高等数学无穷级数习题及解答

练习11-1

1.写出下列级数的前五项:

(i)y1+72•

解yl±^l±Ll±ll±ll±£l±l...

£1+/=1+12十+1+22+[+32+1+42+1+52+

=1-1—,3.4-.--5---.--6--H,….

5102637

001・3…(2〃-1)

⑵Z

n=l2.4…2H

解13135卜35713579

424-2〃-22424624-6-8246810

=—1.3.15,-1-05--,-94-5-F.….

28483843840

00

⑶Z(-尸

n=l5n

□c尸=

解z-(-111111

Zl=l5〃~552535455

_1

5251256253125

00I

解£旦=%W+不当圣…

占胪I122334455

=—1,---2---,1----6-----,1----2--4-----|.----1--2---0----.1-•••

2.写出下列级数的一般项:

(1)1+；+]+：+…；

解一般项为t

(2)2_34_56___.

1\2345'

解一般项为〃〃回

n

⑶五।X।X五，

方24246246・8

解一般项为许4

(4)生2_/3+贮4，5

「3579

解一般项为〃〃=(7)"T1^g

3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性:

00_______

(i)£(Vw+i-Vw)；

〃=1

解因为

z/=(V2-Vf)+(V3-V2)+(V4-V3)+…

=(J〃+l-VI)->00(〃—>00),

所以级数发散.

1

'3-55-7(2,—1)(2〃+1)

解因为

1111

T5^7(2〃一1)(2〃+1)

=2(H)+2(3-5)+2(5-7)+***+2

2〃+1)

11

)

2'1335572/7-12/7+1

=:(1-.⑼,

22/7+12

所以级数收敛.

⑶sinJ+sin?+sin考+…sin华

6666

解s〃=sinJ+sin率+sin¥~F…sinH7T

666~6~

--------(2sin^-sin—+2sin—sin红H----F2sin々sin—

2s呜“6126126

——[(cos*-cos曾)+(cos蒋-cos需)+…+(cos专

2sin匹12121212-

12

乃____2/7+1

——!——(coscos不）.

2si哈1212

因为limcosg?乃不存在，所以lims〃不存在，因而该级数发散.

〃T812//—>oo

4.判定下列级数的收敛性:

⑴4+*部…+（T）嗯+…;

解这是一个等比级数，公比为q=—于是团=5<1,

99

所以此级数收敛.

（吗+坛+…+如…;

解此级数是发散的，这是因为如此级数收敛，则级数

V1ULJI,4.14-A

二＞一=3(—4--+—H-----J----F…)

勺〃3693〃

也收敛，矛盾.

吟珏*…

!

解因为级数的一般项%=表=3〃一oo).

所以由级数收敛的必要条件可知，此级数发散.

(4)。+二+号+一・+义+…;

222232〃

解这是个等比级数，公比夕=］〉1,所以此级数发散.

(5)(»如/)+(玄+J+…+(/+/*•••

8100

解因为z:和z-1都是收敛的等比级数，所以级数

〃=12〃=]3

尤(，+[=(4%(上+1)+d+4)+…+J+A+..

£2〃3〃23223223332〃3〃

fl-I

是收敛的.

练习H-2

1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的W

敛性：

⑴1+；+]+…+(ii)+

］

解因为［而级数£］发散，故所给级数发散.

…12柳〃

n

(2)1+1+2一+…+Jt/L+….

("1+22+1+32++1+/+，

解因为〃=上马>上4=上而级数发散，

1+/2-〃+〃-n

故所给级数发散.

(3)——-1--!—-1--1-----------1■…•

172-53-6(〃+1)(〃+4)'

]

解因为1而如单生=lim21而级数之工收敛

〃->8]/I—>oon《+5〃+4，力产

〃2

故所给级数收敛.

(4)s呜+sin今+si哮+…+si喘

乙乙//

・71•71

sin—sin—

解因为lim—i-7tlim---2_=乃,而级数收敛,

w—>x1/7—>ocZT

F

故所给级数收敛.

X1

(a>0).

⑸En

n=l\+a

解因为

100<6f<l

lim1+“"二lim，—=/=<!a=l,

an1«>1

而当a>l时级数£J-收敛，当0<a<l时级数£_L发散,

“=逐〃〃=1々〃

所以级数8占1备当。>1时收敛，当031时发散.

