学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 函数的表示法

3.1.2函数的表示法

【学习目标】

课程标准学科素养

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.1、数形结合

2.掌握求函数解析式的常见方法（重点、难点）.2、数学运算

3.会用解析法及图象法表示分段函数.3、直观想象

4.给出分段函数，能研究有关性质（重点）.

【自主学习】

1.函数的三种表示方法

表示法定义

解析法用——表示两个变量之间的对应关系

图象法用——表示两个变量之间的对应关系

列表法列出——来表示两个变量之间的对应关系

注意：同一个函数可以用不同的方法表示.

2.分段函数

（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的

函数.

（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的;各段函

数的定义域的交集是-

注意：（1）分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.

（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.（3）分段函数的图象要分段来画.

【小试牛刀】

判断正误（正确的打y”，错误的打“X”）

（1）任何一个函数都可以用列表法表示.（）

（2）任何一个函数都可以用图象法表示.（）

（3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.（）

（4）函数而c）=2x+l可以用列表法表示.（）

⑸分段函数由几个函数构成.（）

1

x+LX<1,

（6）函数於）={是分段函数.（）

、x~\3f%>2,

⑺分段函数的图象不一定是连续的.（）

X-l,X>1,

（8）y=|x—l|与是同一函数.（）

、1Xy%<19

【经典例题】

题型一函数的表示法

注意：（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满

足函数的概念.（2）在实际操作中，仍以解析法为主.

例1公司生产了10台机器，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，

分别用列表法、图象法、解析法表示出来.

注意：把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画.

［跟踪训练］1已知函数而以g（x）分别由下表给出

X123

211

g(x)321

(1求g(3))=__________(2)若g(f(x))=2,则x=.

2

题型二函数图象的画法及其应用

注意：作函数图象的步骤及注意点

(1)作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时应先确定函数的定义域，再在定义域

内化简函数解析式，再列表画出图象.

(2)函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与

坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等等.

例2作出下列函数的图象并求出其值域.

2

(1)〉=：,x£[2,+co)；

(2)y=x1+2x,元£[—2,2].

注意：通过“列表一描点一连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域.

[跟踪训练]2画出下列函数的图象:

(l)y=x+l(左0)；

(2)y=A2_2x(x>1或]<—1).

3

题型三分段函数求值

注意：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解.对

于含有多层'了’的问题，要按照“由内至矽卜”的顺序，逐层处理.

(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将炉，脱掉，转化为关于自变量的方程求解.

(3)求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。

「1

一，

1+xx>l,

例3已知函数/(x)=f+i,—上烂1,

、2冗+3,x<-1.

⑴求用区—2)))的值；

3

(2)若/a)=］,求a.

注意：根据自变量取值范围代入对应解析式求值.

x2,—1<%<1,

［跟踪训练］3已知人x)=,-

X>1或X<—1.

⑴画出Hx)的图象；

(2)若人外耳，求x的取值范围；

(3)求/%)的值域.

4

题型四求函数解析式

方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解

析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.

(2)已知五g(x))=/z(x),求火工)，常用的有两种方法：

①换元法，即令/=g(x),解出x,代入/z(x)中，得到一个含/的解析式，即为函数解析式，注

意：换元后新元的范围.

②配凑法，即从4g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示/z(x),然后将解析式中的g(x)

用X代替即可.

(3)方程组法：已知关于次x)与或八一x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式

组成方程组，通过解方程组求出犬x).

例4(1)已知函数於)是一次函数，若/|»］=4x+8,求於)的解析式.

(2)已知火幻是二次函数且满足汽0)=1,>+1)-»=2%,则函数人劝的解析式为.

［跟踪训练］4

(1)已知於)是一次函数，且用⑺)=16L25,则函数於)的解析式为

(2)已知五x)是二次函数，且满足汽0)=1,>+1)-»=2%,求人为的解析式。

5

例5已知函数46+1)=尤+2/+1,求Hx)的解析式;

［跟踪训练］5

(1)已知於+l)=f—3x+2,求火x).

(2)jg+l)=±—1，求火x)的解析式。

例6(1)已知函数凡x)满足W)+/td=3x,求人助的解析式.

(2)已知«x)+纨-x)=f+2x,求於).

［跟踪训练］6»-2/(-x)=9x+2,求段)的解析式。

6

【当堂达标】

N+l,X<1,

1.设函数於)=2।则欢3)]=()

一，x>l,

〔X

1213

A.gB.3C.2D.g

2.y与x成反比，且当x=2时，y=l,则y关于x的函数关系式为()

11

A./y=~xB.y=_x—

3.已知人》-l)=f+4x—5,则人为的表达式是()

A；/(X)=X2+6XBy(x)=f+8x+7

C.»=^+2x-3D；/(X)=X2+6X—10

_x+1,X<1,

4.已知函数人x)=J,,若y(x)=—3,则x=.

、1一厂?，X>1,

ri

~^x—1,x>0,

5.设函数汽x)=<[若汽a)>l,则实数a的取值范围是

一，

lxx<0,

6、作出函数y=;c+l(xez)的图象:

7.已知函数加c)=f—2x(—1W烂2).

(1)画出次x)图象的简图；

⑵根据图象写出火x)的值域.

7

8.已知y（x）=x+Z?,y（以+l）=3x+2,求。，6的值.

9.已知函数Hx)=4a,〃为常数，且存0)满足火2)=1,且＞(x)=x有唯一解，求函数y=

式x)的解析式和州-3)］的值.

