉0在（0,1］中总可找到点如使/（/）>用，例如‘

1n

可取x=______（keN）,则/（x）=2公r+一，当女充分大

oKo

2kn+2

2

11

时，可使/（%）>M，所以y=_sin_在（0J］内无界

再证函数不是Xf0+时的无穷大

因为WM>°石>0总可找到点%,使0<%0<§,但/（见）〉",

例如，可取与——(kGN),当女充分大时，0<%0<5

ZKTI

但/(%)=2Z/rsin2%乃=0<M,

11+

所以y=一sin—不是1.o时的无穷大

XX

4

3•"生/W_____的图形渐近线

8.求函数Jr

z-X

解：

因为lim/（x）=o,所以）=0是函数图形的水平渐近线

因为lim/(x)=oo,lim/(x)=8,所以工=一，5

x—X—

及工=都是函数图形的铅直渐近线

习题1-5

L计算下列极限；

(l)limX~+5：⑵limY-3

Xf2x-3z夕+1

x~—2x+1—2x=+x

⑶lim--——;(4),3f+2x

jx-1

/c「(x+h)—-广(6)lim(2-2+Jj；

(5)lim

1

7?5)hXf8XX

(7)lim,7;(8)lim户.；

x*2x-x-1x^x-3x+1

⑼limW-6X+8：(io)lim(l+1)(2—L；

-2-700-2

x.4元—Qx+]4]XX

(11)lim(l+_+_+

2242”

1+2+3+…+(〃-1)

(12)lim

RT9

(〃+l)(〃+2)(〃+3)

(13)lim-----------------------

n->oo

13

(14)lim(-)

3

Xfll-x1-X

解：

2

(1)lim丫2slim(x-3)

_______XT73_n

2

x—>2x-3lim(x+l)

X2-30

⑵lim=0

X”x2+l4

if—2x+1].x—1八

(3)hm-----------=hm------=0

2

X-1X-lX―1X+1

2

(4)lim4f-2/+x=lim(4x-2x+l)^£

2

x-03X+2Xlim(3x+2)2

xfO

(5)lim«+')[X-=lim(2x+h)=2x

/i—>0h/z—>oo

(6)lim(2-2+J_)=lim2-limj-limj_=2

2

Xf8XXX.8Xf8XXf8X2

2lim(l-lj

(7)lim%-1_x-00],2_1

xt82x"-x—\lim(2——__)2

2

Xf8XX

l「im/(1_+A1、

(8)limx+工二xfsJx=0

42

Xf00x—3x+1~~I*\

hm(l——

x->oox

x~—6x+8(x—4)(x