2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性:

1-22-223-23〃-2〃

解级数的一般项为与=工.因为

“〃・2〃

lim—

〃一>81(ni(〃+l)-2〃+i3〃—2〃+l2

所以级数发散.

oo2

⑵年

〃=1D

解因为lim殳旦=lim然44=lin4(@)2=[<l,

〃TOOu,i〃—>83〃tiw—>oo3n3

所以级数收敛.

⑶玄等;

n=\n

2〃+L(〃+l)!M

解因为lim%=lim=2lim(—)W=-<1,

"TOOUn//—>00(〃+l)〃+i2〃・〃!〃一>oon+ie

所以级数收敛.

⑶为tan帚.

n=l乙

7T

(〃+l)tan券也三二1

解因为lim皿=lim------------——=lim

〃一兀〃一》oc71，

w—>ccUn>ocntann2

2^

所以级数收敛.

3.用根值审敛法判定下列级数的收敛性:

解因为limW；=lim4r=4<1，所以级数收敛.

/?—>X2〃+12

(2)8y——11-—；

解因为!里疯二，吧而所以级数收敛•

⑶f(士)2〃T；

H=13”1

解因为

2//-1

lim^=lim(—^―)n=lim--------

>xw—>xJw-l12——

(3—)〃

n

1

=lim—,------<1,

〃r32-e3

->832-〃-,.(一12)-〃-

3〃

所以级数收敛.

%A

(4)X(2)",其中8),a〃,b,a均为正数.

〃=i

解因为lima=limh_h

>oc〃―>oca「a

所以W|h<a时级数收敛，当b>a时级数发散.

4.判定下列级数的收敛性:

⑴1+2(32+3号>+…+呜)〃+…;

解这里un=〃（》"，因为

m+i心〃+i

〃+133j

lim皿=lim9一=lim

”->8n4

〃focUn8呜)〃

所以级数收敛.

I4.24.34,“

⑵ir+才寸…+市+…;

解这里许=々，因为

tv.

lim^±L=lim少父_£=limL(/l±l

)3=0<1,

〃一>ocUnn—>x(〃+l)!〃一>ocnn

所以级数收敛.

(3)£H.

与5+2)

〃+1

解因为lim=3=lim"=l,而级数玄』发散,

〃一＞00＞00fl+2

n

故所给级数发散.

⑷力〃sin条;

n=\J

2〃+，壬2«+1兀

解因为lim---------匕=lim=2

10c2〃sin工…2n~

3〃3〃

所以级数收敛.

+••••

解因为lim〃〃=limj卷』二1工0,

/?-»X

所以级数发散.

(―----+…（Q〉0,b〉0）.

na+b

解因为〃=_二＞JJ_,而级数金』发散,

na+ban

故所给级数发散.

5.判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是

条件收敛？

⑴味―，;________________

解这是一个交0错c级g数e其中1〃〃二。1

〃=1n=\S

因为显然〃„,并且lim〃,尸0,所以此级数是收敛的.

OCOC1

乂因为是P<1的P级数，是发散的，

〃=1〃=1V

所以原级数是条件收敛的.

(2)火(-1)1券;

〃=13

0000

解Zl(-i尸和江

n=\37/=1°

〃+1

因为lim上=4<1,所以级数£告是收敛的,

…口_3怠3〃T

3〃-1

从而原级数收敛，并且绝对收敛.

⑶--1.J-+….

1132322323324'

解这是交错级数£(-1产《小，并且£i(-i)〃飞力=暮•二

n=\J2n=\J2n=lJ2

因为级数是收敛的，所以原级数也收敛，并且绝对收

〃吊2

⑷上Yr焉Yr-

解这是交错级数大一1)〃％=£印二，其中〃〃1

ln(〃+l).

因为〃〃Hwi,并且lim〃“=O,所以此级数是收敛的.

/I—＞00

又因为用而级数I舟发散,

故级数£i(-1)〃-%〃1=£1二发散，从而原级数是条件收敛的.

n=\〃=Jn(〃+l)

⑸身(-1产2n2

n=\n\

解级数的一般项为〃〃=(-1)〃+12丁.