8

【参考答案】

【自主学习】

1、数学表达式图象表格

2、对应关系并集空集

【小试牛刀】

(l)x如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示;

一1,XGQ,

(2)x有些函数的是不能画出图象的，如火x)=《，/八

〔一1,X©CRQ；

(3)x反例：五x)=:的图象就不是连续的曲线.

Ji

(4)x该函数是连续的，则该函数就不能用列表法表示。

(5)x分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数.

(6)7对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数

(7)7定义域不连续，图像不连续

(8)7定义域和对应关系相同

【经典例题】

例1①列表法

x(台)12345

y(元)3000600090001200015000

x(台)678910

y(元)1800021000240002700030000

②图象法：如图所示.

y/元

30000•

*

**

*

*

*

*

3000・

~O110外

③解析法：y=3000x,{1,2,3,…，10).

［跟踪训练］1(1)2(2)1

解析(1)由表知g(3)=l,...H以3))=汽1)=2；

⑵由表知g(2)=2,又g(/(x))=2,得火x)=2,再由表知x=l.

9

例2⑴列表:

X2345

212

1

y325

2

画图象，当［2,+s）时，图象是反比例函数的一部分（图1）,观察图象可知其值域为

Ji

口二

（2）列表:

X-2-1012

y0-1038

画图象，图象是抛物线y=/+2x在一2M2之间的部分（图2）.由图可得函数的值域是［—1,8］.

［跟踪训练］2解（l）y=x+l（烂0）表示一条射线，图象如图（1）.

（2）y=jr—2x~（x—I）2—l（x>l或x<—1）是抛物线—2x去掉一1W左1之间的部分后剩余曲

线.如图（2）.

例3[解](1)V-S<-1,.-.X-2)=2x(-2)+3=-l,.\/[/(-2)]=/-1)=2,

,13

fi2)=l+-=-

13

⑵当。>1时，火。)=1+,=]，.♦.〃=2>1；

3\[2

当一时，/(〃)=〃2+1=/,，〃=±为-£[—1,1]；

33

当〃<—1时，fia)=2a+3=2,，。=一7一1(舍去).

10

5

综上，。=2或。=±

［跟踪训练］3［解］⑴利用描点法，作出外）的图象，如图所示.

/〉

（2）由于｛士;）=:,结合此函数图象可知，使於g的x的取值范围是（一co,—；U+co）.

（3）由图象知，当一1M1时，_Ax）=f的值域为［0,1］；当尤＞1或x＜—1时，於）=1.

所以外）的值域为［0,1］.

例4解（1）设而0=奴+。（存0）,则欢切=/（⑪+。）=。（依+。）+6=。2左+时+尻

又/［A］）］=4X+8,/.6Z2X+^Z?+Z?=4X+8,

a=2,

/=4,解得18〃=一2,

即或＜

ub~\~。=8,[b=rb=~S.

8

=2x+§或fix)=—2x—8.

(2)设於)=o?+bx+c(aW0),由式0)=1得c=l,则汽%)=加+笈+1,J(x+l)-fix)=[a(x

+1)2+Z?(x+1)+1]—(ox2+Zzx+l)=2ax~\~a~\~b=2x.

2a=2,

故得彳八解得a=l,b=~l故得"x)=f—x+1.

3十。=0,9

[跟踪训练]4解⑴设兀i)=区+优厚0),则用(%))=如&+。)+6=炉工+始+。=16%—25,所以

左=16,?525

\一7解得左=4,b=—5或女=-4,b=-^,所以火%)=4%—5或危)=—4x+w~.

kb~~rb25,''

(12)设段)=〃x2+fcc+c(ar0)，Vy(0)=l,：.c=l,

.*.y(x+1)—/(%)=〃(％++b(x+1)-\-c-(ax1bx-\-c)=2ax~\-a~\-b.yLl)—fix)=2x,

2〃=2,〃=1,

，於)：%2—%+i.

a-\~b=Q.[Z?=—1.

例5解配凑法：l)=x+2^/x+l=(y[x+1)2,

11

.7/0)=/.又也+1之1,.,./X)=%2(%>1).

换元法：令看出+1,贝U龙=(/一1)2.由于xM,所以仑1.

代入原式有/0=(/—1)2+2(7—1)+1=於，所以«x)=/(xNl).

［跟踪训练］5解(1)配凑法：,.7Cx+l)=%2—3x+2=(x+l)2—5x+l=(x+1)2—5。+1)+6,

，於)=%2—5x+6.

换元法：令f=x+l,则x=f—1,I)2—3(/—1)+2=/2—5r+6,即於)=——5x+6.

(2)E+1)=&+1>—2(：+1),所以<x)=/—2x.

因为当0，所以;+屏1,所以2x(#l).

人Ji

例6解(1).••〃>)+《j=3x,①...将x用;替换，得41)+兀0=|，②

如)+£)=3x,11

联立①②得1八、。解得人x)=2x—二(存0),即夫x)的解析式是y(x)=2x—二(存0).

(2)；Xx)+纨-x)=d+2x,①.,.将x换成一x,得五一x)+»x)=f—2x.②

由①②得3/(%)一6x,，於)=$一2X.

Ax)-2/(-x)=9%+2,

［跟踪训练］6解由条件知，五一x)—纨x)=—9x+2,贝噌、乂、八人

1/(—x)—纨x)=—9x十2,

解得人x)=3x—2.

【当堂达标】

2⑵21=Z13

LD［解析］..7(3)=铲1,•W3)］=|<3j+T-

kk?

2.C［解析］设_yJ=in当x=24时，y—1,所以乂1=5，得％=2.故y=;：.

3.A解析法一*设%=%—1,贝!J%=%+1.•.•於-l)=f+4x—5

1)2+4。+1)—5=於+6