〃！

因为lim%曰im与=Hm华=lim丝2r当2〃2〃2〃

,•.，一

〃一＞00〃一＞8〃！〃一＞00〃！〃一»8nn-\n-2321

所以级数发散.

练习11-3

1.求下列嘉级数的收敛域:

(1)X4-2X2+3X3+…•+“工〃+…;

解lim111=lim生把=1,故收敛半径为R—1.

〃一＞8an〃T8〃

因为当x=l时，虚级数成为，〃，是发散的；

”=1

当X=_l时，辕级数成为£(-1)〃〃，也是发散的,

n=\

所以收敛域为(-1,1).

2-n

1

解lim|也|=lim绰匚=lim—^=1,故收敛半径为H=1

"TOOQW-＞001〃一＞8(〃+l『

n2

因为当工=1时，幕级数成为£(-1)〃!，是收敛的；

n=2〃

当工=_1时，幕级数成为1+8z1L,也是收敛的，

〃=1〃“

所以收敛域为

23n

XXXx

(3)tt

22-42462・4・・・(2〃)

2〃•川1

解lim4出|=lim•=lim二0,

Q，i2"+i-(〃+l)!“TOO2(〃+1)

故收敛半径为尺=+8,收敛域为(-8,+30).

xX2X3炉

(4)百十方+百

解lim|^L|=lim——~=^,

〃fg%〃->8(〃+1).3"〃fc3〃+13

故收敛半径为R=3.

因为当m3时，募级数成为和L,是发散的；

当x=-3时，累级数成为次也是收敛的,

〃=1〃

所以收敛域为［-3,3).

2*202332〃”

(5)-x+—x-+—x3+---+^--^+^-;

2510丁+1

解［im―上±l=21im—^^一

an〃->8(〃+l广+12〃(〃+l)~+l

故收敛半径为R=；.

因为当时，虚级数成为:t士，是收敛的;

2«=pr+l

当x=-l时，幕级数成为£(-1)”［二，也是收敛

〃=1〃~+1

所以收敛域为［_)畀

工2〃+1

⑹元(-1)〃

n=\2^+\

解这里级数的一般项为〃〃=(-1)〃手石.因为

I-〃〃+lI1-X2rt+32/7+12

hm3|=hml=/,

W—>X〃〃〃一>82/7+3xz//7r*1

由比值审敛法,当一<1,即㈤<1时,由级数绝对收敛;

即凶>］时，事级数发散，故收敛半径为R=l.

因为当X=1时，幕级数成为才(-1)〃丁二，足收敛的;

〃=12/7+1

当工=-1时，基级数成为Z8(T)T.1,也是收敛的，

S2/7+1

所以收敛域为

（7）Z笫1口-2；

n=\Z

解这里级数的一般项为/=2F〃一2.因为

n2”

lim|土昨lim|伽；『.：；|二#,

〃一＞“〃〃〃一＞82〃+i（2n-i）x-n~£2

由比值审敛法，当;必＜1,即HR媳时，募级数绝对收敛；

a|x2＞l,即|工|＞应时，界级数发散，故收敛半径为H=后.

因为当X=土应时，箱级数成为是发散的，

n=\2

所以收敛域为（一,啦）.

喊空.

〃=1VW

解lim|a,,+l|=limn-=1,故收敛半径为H=l,

〃fxan

即当时级数收敛，当归一5|＞1时级数发散.

因为“x_5=-1,即x=4时，塞级数成为七甲，是收敛的;

〃=i7n

当工-5=1,即x=6时，基级数成为是发散的，

n=l\ln

所以收敛域为［4,6）.

2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数:

⑴元屁I;

71=1

解设和函数为S(x),即S(X)=£〃X〃T,则

〃=1

S(x)=[j()5(.*/灯=[[)'=nx,l-}dx]

W=1〃=1

二哈上[廿『土

8丫4〃+1

(2)Z;[；

h4〃+1

解设和函数为期）,即W2黑，则

sa）=s（o）+CU3熊黑X

心丫=CI”"

〃=1

=P(—!~y-l)dl='(-1+!•一+'—dx

Jo'14Jo\21+x221-二x2)

=-^lnp^+^arctanx-x(-l<x<l).

提示：由£s'(x)公=S(x)—S(0)得S(x)=S(0)+j；S'(xWx.

■+丫3*尹v-5••+急丫2〃-1

解设和函数为S(x),即

82w-l35

S(x)=Y-v-=x+—v+—v+•••+--+…，

's2/7-1352n-\'

则S(x)=S(0)+£SUm=J；区=£fx2〃-2dx

-1n=l

l-xz2l-x

提示：由1；5'«)去=5(工)一S(0)得S(x)=S(O)+［；S'GMx.

练习11-4

1.求函数兀t)=COSX的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收工

于这函数.

解因为/(")(工0)=COS(X0+«-y)(/l=1,2,•••),所以加)在Xo处在

:2

/(x)=cosx0+cos(x0+y)(x-x0)+^^^(x-x0)+•••+—

cos[xo+e(x-Xo)+券P(XT。产庭吟S(0口

因为|&(幻目

07+1)!

而级数与M总是收敛的，故岫

hv-^r=0,从而lim\R

(〃+1)!〃T8

因此./(X)=cos/+cos(Xo+多任一%)+c°s(4+")(X—玉)2+•..+,

4W

2.将下列函数展开成x的寤级数，并求展开式成立的区间:

zjXQ-X

⑴Shx=心";

oo丫〃

解因为炭=2(一00<X<◎,

〃=0几

110c丫〃X-n

所以shx=*W)二寮ZZ(-1)〃Y一]

22〃=on,〃=0n.

100Mg

(-00<X<00).

2念L」」用念(2〃T)!

(2)ln(a+x)(a>0);

8丫〃+1

解因为ln(l+x)=£(-l)〃J(-l<x§),

〃=o〃+1

所以ln(6z+x)=ln(7(l+—)=lnt/+ln(l+—)

aa

=\na+.(-D〃W；(

岔〃+l'/总(〃+lW用'<x<a).

(3H；

8n

解因为e*=(70<x<℃),

〃=o〃！

xx\nax£(xlna)〃二)(lna)〃

所以a=e=e=

〃=o〃！〃=o〃！

(4)sin2x;

解sin2x=i-icos2x,

ooJin

COSX=Z(T)〃7^(-8<x<8),

〃=o(2〃)！

-xn2w-lJin

所以sin2x=i-i£(-1)〃(2x)2〃

(—oo<x<oo).

2L〃=0(2/7)!甯t)F

(5)(l+x)ln(kx);

ocY〃+l

解因为ln(l+K)=£(—l)〃J(-1<V<1),

〃=o〃+l

XY〃+l

所以(l+x)ln(l+x)=(l+x)£(—l)〃J

〃=o〃+l

oc丫〃+100丫〃+2xY〃+lX.丫〃T

=X(T)〃+T+Z(T)〃+T=X+Z(-I)〃+T

2呜

,+1nj•含〃(〃+1〉

(6)X

Jl+F

QC

解因为日产(2/7-1)!!丫2〃

=1+Z(-1)〃wV(-Kv<l),

n=\(2/7)!!

J2H-1)!!丫2〃+1

所以-JL==x+Y(-^“I

Vl+x2n=\(2〃)!!

=工+£(-1)〃^^弓)2〃+1(-1^V<1).

3.将下列函数展开成。-1）的幕级数，并求展开式成立的区恒

(1)7?；

解因为

(1+x)m=1+mx+------x-+…+----------------xn+-

2!n\

_3

所以7x3=[l+(x-l)]2

-}1)1)—(三一〃+l)

二]+*T)+^~^j—(1)2+…-------------(X-

22!n\

即由=1+*一1)+凸(1)2+.••+31(-叱：)；(5-2〃％_

上术级数当x=0和x=2时都是收敛的，所以展开式成立的区

(2)lgx.

InlOIn10InlO^rjn

即怆工二』£(T)I止?(0<x<2).

InlOMn

4.将函数斤)=cosx展开成(x+9的嘉级数.

解COSX=COS[(X4-y)-y]=COS(X+y)COSyi-sin(x+y)siny

=^-COS(X+ysin(x+y)

=l1yX(一1)〃（喈）明孚后晶产冗犷\2〃+1

2念(2〃)!

1X△

1(X+y)2，，4(X+y)2n+1](-00<X<

Z〃=o(2〃)!(2〃+1)!

5.将函数f(x)=1展开成(x-3)的嘉级数.

X

x34-X-33]।x-33司33

即i=1t(-1)w(^r(o<x<6).

X3〃=o3

6.将函数fa)="—展开成(x+4)的幕级数.

x2+3x+2

解f(x)=-............=---------

广+3x+2x+1x+2

1111w

而==-1z(^)(i

x+l—3+(x+4)3।x+4Jn力==0。3

亍

1=g(x+4)〃

—

即而一念3〃+i(7<x<—1);

1二1二11二1专产4Hl。,

x+2-2+(x+4)2]，+42〃=o2

]_q(x+4)〃

即^+2=~h2W+1(—6<x<—2).

q(x+4)〃,fU+4)»

因此f(x)=1

x2+3x+2石3川念2〃+i

啕*小)(x+4)〃(-6<x<-2).

练习11-5

1.利用函数的器级数展开式求下列各数的近似值:

(1)山3。吴差不超过0.0001);

解ln1^-=2(x+^-x34-^x5H---1--x2z,~1+•••)(-

\—x352w_1

14-1

In3=「=2(，+L至+…+罚•行

1-2

又|r\=2[------------------------…]

5L(2〃-1)・22〃T(2W+3)-22W+3」

2+(2〃+l)=2〃+i+(2〃+1>22〃+I

=(2〃+l)22〃+iRL+(2〃+3>22”+3+(2〃+5),22〃+5

,1.1.、1

<,-----------2-----------(nIH-------+-----+•••)=-------------------------

(2«+l)22w+,22243(2u-l)22n~2

故伉l<一^^0.00012,\r.\<—「=0.00003.

1'13-11-28J151313-210

因而取〃=6,此时

In3=2d+L3，+L"

43235257279*+十击）

（2）五（误差不超过0.001）;

11,

解ex=l+x+—x^04-------x,1+•••(-co<x<+oo),

2!〃！

=1+!+?.^-+....

22!22〃!2〃

11.11

由于%一(〃+1)「尹+(〃+2)!’尹

」□+1„+__1_____L…

〃!.2"〃+12(〃+2)・(〃+1)22

<□」1

用2〃113•雄2〃一2'

1-4

故r4=——!~»0.0003.

43-5!-23

因此取n=4得

八七1+1+\4+[，+].4引.648.

22!223!234!24

(3)^522(误差不超过0.00001);

解(1+D〃=1+g+风分工2+,・・+蛔土警©v+一

/*・/1•

V522=2(l+-^),/9

川+1阴4

92992-2!

由于0贤0002170，岛喘2，0.000019,

故V522=2(1+0.002170-0.000019)«2.00430.

(4)cos2。(误差不超过0.0001).

r2r4r2n

解cosx=l-^-+^----+(-1)〃卜…(-8<%<+8),

(W

246

cos2°=cos—90=1-—2!•((—90))+4—!•((—90))6-!—(•9(—0))+--«,

由于L(三)2p6xl0-4_1.(三)4sBi0-8

2!90，4!、90'

故COS2°«1--(^)2-«1-0.0006=0.9994.

2!'90

2.利用被积函数的幕级数展开式求下列定积分的近似值:

(1)，51公(误差不超过0.0001);

J。1+x

解£1।彳去=£5[1-X4+必"2+•••+(_])"工4〃+…物

=(A*+*―号13+…谓.5

Jy1J

111J_1L__L_L:

252592913213

因为0.00625,1.^«0.00028,-L--L«0.000009,

\rO.51411-1"+士1—104940.

所以Jo1+x42525929

(2)『a©anx公(误差不超过0.0001).

解arctanx=x-\x3+45---4-(-l)w-!--x2w+,+•

352n+\5

「5处叫人”卜2+)一..+(_i)〃1

x2/I+••-]dx

JOxJo352n

卜=#+/*，+…)d

-1--1•--1--,•--1—-1_1•1-4-•,••

292325254927

因为|^«0.0139,表•菟*0.0013,看｝

所以心啜3篇+=9。487.

3.将函数e'cosx展开成x的幕级数.

解cosx=；(e"+e*),

eAcosx=ex+6-")=，[4"')+e"D]

=蛀""七号八茏吗

Nn=0几〃=0几/〃=0几

匹一匹

因为1+，=后9彳，17二缶一彳，

nm冬m兀nn.y

所以(1+，)〃+(1-，)〃=2可/才+//^"]=22(2cos—)=22cos—.

44

n

x22cos—n7l

因此eAcosx=V--------xn(—oo<x<+oo).

M加

练习11-7

1.下列周期函数小)的周期为2耳试将儿丫)展开成傅里叶级娄

如果/(x)在[-乃，力上的表达式为：

(1)/(X)=3X2+1(-^<x<^);

解因为

22

6/0=—f(x)dx=—[^(3x+l)dx=2(7r+1),

乃J一行.冗、一冗

]1

an=—f(x)cosn7rdx

乃J-乃’

=—[(3]2+1)cos〃mix=(-1)"耳(n=1,2,•••)

zrJ一无〃一

I”.

b=—/'(x)sinnjrdx

n7TJ-4,

=—(3x2+l)sin/7^Zr=O07=l,2,•••),

冗、F

所以4t)的傅里叶级数展开式为

e(-iv

/(x)=/+1+12——-^―COS77X(-8Vx<+00).

〃=1〃

(2)./W=e"(--<乃)；

解因为

2x

tz0=-rf(x)dx=-^eclx=,

九、-兀2乃

]r兀

a=—/'(x)cosnndx

n7tJ-”’

1F2vJ2(-1)〃(标点一0一2乃)

=-elxcosn7idx=---------------(n=1,2,•••),

汗J-江(〃-+4)江

b=—/'(x)sinn7idx

n7TJ-k

=1sinnndx=(〃=1,2,…)，

乃Jr(川+4)乃\，，八

所以大Y)的傅里叶级数展开式为

„『兀一?一2冗13(_])〃

f(x)=--------[4+V=——(2cos〃工一〃sin几丫)

兀4念〃2+4

(x-(2〃+l)得H=0,±1,±2,…

⑶/㈤七:高鲁明人为常数，且〜9

解因为

a。=­jbxdx+—^axdx=^(a-b),

］f°［严

an=—Jbxcosnxdx-{"一］)axcos〃工陶

b-a

7口一(一1)"(〃=1,2,…),

KT兀

1r°・］产.

b,=~\bxsmnxdxH■—a.vsinnxdx

〃冗Jr兀JO

=(-1)〃+3(〃=1,2,…),

n

所以,/U）的傅里叶级数展开式为

jOC1

(1—(—1)〃］(j)(-ir(Q+b)sin〃x}

/(x)=5a-8)+£{COS/7.V41

4M=1H27T

),±1,±2,—

2.将下列函数加）展开成傅里叶级数:

(1)/(x)=2siny(一胫丫＜力;

解将人工）拓广为周期函数F（x）,则2工）在（-《力中连续，彳

工=±m'即断，旦

:尸（一乃一）+歹（一万+）件〃一乃），半尸（乃一）+/（乃+）］工/（乃），

故Rx）的傅里叶级数在（-石都||收敛于府），而在工=士乃处/（X）的］

里叶级数不收敛于'/U）.

计算傅氏系数如下：

因为2s呜（-乃。＜乃）是奇函数，所以a〃=O（D,1,2,…),

bn=—\2sin丁sin4Y=—J［cos（--/7）x-cos（-+n)x]dx

=（_1）〃+L-^_^（"=1,2,…）,

719〃2一1

所以外制=国5支（-产至瞥（-乃《＜乃）.

乃念9/〃一1

⑵/(%)=:-^■<x<0

0<X<7T

解将./（上）拓广为周期函数f（工），则尸（工）在（-区力中连续,彳

X=土力诃断，且

；［尸（一不一）+2—乃+）］*/（一切，尸（k）+F0r+）］w/（幻，

故义工）的傅里叶级数在（-不乃）111收敛于/"）,而在工=±乃处尸（x）的1

里叶级数不收敛于./（X）.

计算傅氏系数如下：

1=珂』excosnxdx+J。cosnxdx]=喏”之…）,

x

hn=—[Jesinnxdxsinnxdx]

,｛国土单口+匕当（42,…）,

711+/n

所以/（林1^/

1一（一1）5d+匚哗誉二+号与而阳

+N1+/

（-7r<x<7.

3.设周期函数作）的周期为2名证明正）的傅里叶系数为

。〃二L「"/（x）cos〃xdx（〃=0,1,2,…），

4JU

b=~\^f（x）sinnxdx（n=l,2,…）.

n乃JU

证明我们知道，若人工)是以/为周期的连续函数，则

的值与。无关，且=

因为./W,cosnx,sin均为以24为周期的函数,所以於)co

f(x)s\nnx均为以24为周期的函数，从而

|en|「一力+2%..

aH=—J/(X)cosnxdx=—J/(x)cosnxdx

12外

f(x)cosnxdx(A?=1,2,

万Jo

；r

同理hn=-^jj/(x)sinnxdx(n=l,2,•••).

4.将函数/a)=cos.(-力展开成傅里叶级数:

解因为f(X)=COSy为偶函数,故bn=0(n=1,2,••),而

a,,--1产cos—XcosnxJax=—2pcoxs—cos/?xti,v

〃乃2万Jo2

1/11

=—[cos(--n)x-cos(—+n)x]dx

%Jo22

,

=(-ir--T4—

714/7--1

由于/(x)=cos^在[-石乃]上连续，所以

cos^=—4--V(-1)//+,-\—COSALV(-7T<X<7:).

2""M4/7--1

5.设/(x)的周期为2万的周期函数，它在［-石力上的表达式运

*

_71_

~2

f(x)=<x-煞，

22

7V—<X<7T

2

将人工)展开成傅里叶级数.

解因为/(%)为奇函数,故4〃=0(〃=0,1,2,…)，而

2

bn=—^/(x)sinnxdx=—[£xsin/ixtZr+j^ysinnxdx\

=---(一---1-)"-+।—2si.n〃-乃-(w/=li,2r,、

nir7t2

又加)的间断点为x=(2〃+l)阳w=0,±1,±2,…,所以

f(x)=£[――+二-sin竽sinnx

M2

(xw(2〃+1)乃,〃=0,±1,±2,--

6.将函数/(力=号(必6)展开成正弦级数.

解作奇延拓得方(上)：

f(x)0<X<7T

F(x)=<0x=0,

[一/(一工)-^<x<0

再周期延拓/任)到(-8,+00),则当X£(0,同时F(x)=/(j

尸(0)=01/(0).

因为〃〃=0(〃=0,1,2,…)，而

bt.=—[^-二乃sinnxdx=—(n=1,2,…)，

〃乃Jo2n

故〃x)=£：sin〃x(0<x«力，

n=\〃

级数在x=0处收敛于0.

7.将函数/）=2?（0幺6）分别展开成正弦级数和余弦级数.

解对危)作奇延拓,则%=0(〃=0,1,2,…)，而

h=—12,sinnxdx-—[(-―??](〃=

n1,2,...),

〃乃Jo冗〃3〃/

故正弦级数为

—)--^r]sin(0。<4),

〃加苗Z）噂nn5

级数在x=0处收敛于0.

对危）作偶延拓,则儿=0（〃=1,2,…），而

&=212x2dx=2乃2,

"4Jo3

2w

afl=—[2xcosnxdx=(-l)(n=\,2,•••),

n乃Jon2

故余弦级数为

f(x)=-1^2+8,(-y~cos几t(0<.v<^).

3n=l〃

8.设周期函数加）的周期为2名证明

(1)如果flx-7r)=-J[x\则7W的傅里叶系数ao=O,A2A-0,b2k=。

(1,2,…)；

解因为

1rn令,=4+工1r27r〃1r2/r

a0=M/(z_^Wx=_lff(t)dt=-a0

71J-/rJIJUJiJU

所以＜70=0.

因为

a、k=—Pf(x)cos2Axf/r"一—『"f(t-^)cos2k(t-7r)dx

71Jr'71Jo,

1eln

=--JofSeos2Hdt=-a2k，

所以a2A=0.

同理—